2018年湖南省岳阳一中高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年湖南省岳阳一中高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合 M= x|（ x+3）（ x-4） 0 ，N= x|x+1| 3，则 MN=（）A. （ -3， 2）B. （ -3， 2C. -4 ，4）D. （ -3， 4）=32 ）， =（ 1， m），若，则实数 m 等于（）2.已知向量m（ ，A. 3B.0C. 3D.0 或 33.设复数 z=，则 |z|=（）A. 1-2iB.5C.D.24.已知等差数列 an 的公差为 -2，且 a2，a5 ，a7 成等比数列，则此数列 an 的前 11项的和 S11=（）A.

2、 110B. 80C. 100D. 1205.若双曲线-=1（ a 0， b 0）的离心率e=2 ，则该双曲线的两渐近线为（）A. y=3xB.C.D.2 26. 已知命题 p：若 ab，则 a b ，命题 q： ? x0，ln（ x+1） 0；下列命题为真命题的是（）A. pqB. p qC. pqD. p q7.设实数 x， y 满足，则 x-2y 的最小值为（）A. -0.5B. -2C. -5D. 58. 在一个几何体的三视图中， 正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A.B.C.第1页，共 19页D.9.我国古代伟大的数学家秦九韶提出了一种将一元n 次多项式的求值问题转化为

3、n 个一次式的算法， 数学上称之为秦九韶算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为4，2，则输出 v 的值为（）A. 15B. 31C. 69D. 12710. 若函数fx =|- | x|1 |x| 9x RM，最小值为mM-m=（ ）在， 上的最大值为，则（）A.B.C.D.11.如图，平面与平面相交于 BC，点，点，则下列叙述错误的是（） A. 直线 AD 与 BC 是异面直线B.C.D.过 AD 只能作一个平面与 BC 平行过 AD 只能作一个平面与 BC 垂直过 D 只能作唯一平面与BC 垂直，但过D 可作无数个平面与BC 平行第2页

4、，共 19页12. 已知数列 an 2k-1-1kk N*n N*an= ann满足当n2-1）时，若数列的前项（ ， 和为 Sn，则满足 Sn10的 n的最小值为（）A. 59B.58C. 57D. 60二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13. 有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_14.已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 csinB=bcosC，A=45 ，则cosB=_ 15.已知fx =若 ?x R f xf 0）恒成立，则a的取值范（ ） ， （） （围

5、为 _16.抛物线 y2=2 px（ p0）的焦点为 F ，A，B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点 F，过 AB 的中点 M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为 N，则的最大值为_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.已知=（cos，sin），=（sin，sinfx =），设函数 （）（ 1）求函数f（ x）的单调增区间；（ 2）设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列，求 f（ B）的取值范围18. 如图，多面体 ABC-B1C1D 是由三棱柱 ABC-A1B1C1 截去一部分后而成， D 是 AA 1 的中点（ 1）若

6、AD =AC=1，AD 平面 ABC， BCAC ，求点 C到面 B1C1D 的距离；（ 2）若 E 为 AB 的中点， F 在 CC1 上，且，问 为何值时，直线EF平面 B1C1D？第3页，共 19页19. 随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训 （称为 A 类工人） ，另外 750名工人参加过长期培训 （称为 B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到 A 类工人生产能力的茎叶图（图1）， B 类工人生产能力的频率分布直方图（图

7、2）（ ）问 A 类、 B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x；（ ）求 A 类工人生产能力的中位数，并估计 B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ ）若规定生产能力在130 ， 150 内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的22 列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关能力与培训时间列联表短期培训长期培训合计能力优秀_能力不优秀_合计_参考数据：P（K 2k） 0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8

8、28参考公式：，其中 n=a+b+c+d20.已知椭圆的离心率为，且过点（ ）求椭圆C 的方程；（ ）过椭圆 C 的左焦点的直线l1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线l2 过坐标原点且与直线 l 1 的斜率互为相反数若直线l 2 与椭圆交于E， F 两点且均不与点A， B 重合，设直线AE 与 x 轴所成的锐角为，直线 BF 与 x 轴所成的锐角为，判断 121与 的大小关系并加以证明2第4页，共 19页21. 已知函数 f（ x） =ax2-x-lnx，（ aR， lnxx-1）（ 1）若时，求函数 f（ x）的最小值；（ 2）若 -1a0，证明：函数 f（ x）有且只有一个零点；（ 3

9、）若函数f（ x）有两个零点，求实数a 的取值范围22. 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为（ t 为参数），圆C 的极坐标方程为（ 1）求直线 l 的普通方程与圆 C 的执直角坐标方程；（ 2）设曲线 C 与直线 L 交于 A，B 两点，若 P 点的直角坐标为 （ 2，1），求|PA |-|PB|的值23. 已知关于 x 的不等式 |2x|+|2x-1| m 有解（ I）求实数 m 的取值范围；（ II ）已知 a 0， b 0， a+b=m，证明：第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 B【解析

10、】解：集合M=x| （x+3）（x-4）0=x|-3 x4 ，N=x|x+1 | 3=x|-3 x+1 3=x|-4 x，2则 MN=x| -3 x2=（-3，2故选：B解不等式求得集合 M 、N，根据交集的定义写出 MN本题考查了集合的化 简与运算问题，是基础题2.【答案】 D【解析】解：=（3，m2）， =（1，m），且，23m-m =0，解得 m=0 或 3直接利用向量共 线的坐标运算得答案本题考查平面向量共 线的坐标运算，是基础题3.【答案】 C【解析】解：由z=，得 |z|=|=故选：C直接利用商的模等于模的商求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数模的求法，是基 础题4.【答

