2019-2020学年湖南省娄底市娄星区高二(上)期中数学试卷

1、2019-2020 学年湖南省娄底市娄星区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）2 0的解集是 ()1. 不等式 ? + 2?- 3A. ?|? 1B.C. ?|- 3 ? 1D.?|? -3?|? -3 或 ? 1设2，2，则2.?= 3? -?+ 1?= 2? + ?(A. ? ?B. ? ?3. 已知等差数列 ? 中， ? + ? = 6 ，则前? 24A.5B.64. 若 a、b、 c 为实数，则下列命题正确的是22A. 若 ? ?，则 ? ?)C. ? ?D. ? ?5项和 ?5为()C. 15D. 30()22B. 若 ? ? ? ?C. 若?1D

2、.若 ? 0，则?，则 ?5.已知等比数列 ? 中， ? + ? = 3，? + ? = 12，则 ? + ? = ()?123456A. 3B. 15C. 48D.63226.?k 的取值范围为 ()已知方程 3+? +2-?= 1表示椭圆，则1B.-3 ? -3 且?- 2且? -C. ? 2D. ?3 时，不等式 ?的取值范围是 ( )?-1恒成立，则实数A. (- ,3B. 3, +)C. 7, +)D.72(- ,210.已知等差数列 ?的前 n 项和为，满足 ?5 = ?9，且 ?1 0 ，则 ?中最大的是 ()A. ?6B. ?7C. ?8D. ?9、 ?是椭圆223?上一点，1

3、1.E： ?的左、右焦点，P 为直线 ?=设 ?22+ 2 = 1(? ? 0)12?21是底角为 30的等腰三角形，则E 的离心率为 ()1234A. 2B. 3C. 4D. 512.21| + ?的解集是区间 (-3,3)的子集，则实数a 的取值范围是 ()不等式 ? |?-A. (- ,5B. (- ,5)C. (- ,7D. (- ,7)二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.在等比数列 ? 中，已知 ?2?4?6 = 8 ，则 ?3?5= _第1页，共 11页14. 已知 ?的内角 A， B， C 所对的边分别为a ， b， c，若 ?=1，3?= 3?则 ?= _ 15

4、.若关于x22(1, ?)? = _的不等式 ?- 6?+ ? 0的解集是，则16.已知数列 ?满足 ? =为整数的数 klog ?+1(?+ 2)(? ?) 定义使 ?1 ?2 ? ?叫做企盼数，则区间 1,2019内所有的企盼数的和是_三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17.已知椭圆 C 中心在原点，焦点为?(-2 2, 0)， ?(22, 0) ，且离心率 ?=22123(1) 求椭圆 C 的标准方程；的直线l交椭圆C于A，B两点，求 ?的周长(2) 过?1218. 已知等差数列 ?的公差不为零， ? ， ? 成等比数列?1 = 25 ，且 ?1 1113( ) 求?的通项公

5、式；( ) 求?1 + ?4 + ?7 + ? + ?3?-2 19. 在 ?中，角AB Ca b c， ， 所对的边分别是， ，已知 2?(?+ ?=?)(1) 求 C；(2) 若?= 7 ，?的面积为 323，求 ?的周长20.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800?3 ，深为 3m，如果池底造价为每平方米150 元，池壁每平方米造价为120 元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？第2页，共 11页2?21. 在数列 ? 中， ? = 2 ，? = 4，且当 ? 2时， ? = ?，?；?12?-1?+1(1)求数列 ? 的通项公式 ?；(2)若? =(2?- 1)

6、?，求数列 ?的前 n 项和 ?22.已知函数 ?(?)= |?+ 1| - |?- 2| (1)求不等式 ?(?) 1的解集；(2)2m 的取值范围若不等式 ?(?) ? - ?+ ?的解集非空，求第3页，共 11页答案和解析1.【答案】 D【解析】 解：由2? + 2?- 3 0可得 (?+ 3)(? - 1) 0，解可得， ? 1或 ? -3 ，故不等式的解集为?|? 1或 ? -3 故选： D结合二次函数的图象即可求解二次不等式的解集本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础试题2.【答案】 A2222 0【解析】 解： ? - ?= 3? -?+ 1- 2?-?= ? - 2?+ 1

7、= (?- 1)? ?故选： A作差配方即可得出大小关系本题考查了数的大小比较方法、作差法、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】 C【解析】 【分析】本题考查了等差数列的性质，关键是对等差数列性质的应用，属于基础题由已知结合等差数列的性质求得?，再由等差数列的前 n 项和公式得答案3【解答】解：在等差数列? 中，由?+ ? = 6，得 2? =6，?= 32433前 5 项和 ?5 = 5?3= 53= 15故选： C4.【答案】 B【解析】 解： ?.?=0 时不成立；22B.? ? ?，正确；C.取 ?=-1 ，?=-21= -11= -1，则 11不成立；时， ?，

