因式分解培优题

1、因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分 解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待泄系数法.3、考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法：(4)分组分解法.一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将苴反向使用，即为因式分解中常用 的公式，例如：l)a2 b2=(a+b)(a b)；(2) a22ab+b2=ab)2；(3) a3+b3=(a+b

2、)(a2ab+b2)；(4) - b3=(a - b) (a2+ab+b2).下而再补充几个常用的公式：(5) a2+bz+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 ab be ca):(7) an bn=(a b)(anx+an 2b+an 3b2+ +abn2+b/1),其中 n 为正整 数；(8) an bn=(a+b)(an 1_an 2b+an 3b2+ab 2b711),其中 n 为偶 数；(9) an+bn=(a+b)(an 1_an 2b+cf 3b2 2+b x),其中门为奇数运用公式法分解因式时，要根

3、据多项式的特点，根据字母、系数、指数、 符号等正确恰当地选择公式.例题1分解因式:(1) 2x5n 灯+4“知】厂2_20(2) x3 8/z3 6xyz:(3) a2+b2+c2 2bc+2ca lab:(4) a7-a5b2+a2b5-b7.例题2 分解因式：abc3 3abc.例题 3 分解因式：x15+x14+xn+-+x2+x+l.对应练习题分解因式：(1) X2+Z_1 2+194(2) x10+x5-2n 3(3) x4 -2x2y2 -4xy + 4x3y + y2(4x2 +-y2)4，(4) (x5+x4+x3+x2+x+l)2x5(5) 9(ob)2+12(a2_b2)+

4、4(a+b)2(6) (a-b)2_4(a-b-1)(7) (x+y)3+2xy(l xy) 1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但 从“局部”看，这个多项式前两项都含有g后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为 一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系此类型分组的关键：分组后. 每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：2处-10 + 5莎-处对应练习题分解因式:lx a2 -ab + ac-bc2、xy-x-

5、y +1（二）分组后能宜接运用公式 例题3分解因式:x2-y2 +ax + ay例题4分解因式：a2 -2ab + b2 -c2对应练习题分解因式:4、x2 -y2 -z1 _2yz3、x2 -x-9y2 _3y综合练习题分解因式:(1) x3 +x2y-xy2 _y*(2) cix2 -bx2 +bx-ax + a-b(3) x2+6小+ 9y2-16/+8a-l(4) /一6肋+ 12Z? + 9，一4a(6) 4a2x - 4a2y - b2x + h1 y(7) x2 -2xy-xz + yz + y2(8) a2 -2xi + b2 -2b + 2ab + (9) y(y l)(m

6、+1)(10) (a + c)(a - c) + b(b - 2xi)(12 )(11 ) / (Z? + c) + b2(a + c) + c2 a + b) + 2abc 4+2a3b + 3crb2+2ab3+b4 (13) (ax + by)2 + (ay 一bx)2(14) xyz(x3 + z*) - y3z? - z3r - x3y3(15) X4 u(16) x 3对 + (a + 2)x 2a(17) (x +1)* + (x + 3) 4(3x + 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式十+（ + c,/2 +c2/t = E , ,/

7、2 +aifi =a+a = q/i+Cj/j = E, aj2+a2f =D则 Ax: + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = (1x + c1y + fchx + c +例题 7 分解因式：(1) x2-3xy-10y2+x + 9y-2(2) x2 +xy-6y2 +x + 13y-6解：(1)，3xy 10y2+x + 9y-2应用双十字相乘法:2xy 一 5xy = -3xy , 5y + 4y = 9y x + 2x = x，原式二(x 5y + 2)(x + 2y 1)(2) /+小一6)二+x + 13y 6应用双十字相乘法:3xy 一 2xy = xy , 4

8、y + 9y = 13y - 2x + 3x = x.原式二(- 2y + 3)(x + 3y 2)对应练习题分解因式:(1) x2 + xy-ly1 一x + 7y-6(2) 6x2 一7与一3于-xz + 7yz-2z，3、十字相乘法进阶例题 8 分解因式：y(y + l)(x2 +1) + x(2y2 + 2y + 1)例题 9 分解因式：ab(x2 - y2)-(a2-b2)(xy +1)-(/ + b2)(x + y)四、主元法例题 分解因式：x2-3xy-0y2 +x + 9y 2对应练习题分解因式：(2)x2 +xy-2y2 一x + 7y-6(l) x2 +xy-6y2 +x+

9、13y-6(3) 6x2 - lxy-3y2 +x-7y-2(4) t/2 + ab 一 6/?2 + 5a + 35b 一 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字 母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明淸晰.例题1 分解因式:(x2+x+l)(x2+x+2)-12例题 2 分解因式：(x2 + 4兀 + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2例题 3 分解因式：(x-l)(x +1)(% + 3)(兀 + 5)-9分析：型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式:(x2 - lx + 6)

10、(/ _兀一6) + 56 例题 5 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.例题 6 分解因式：4(3疋一 x -1 心2 + 2x - 3) - (4, + x - 4)，提不:口J设 3x2 x 1 = Ax + 2x 3 = B ,则 4x2 +x 4 = A + B例题7分解因式：x6 - 28x3 + 27例题8 分解因式：（一叭1+（ + ”1+（/一2）2例题9分解因式：（y + ir+（y + 3r272例题9对应练习 分解因式：/+4“+（“一4）4例题 10 分解因式:i+xy+y2）24xy（x2+/）.分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位豊时

11、，多项式保持不变， 这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y, v=xy. 用换元法分解因式.例题口 分解因式：2x4-x3-6x2-x + 2分析：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1，并且系数成 “轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6*7x3-36x2-7x+6.例题11对应练习 分解因式：x4-4x3+x2+4x + 1对应练习题分解因式:(1) x4+7x3+14x2+7x+l(2) x4 + 2x +1 + 2(x +)(3) 2005/_

