2019年广东省梅州市高考数学一模试卷(文科)

1、2019 年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A= x|x=3n-1， nN ， B=6 ， 8，10， 12，14 ，则集合 AB 中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52.已知复数z满足 i（ 2-z） =3+i ，则 |z|=（）A.B.C. 5D. 103.下列函数为奇函数的是（）D. y=ex-e-xA. y=B. y=|sinx|C. y=cosx4.顶点在原点， 对称轴为 x 轴的抛物线的焦点在直线2x-y-2=0 上，则此抛物线的方程为（）A. y2=2xB. y2=-2 x

2、C. y2 =4xD. y2=-4 x5.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足2S3=a3+a7=18，则 a1=（）A. 1B.2C. 3D. 46. 某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况， 统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况， 得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与 2015 年相比， 2018 年一本达线人数减少B. 与 2015 年相比， 2018 年二本达线人数增加了0.5 倍C. 2015 年与 2018年艺体达线人数相同D. 与 2015 年相比， 2018 年不上线的人数

3、有所增加7. 已知 =（ 2， 1）， =（ 3， ），若（ 2- ） ，则实数 的值等于（）A. 3B. -1C.-1或3D. 28. 如图， RtABC 中， CAB =90 ，AB=3 ，AC=4，以 AC 所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积等于（）A. 24B. 12第1页，共 18页C.D.9.若变量 x， y 满足约束条件，则 z=2x-y 的最小值等于（）A.B.-2C.D.210. 如图，正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，异面直线 A1D 与 BD 1所成角的正弦值等于（）A.B.C.D. 111. 九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之

4、，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离， “袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除ABC-A1B1C1 中， AA 1BB1CC 1，AA1=a， BB1=b， CC1=c，两条平行线 AA1 与 BB1 间的距离为 h，直线 CC1 到平面 AA1B1B 的距离为 h，则该羡除的体积为 V= （ a+b+c）已知某羡除的三视图如图所示， 则该羡除的体积为 （）A.3B.C.D.212. 设点 P 在曲线 y=ln x 上，点 Q 在曲线 y=1- （ x 0）上，点 R 在直线 y=x 上，则 |PR|+|RQ|的最

5、小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.设函数 f（ x） =，则 f（-2） +f （log2 12） =_14.已知数列 an 的前 n 项和为 S ，首项 a =1 ，且满足：2S =an+1-1，则 a +a +a =_n1n3 4515.已知双曲线 C：=l （ a 0， b 0）一个焦点为F（ 2， 0），且 F 到双曲线 C的渐近线的距离为1，则双曲线 C 的方程为 _16.若将函数 f（ x） =sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位后所得图象关于y 轴对称，则 的最小正值为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）第2页，

6、共 18页17.如图，在 ABC 中，已知点 D 在边 BC 上，且 DAC=90 ，sinBAC=，AB=3，AD=3（ 1）求 BD 长；（ 2）求 cosC18. 如图，已知矩形 ABCD 中，AD =2AB=2，点 E 是 AD的中点，将 DEC 沿 CE 折起到 D EC 的位置，使二面角 D -EC-B 是直二面角（ 1）证明： BECD ；（ 2）求点 E 到平面 BCD的距离19. 某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润 50 元；未售出的产品，每盒亏损30 元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示， 该同学

7、为这个开学季购进了160 盒该产品，以 x（单位：盒， 100x200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（ 1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数和众数；（ 2）将 y 表示为 x 的函数；（ 3）根据直方图估计利润不少于4800 元的概率第3页，共 18页C=1ab 0，短轴长为220. 已知椭圆 ：（ ）的离心率为（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）过椭圆 C 的左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，证明：原点O 不在以 MN 为直径的圆上21. 设函数 f（ x） =ex-lnx-1，其中 e 是自然对数的

8、底数（ 1）求证：函数 f（ x）存在极小值；（ 2）若 ?x ， +），使得不等式 -lnx- 0成立，求实数 m 的取值范围22.已知直线l 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=4cos，直线 l 与圆 C 交于 A，B两点第4页，共 18页（ 1）求圆 C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（ 2）动点 P 在圆 C 上（不与A， B 重合），试求 ABP 的面积的最大值23. 已知函数 f（ x） =|2x-2|+|2x+3|（ 1）求不等式 f （x） 15 的解集；（ 2）若 f（ x） a-x2+x 对于 xR