8、?2?D .若? ? 0，则，因此不正确? ?故选： BA.?= 0 时不成立；22B.利用不等式的基本性质由? ? ? ?；C.取 ?=-1 ，?=-2时，即可判断出；?D .由? ? 0，可得 ?0?表示椭圆，只需满足： 2解：方程3+? +2-? = 1- ?03+ ?2 -故选： B1，解得 -3 ? 0，又 B 为三角形的内角，?为锐角，则 ?的形状是锐角三角形故选： A根据 a，b 及 c 的长度，判断得到b 为最大边，根据大边对大角可得B 为最大值，利用余弦定理表示出cosB，把三边长代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，根据 cosB的值大于0，可得出B 为锐角，进

9、而确定出三角形为锐角三角形此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：三角形的边角关系，余弦定理，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题8.【答案】 C【解析】 【分析】本题考查数列递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力，属于基础题利用数列的递推关系式，通过累乘法，求解数列的通项公式【解答】解：由 ?= (?+ 1)? ，?+1?+1?+1可得：?=?，?又? = 1，1?2?3? = ?112?-123?= 1 2 ?-1 1 = ? = ?，?第5页，共 11页故选 C9.【答案】 D【解析】 解：解： ? 3?- 1 2，1?= (?-1) + ?-1

10、 + 1 ，设 ?= ?- 1，? 21?= ?+ ?+ 1，在 ?(2, +)上单调递增，17? 2+ 2+1=2，不等式 ?+1 ?恒成立，?-17? 2 ，7a 的取值范围是(- , ，2故选： D1根据 ? 3，得到 ?-1 2 ，利用基本不等式可得?= (?-1) + ?-1 + 1 ，换元函数得出1?= ?+ ?+ 1， ?(2, +)，利用对勾函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可本题以分式不等式为例，考查了函数恒成立的知识，属于中档题注意利用对勾函数的单调性求解最小值，解决恒成立即可，不符合基本不等的条件10.【答案】 B【解析】 【分析】本题考查了数列的单调性，数列的前 n

11、项和，注意考查推理能力和计算能力，属于基础题依题意数列 ?9- ?5= 0，推出 ?7， ?的符号，即可得到结论?为递减数列，再结合8【解答】解：依题意，由 ?，? 0，5= ?19所以数列 ?为递减数列，?= ?6 + ?7+ ?8 + ?9 = 2(?7 + ?8 ) = 0 ，即 ?7 + ?8= 0，且 9- ?5所以? 0，? 0，78所以则 ?中最大的是 ?，?7故选： B11.【答案】 C【解析】 解： ?是底角为 30的等腰三角21形，|? = |?|2213?为直线 ?= 2 上一点32(?- ?)= 2?2故选： C第6页，共 11页=?3?= =4?利用 ?是底角为 30

12、的等腰三角形，可得|?2= |?23?上一2 ?1?1|，根据 P 为直线 ?=2点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题12.【答案】 A【解析】 【分析】将不等式转化为函数， 利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论 本题主要考查不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，转化为函数是解决本题的关键，属于基础题【解答】解：等式2? |?-设2 ?(?)= ? - |?-21| - ? 0，1| + ?等价为 ? - |?-2的子集，1| - ?，若不等式 ? |?- 1| + ?的解集是区间 (-3,3)则 ?(-3) = 5

13、 - ? 0 ，解得 ? 5， ?(3) = 7 - ? 0故选 A【答案】 413.【解析】 解：根据题意，在等比数列? 中，已知 ?2?46 = 8，则 (?4) 3 = 8，则 ?4 =2，则 ? =(?)2 = 4；354故答案为： 4根据题意，由等比数列的性质可得(?) 3= 8，则 ?4= 2，又由 ? = (? )2，即可得答4354案本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比中项的性质，属于基础题14.【答案】 33【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题由已知利用正弦定理即可计算得解【解答】解： ?= 1 ，?= 3?，313? 由正弦定理可得：?=

14、 ?3 = 3?3故答案为 3315.【答案】 222【解析】 解： ?6?+ ? 0 ，1m2-2，6?+ ? = 0 的两根，是相应方程 ?解得 ?= 2；故答案为： 2由二次不等式的解集形式，判断出1，m 是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m 的第7页，共 11页= -3? 2 + 28?值本题考查的知识点是一元二次不等式的解法， 及三个二次之间的关系， 其中根据三个二次之间的关系求出 a 的值，是解答本题的关键16.【答案】 2026?(?+2)(?) ，【解析】 解： ? = log ?+1(?+ 2)=2?(?+1)2?23 ?24?25?2(?+2)?1 ?2 ?3 ? ?=

15、?22?23?24? ?2(?+1) = log 2 (?+ 2) ，又 ?为整数，1 ?2?3 ? ?+ 2必须是 2 的 n 次幂 (?)，即 ?= 2?- 2 ，又 ?1,2019 ，1 2 ?- 2 2019 ， 取2 ? 10 ，区间 1,2019内所有的企盼数的和为：?= (22-2)+ (23-2) +(24 -2)+?+(210- 2)= (22+ 23+? + 210)- 29=4(1-2 9 )- 18 = 20261-2故选： B用换底公式与叠乘法把 ? ? ? ? ? 化为(?+ 2) ，再根据 ? ? ? ? ?为123?log 2123?整数，得 ?=2 ?- 2，