12、(2005 丄 _1)牙_2005(4) (x + l)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2(5) (x + l)(x + 3Xx + 5)(x + 7) + 15(6) (“一 1)(“-2)(“一3)(“一4)-24(7) (2“ + 5)(/-9)(2-7)-91(8) (x+3)(x2-l)(x+5)-20(9) (/+1尸+(/+5)2-4(/+3尸(10) (2x2-3x+l)2-22x2+33x-l(11) (a + 2b + c)3 - (a + b)3 - (b + c)5(12)xy(xy +1) + (Ay + 3) - 2(x + y + |)-(a-

13、+ y-1)2(13) (a + b 2cib)(a + Z? - 2) + (1 - ah)1六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合 并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要 恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能 用分组分解法进行因式分解.说明用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一左之规，主要的 是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因

14、式分解诸方法中技巧性最强 的一种.例题1分解因式：X3-9x4-8例题2分解因式：(1) x9+x6+x3-3；(2) (m2l)(n2l)+4n?n；(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4；(4)cPbab3+a2+b2+1.对应练习题分解因式:(2 ) x2 + 2(a + b)x - 3a1 + 10 - 3b2(4) x4 +x2 +2ax + -a2(6) 2a2b2 +2a2c2+2b2c2 -a4-b4-c4(8) -llxy+y2(10) x4-12x+323(12) x3-11x+20：(1) 疋一3宀4(3) x4-7x2+1(5) x4 + y4 +(x+y)4(7)

15、 x3+3x2-4(9) x3+9x2+26x+24(11)(13) a5+a + l(14) x2 一 y已知：x2-2-3y2+6x-4y+p能分解成两个一次因式之积，求常数并且分 解因式. + 4x + 6y - 5(15) (1 - a为何值时，x2-2xy + ky2 +3x-5y + 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此 )(1 -b2)- 4ab七、待定系数法例题1 分解因式：疋+与一6y2+x + 13y-6分析：原式的前3项x2+xy-6r可以分为(x + 3y)(x-2y),则原多项式必泄可分为(x + 3y + m)(x - 2y + n)对应练习题分解因式：(1) 6

16、x2 -7xy-3y2 +x-7y-2(2) 2x2 + 3xy-9y2+14x-3y+20(3) x2 -3x*-10y2 + x + 9y-2(4) W+3“vy+ 2y+5x + 7y + 6例题2(1)当加为何值时，多项式x2-y2+v + 5y-6能分解因式，并分解此多项式.(2) 如果+ s有两个因式为x + 1和x + 2,求a + b的值.八、余式定理(试根法)1、/(X)的意义：已知多项式f(x),若把X用C带入所得到的值，即称为/(X)在 x = c的多项式值，用/(c)表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式/(X)除以g(x)所得的商式 为(x)，余式为贝

17、I：f(x) = (x) X t/(A)+ r(x)3、余式泄理：多项式/(x)除以x-b之余式为f(b):多项式/(x)除以cix-b之 余式/().a例如：当 f(x)W+x+2 除以(x-1)时，则余数=f(l)=l2+l+2=4.当/(x) = 9x2+6x-7除以(3x + l)时，则余数=/(-i) = 9x(-i)2+6x(-)-7 = -8.3334、因式泄理：设a,bwR,(心0, /(x)为关于兀的多项式，贝x-b为/(X)的 因式o /(b) = 0： ax-b 为/(力的因式O /(-) = 0.a整系数一次因式检验法：设f(x)=cZ+cn_1x,*-1 + 2 +

18、5为整系数多项式，若ax-b为f(x)之因式(英中a,b为整数工0,且a, b互质)，则(1)(札，bc0 (2) (a-b)|/(l),(+Z?)|/(-l)例题1设/(x) = 3P+2，_19x + 6,试问下列何者是/(x)的因式？(l)2x-l , (2)x-2, (3)31, (4) 4x4-1, (5) x-1, (6) 3x-4例题2把下列多项式分解因式: A 3 - 5x + 4(2) x3-4x2+x + 6(3) 3x* +5x + 4x 2(4) x4 +9x3 +25x2 +27x4-104 5 3 1 , 11(5) x +x + xx 6223课后作业分解因式：(

19、1) * + 4(2) 4x3-31x4-15(3) 3x3-7x+10(4) x3-41x+30(5) *+42一9(6) 0 + 5* 18(7) x3 + 6x2 + llx4-6(8) x3-3x2+3x+7(9) x3-llx2 + 31x-21(10) = +19872+1986x+2987(11) 疋一199却+ 19991998(12) x4 +1996+1995x +1996(13) x3 + 3x2y+3xy2 + 2/(1412) x39qx2+27o2x-26cP(15) 4(x + 5)(x + 6)(x+ 10)(x+ 12)-3疋(16) (x+ 6x + 8)(

20、x + 14x + 48) + 12(17) (x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2(18) 2(x2 +6x + l)2 +5(x2 +6x + l)(x2 +1) + 2(/ +1)2(19) H-xy+y4(20 ) x4-23x2y2+y4(21) ，+b3+3(Q2+b2)+3(a+b) + 2(22) /+Z/+lM?-64(23) a3b-ab + a2 +b2 +1(24) (a+b)2(ab-) + (25) x4 -2(a2 +h2)x2 +(a2 -b2)2(26) ay + bx) +(ax + by)3 -(/ +b)(x3 + y3)(27) x6-19x3y3-216/(28) /y/z+zxHz+i/x+zy 2xyz(29) 3a*s 10.v4 8.1， 3x +1 Ox + 8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n-l和2卄1表示两个连续的奇数（n是整数），证明这两个连续奇数的平方差能被8 整除