9、恒成立，求 a 的取值范围第5页，共 18页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：集合 A=x|x=3n-1 ，nN ，B=6 ，8，10，12，14 ，A B=8，14 ，集合 AB中元素的个数 为 2故选：A利用交集定 义直接求解本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 B【解析】解：由i（2-z）=3+i ，得2-z=，则 z=1+3i，|z|=故选：B把已知等式 变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解本题考查 复数代数形式的乘除运算，考 查复数的求法，是基 础题 3.【答案】 D【解析】解：A 函数的定义域为0，+

10、），定义域关于原点不 对称，故 A 为非奇非偶函数Bf （-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x），则 f（x ）为偶函数Cy=cosx 为偶函数-xxx -x则为Df （-x）=e-e=-（e -e）=-f （x）， f （x） 奇函数，故选：D第6页，共 18页根据函数奇偶性的定 义进行判断即可本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本 题的关键4.【答案】 C【解析】解：由题意，可知：抛物线的焦点在 x 轴上又 抛物线的焦点在直 线 2x-y-2=0 上，可令 y=0，得：x=1抛物 线的焦点的坐 标为（1，0），即 p=2此抛物 线的方程为 y2=4x故选：C本

11、题主要根据 题意找出抛物 线的焦点坐 标，知道抛物线的焦点在 x 轴上也在直线 2x-y-2=0 上，就能得出抛物 线的方程本题主要考查抛物线的基本定 义性知识，属基础题5.【答案】 A【解析】解：设公差为 d，2S3=a3+a7=18，解得 a1=1，故选：A设公差为 d，由2S3=a3+a7=18，列出关于 a1，d 的方程组，解得即可本题考查了等差数列的前n 项和公式和等式数列的通 项公式，属于基础题 6.【答案】 D【解析】解：设 2015 年高考考生人数 为 x，则 2018 年高考考生人数 为 1.5 线，由 24%?1.5x-28%?x=8%?x0，故选项 A 不正确；第7页，共

12、 18页由（40%?1.5x-32%?x）32%?x= ，故选项 B 不正确；由 8%?1.5x-8%?x=4%?x 0，故选项 C 不正确；由 28%?1.5x-32%?x=42%?x 0，故选项 D 正确故选：D作差比较可得本题考查了概率分布直方图题，属中档 7.【答案】 C【解析】解：；解得 =-1 或 3故选：C先得出，根据即可得出进， 行数量积的坐标运算即可求出值的考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量 积的坐标运算8.【答案】 A【解析】解：由题意可得旋 转体为圆锥，底面半径为 3，高为 4，故它的母线长 BC=5，侧面积为 rl= 35=15，而它的底面 积为 2=9 ?3

13、故它的表面 积为 15+9=24，故选：A先由题意求得旋 转体为圆锥，底面半径为 3，高为 4，母线长为 5，利用圆锥的第8页，共 18页表面积计算公式，求出它的表面 积本题主要考查圆锥的表面积计算公式，属于基础题9.【答案】 A【解析】解：由变量 x，y 满足约束条件作出可行域如 图，由图可知，最优解为 A，联立，解得A （-1，）z=2x-y 的最小值为 2（-1）-=-故选：A由约束条件作出可行域，由 图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10.【答案】 D【解析】解：连接 AD 1，因为四边形 AA 1D1D 为正

14、方形，所以A1DAD 1，又A1DAB ，所以 A1D面 ABD 1，所以 A1DBD1，即异面直 线 A1D 与 BD1 所成角的正弦 值等于 1，故选：D由线面垂直的判定定理得： A 1DAD 1，又 A 1DAB ，所以 A1D面 ABD 1，由线面垂直的性 质定理得：A 1DBD 1，得解本题考查了线面垂直的判定定理及性 质定理，属中档题11.【答案】 B【解析】第9页，共 18页解：由三视图还原原几何体知，羡除ABC-A 1B1C1 中，AB EF，底面 ABCD 是矩形，AB=CD=2 ，EF=1，平面 ADE 平面 ABCD ，AB ，CD 间的距离 h=AD=2 ，如图，取 A

15、D 中点 G，连接 EG，则 EG平面 ABCD ，由侧视图知，直线 EF 到平面 ABCD 的距离 为 h=1，该羡除的体 积为 V=（a+b+c）=故选：B根据三视图求出羡除的体积 V=（a+b+c）中所需数据，代入得答案本题考查由三视图求面积积键视图还原原几何体，是中档题、体，关 是由三12.【答案】 D【解析】解：函数y=lnx 的导数为 y=，设曲线 y=lnx 与直线 y=x 的平行线相切的切点 为（m，n），可得=1，即m=1，可得切点为（1，0），此时 PR 的最小值为=；y=1-导为y= ，（x0）的 数设曲线线y=x 的平行线相切的切点为（s，t），y=1- （x0）与直可