16、由区间 1,2019 确定 n的取值，求出所有的企盼数的和本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，考查运算能力，属于基础题17.【答案】 解析： (1)因为 ?(1-2 2, 0)， ?(22 2, 0) ，?=22，3所以 ?= 3, ?= 2 2，222又椭圆的焦点在x 轴上，得到?= ?-?= 12?2所以求椭圆的标准方程为9+?=1(2) 因为 ?1的直线l 交椭圆于 A，B 两点；根据椭圆的定义得?的周长为 |?|+|?2 + |?2 = |?1+ |?2 + |?1 +2|?2 = 4?= 12 ，故 ?的周长为 122【解析】 (1) 由条件有 ?= 3，?=，求

17、出b即可；22(2)|?|=|?1+ |?1?|，然后用椭圆的定义可得三角形的周长为4?=12 本题考查椭圆的基本的几何性质，椭圆的定义，属于基础题【答案】 解： (?)设等差数列 ? 的公差为 ? 0 ，18.?由题意 ?， ? ， ? 成等比数列，2，?1111311 = ?113(?1 + 10?)2 = ?(?11 + 12?)，化为 ?(2?1+ 25?) = 0，? 0， 2 25 + 25?=0，解得 ?= -2 ? = 25 + (?-1) (-2)=-2? + 27 (?)由 (?)可得 ?3?-2 = -2(3?-2)+27=-6?+31，可知此数列是以25 为首项， -6

18、 为公差的等差数列?= ?1 + ?4+ ?7+?+ ?3?-2?(?1+ ?3?-2 )=2?(25 -6?+ 31)=2第8页，共 11页【解析】 (?)设等差数列 ? 的公差为? 0，利用成等比数列的定义可得，2，?11= ?1?13?再利用等差数列的通项公式可得(?1+ 10?)2 = ?(?11 + 12?)，化为 ?(2?1+ 25?) =0 ，解出 d 即可得到通项公式 ?；?(?)由 (?)可得 ?3?-2= -2(3?- 2)+27 = -6? + 31，可知此数列是以25 为首项， -6为公差的等差数列利用等差数列的前n 项和公式即可得出 ?1 + ?4 + ?7 + ?

19、+ ?3?-2 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式是解题的关键19.【答案】 解：(1)由已知2?(?+，?=?)正弦定理得： 2?(?+= ?，?)即 2?= ?， 0 ? ?， ?0，1?= 2 ，?= 3(2) 由 ?= 7， ?=?3 3=1?33， ?的面积为22?=332?= 6 ，又由余弦定理222222? =?+ ?-2?，可得： 7 = ? + ? -?= (?+ ?) - 3?=2(?+ ?) - 18 ，2可得： (?+ ?) = 25 ，解得： ?+ ?= 5 ，?的周长 ?+ ?+ ?= 5 + 7【解析】 (1)利用正弦定理和和与差公式化简已知等

20、式可得2?= ?，由0 1? ?，?0，可求 ?= 2，进而可求C 的值(2) 根据 ABC 的面积公式可求 ?= 6，根据余弦定理可求 ?+ ?的值，即可求得周长本题考查了正余弦定理的运用和计算能力， 属于基础题， 解题时要注意余弦定理的合理运用20.【答案】 解：如图所示，设长方体的长宽分别为x，y，则 3?= 4800 ，可得 ?= 1600 ?水池总造价 ?(?)= ?150 + 2(3?+ 3?)120 = (?+16001600? ) 720 + 1600150 2 ? ? 720 + 240000= 57600 + 240000= 297600元当且仅当 ?= 40?， ?= 4

21、0?时取等号设计水池底面为边长为 20m的正方形能使总造价最低，最低造价是297600 元xy3?= 4800?=1600【解析】 如图所示，设长方体的长宽分别为，可得? .水池总， ，则1600，利用基本造价 ?(?)= ?150 + 2(3?+ 3?)120 = (?+) 720 + 1600 150?不等式的性质即可得出本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题本题考查了基本不等式的性质、长方体的体积与表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.【答案】 解： (1)2= ? ，当 ? 2时， ?-1?+1数列 ? 是等比数列，?第9页，共 11页又 ?= 2，?2 = 4，1?=?2=2，?公比1数列 ?是首项、公比均为 2的等比数列，其通项公式 ?= 2?；(2) 由 (1) 可知 ? = (2?-1)? = (2?- 1)2?，?则?= 1 2 + 3 22+5 23+ ? + (2?-1)2?，2? =1 22 + 323+? + (2?- 3) 2?+ (2?-1) 2?+1，?两式相减，得： -? = 2 + 2 22 + 2 23 +