16、得=1，即s=1，可得切点为（1，0），此时 RQ 的最小值为=；则 P，Q 重合为（1，0），R 为（ ， ），|PR|+|RQ|取得最小 值为故选：D求出两曲 线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线 y=x 的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小 值，进而得到所求和的最小 值第10 页，共 18页本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查点到直线的距离公式的运用，考 查最值的求法，属于中档题13.【答案】 9【解析】解：由函数 f（x）=，可得 f （-2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9由条件利用指数函数、 对数函数的运算性 质

17、，求得 f（-2）+f（log212）的值本题主要考查分段函数的 应用，指数函数、对数函数的运算性 质，求函数的值，属于基础题14.【答案】 117【解析】解：2Sn=an+1-1，an+1=2Sn+1，a1=1，a2=21+1=3，a3=2（1+3）+1=9，a4=2（1+3+9）+1=27，a5=2（1+3+9+27）+1=81，故 a3+a4+a5=9+27+81=117，故答案为：117化简可得 an+1=2Sn+1，从而依次求数列的前 5 项即可本题考查了数列的 递推公式的 应用，属于基础题15.【答案】=1【解析】解：根据题意，要求双曲线 C 的中心为原点，点 F（2，0）是双曲线

18、 C 的一个焦点，即双曲线的焦点在 x 轴上，且 c=2，第11 页，共 18页双曲线C：渐线方程为y= x，即aybx=0，=l（a 0，b0）其 近若点 F到渐近线的距离为则=1，1， 有解可得 b=1，则 a2=c2-b2=3，则要求双曲 线的方程为：-y2=1；故答案为：-y2=1根据题意，分析可得要求双曲 线的焦点在 x 轴上，且 c=2，设双曲线 C：渐线方程为aybx=0，又由点 F 到渐近线的距离=l（a0，b0）求出其 近为 1，解可得 b 的值，计算可得 a 的值，将a、b 的值代入双曲 线方程即可得答案本题考查双曲线的几何性 质，注意双曲线的焦点的位置16.【答案】【解析

19、】解：由，该图单图对应为把函数的象右移位，所得 象的函数解析式：个sin（2x-2）又所得图象关于 y轴对则=k，kZ称，当 k=-1时，有最小正 值是故答案为：把函数式f（x）=sin2x+cos2x 化积为，然后利用三角函数的图象平移得到sin（2x结该函数为偶函数求得 的最小正值-2） 合本题考查了三角函数的 图象平移，考查了三角函数奇偶性的性 质，是中档题17.【答案】 （本小题满分12 分）解：（ 1） DAC=90，sinBAC=sin（ +BAD ）=cosBAD，第12 页，共 18页cos BAD =2ABDBD2224=AB +AD -2AB AD cos BAD?BD2=

20、18+9-2 =3BD=62cos BAD=sin BAD=8ABDsin ADB =10ADB= DAC +C= +CcosC=12（1）由已知利用诱导公式可求 cosBAD 的值，利用余弦定理即可 计算 BD 的长（2）由（1）可求cosBAD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinBAD ，由正弦定理可求 sinADB 的值，根据诱导公式可求 cosC的值本题主要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.1AD=2AB=2EADBAECDEBEC=90 BEECD ECBEC

21、D EC BEC=ECBE ?BECBEDECCD?DECBECD 21BEDEC BE=VB-DEC = BESDEC =ED?DECBEED ED =1BD=BD CBD =CD =1BC=2第13 页，共 18页222BC =（BD） +（ CD） ， BDC=90= 设点 E 到平面 BCD的距离为d则d= ，得 d= 所以点 E 到平面 BCD 的距离为【解析】（1）由AD=2AB=2 ，点 E 是 AD 的中点，可得：BAE ，CDE 是等腰直角三角形，BEEC再利用面面垂直及其 线面的判定与性 质定理即可 证明结论 （2）由已知及（1）得，BE平面 DEC，BE=可得VB-DEC

22、= BES=DEC利用勾股定理的逆定理可得 BDC=90可得设 点 E到平面BCD的距离为 d利用三角形面 积计算公式进而得出本题考查了等腰直角三角形、面面垂直及其 线面的判定与性 质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形面积计算公式，考查了空间想象能力推理能力与 计算能力，属于中档题【答案】 解：（ 1）由频率直方图得到：19.需求量为110的频率 =0.005 20=0.1，需求量为130的频率 =0.01 20=0.2，需求量为150的频率 =0.015 20=0.3，需求量为170的频率 =0.012520=0.25，需求量为190的频率 =0.007520=0.15，这个丌学季内市场需求

23、量X 的众数是 150，这个丌学季内市场需求量X 的平均数：=110 0.1+130 0.2+150 0.3+170 0.25+190 0.15=153（ 2） 每售出 1 盒该产品获利润 50 元，未售出的产品，每盒亏损30 元，当 100 x 160时，y=50x-（ 160-x）?30=80x-4800，当 160 x200时，y=160 50=8000，y=（ 3） 利润不少于4800 元，80x-4800 4800，解得 x 120，由（ ）知利润不少于4800 元的概率 p=1-0.1=0.9 【解析】第14 页，共 18页（1）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开

24、学季内市 场需求量 X 的众数和平均数（2）由已知条件推导出当 100x160时，y=50x- （160-x）?30=80x-4800，当160 x200时，y=16050=8000，由此能将 Y 表示为 X 的函数（3）利用频率分布直方 图能求出利 润不少于 4800 元的概率本题考查频率分布直方 图的应用，考查函数解析式的求法，考 查概率的估 计，是中档题，解题时要注意频率分布直方 图的合理运用20.【答案】 解：（ 1）由已知，得= ， b=，又 b2+c2=a2，22a =4， b =3 ，椭圆 C 的标准方程为+ =1，证明：（2）由（ 1）得 F（ -1， 0），易知直线MN 不能

25、平行于 x 轴，故设直线MN 的方程为 x=my-1，设 M（ x1， y1）、 N（ x2， y2），联立方程得（ 3m2+4） y-6my-9=0 ，y1+y2=， y1y2=-若原点 O 在以 MN 为直径的圆上，则OM ON，即 ? =0，即 x1 x2+y1y2=0，又 x1x2 =（ my1-1）（ my2-1） =m2y1y2-m（ y1+y2 ）+1（ m2+1 ）y1 y2-m（ y1+y2） +1= （ m2+1）（ -） -m?+1=-=0，212m +5=0 ，而上述关于m 的方程显然没有实数解故原点 O 不在以 MN 为直径的圆上【解析】题= ，b=22 2，求解得到

26、 a，b，c 的值 则椭圆方程（1）由 意得，又b+c =a，可求（2）直线 l 过抛物线 C 的焦点 F（-1，0），故设直线 MN 的方程为 x=my-1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系，假设原点 O 在以 MN 为直径的圆上，则 OM ON，即?=0，即第15 页，共 18页x1x2+y1y2=0，代入计算可得 12m2+5=0，而上述关于 m 的方程显然没有实数解，故原点 O 不在以 MN 为直径的圆上本题主要考查直线椭圆等基础知识查论证能力、运算求解能力，考、，考 推理查数形结合思想和化 归与转化思想，是中档题21.【答案】 证明：（1fx）

27、=ex-lnx-1， x0） （ ）， 0，函数 f（ x）在（ 0， +）是增函数， （2 分）f=-2 0， f（ 1）=e-1 0，且函数f（ x）图象在（0，+）上不间断，?x0（），使得 f（ x0） =0 ， （ 3分）结合函数f （ x）在（0， +）是增函数，有：x（0， x0）（ x0， +）fx）-+（函数 f（ x）存在极小值f（ x0）（没体现单调区间扣1 分） （ 5分）解：（ 2） ?x， +），使得不等式-lnx- 0成立，等价于 ?x ， +），使得不等式mex-xlnx 成立（ * ） （ 6 分）令 h（ x）=ex-xlnx ， x ， +），则 h（ x

28、） =ex-lnx-1=f （x），结合（ 1）得： h（ x） min=， （ 8 分）其中，满足 f（ x0）=0，即=0， x0=-ln x0，h（ x） min= -lnx0-1= 2-1=1 0， （ 10分）x）， h（ x） 0，h（ x）在 ）内单调递增， （ 11分）h（ x） min=h（ ） = -= +，结合（ *）有，第16 页，共 18页即实数 m 的取值范围为， +） （ 12 分）【解析】（1）求出（x0），从而进0， 而函数 f （x）在（0，+）是增函数，由此利用 导数性质能证明函数 f（x）存在极小值（2）x，+），使得不等式-lnx-0成立，等价于?x+），使得?，x成立，令 （）x， ），则（）x（），不等式 me-xl