11、案】 A【解析】解：等差数列a n 的公差为-2，且a2，a5，a7 成等比数列，?a ，即=（a -2）（a-12），=a2 711化为：a1=20则此数列 a n 的前 11 项的和 S11 =2011+（-2）=110，第6页，共 19页故选：A等差数列 a n 的公差为-2，且a2，a5，a7 成等比数列，可得=（a -2）（a-12），解出a 再利用求和公式即可得出111=a ?a ，即27本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题5.【答案】 C【解析】解：双曲线的离心率 为 2，双曲线的渐近线方程是故选：C利用双曲 线的离心率，确定几

12、何量之 间的关系，从而可求双曲 线的渐近线方程本题考查双曲线的标准方程与几何性 质，利用双曲线的离心率，确定几何量之间的关系是解 题的关键6.【答案】 C【解析】解：当a=2，b=-3，满足 ab，但a2 b2，不成立，即命题 p 是假命题，当 x0 时，x+11，则 ln（x+1）0 成立，故命题 q 是真命题，则pq 为真命题，其余为假命题，故选：C根据不等式的性 质求出命题 p，q 的真假，结合复合命 题真假关系 进行判断即可本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题 p，q 的真假是解决本 题的关键7.【答案】 B【解析】第7页，共 19页约实数 x，y解：先根据 束条件满足画出可行域，

13、由，解得 A（2，2）当直线z=x-2y过时点 A（2，2） ，z 最小是 -2，故选：B先根据约束条件画出可行域，再利用几何意 义求最值，z=x-2y 表示直线在 y轴上的截距，只需求出可行域直 线在 y 轴上的截距最小 值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意 义求最值，属于基础题8.【答案】 D【解析】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个 简单的组合体，是由一个三棱 锥和被轴截面截开的半个 圆锥组成，侧视图是一个中 间有分界线的三角形，故选：D由俯视图和正视图可以得到几何体是一个 简单的组合体，是由一个三棱 锥和被轴截面截开的半个 圆锥组 成，根据组合体的结构特征，得到组合

14、体的侧视图本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何 图形，再得到余下的三视图，本题是一个基 础题9.【答案】 B【解析】解：执行循环前，n=4，x=2，v=1，i=4-1=3 ，由于 i=3 0，所以 v=1?2+1=3，i=3-1=2 ，i=2 0，所以 v=3?2+1=7，i=1 0，v=7?2+1=15，第8页，共 19页i=0 0，则 v=15?2+1=31，i=-1 ，故输出 v=31，故选：B直接利用程序框 图的循环结构求出结果本题考查的知识要点：程序框图的应用10.【答案】 B【解析】解：函数f （x）=|-|=|-|，其中 1|x| 9，xR；设 g（t）=| -

15、|，t1，9；g（t）= - = -t-2，g（t）=+2t-30，g（t）在t1，9上是单调增函数，值为M=g （9）=3- =，f（x ）的最大最小值为 m=g（1）=1-1=0，则 M-m=故选：B根据题意设 t=|x|，f（x）等价于g（t）=- ，t1，9；判断 g（t）在t1 ，9 上的单调性，求出 f（x）的最大、最小值本题考查了绝对值的定义与函数的性 质应用问题，是中档题11.【答案】 C【解析】解：根据异面直线的判断定理知，直 线 AD 与 BC 是异面直 线，A 正确；根据异面直 线的性质知，过 AD 只能作一个平面与BC 平行，B 正确；根据异面直 线的性质知，过 AD

16、不一定能作一个平面与BC 垂直，C 错误；根据线面垂直与平行的判断定理知， 过点 D 只能作唯一平面与BC 垂直，第9页，共 19页但过点 D 可作无数个平面与BC 平行，D 正确故选：C根据异面直 线的判断定理、定义和性质，结合线面垂直与平行的判断定理，对选项中的命题判断正误即可本题考查了异面直 线的定义、判断定理和性质的应用问题，也考查了线面平行与垂直的 应用问题，是基础题12.【答案】 B【解析】k-1-1k，解：数列 an 满足当 2 n2-1（kN* ，nN* ）时 an=a1=a2=a3=a2a4=a5=a6=a7；k=5 时，数列a n 的前 n 项和为 S31 =+2 +22

17、+24 = k=6 时，数列a n 的前 63 项和= += 10S57=+26=10S58=+27=10，满足 Sn 10 的 n 的最小值为 58故选：B数列an满k-1-1k时an= ，可得 a1=a2=足当 2n2-1（kN* ，nN* ）aa； 可得：k=5时，数列an 的前 n项和为S31= 3=a24= =a5=a6=a7+2 +22+24= k=6 时，数列an 的前 63项和=+= 10进而得出满足 Sn10 的 n 的最小值 本题考查了数列递推关系、数列求和、分类讨论方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题13.【答案】【解析】第10 页，共 19页解：由于每位同学参加

18、各个小 组的可能性相同，故这两位同学同 时参加一个兴趣小组的概率为 3（ ）=，故答案为由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同 时参加一个 兴趣小组的概率为 3（ ），运算求得结果本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件的概率，属于基础题14.【答案】【解析】解：ABC 中，csinB=bcosC，由正弦定理得， sinCsinB=sinBcosC，又 B（0，180）， sinB 0，sinC=cosC，tanC=；又 C（0，180），C=60；又 A=45，B=180 -A-C=75 ；cosB=cos75 =cos（45+30）=cos45 cos30 -sin45 s

19、in30 =-=故答案为：由正弦定理和同角的三角函数关系求得角 C 的大小，再利用三角形内角和与两角和的余弦公式求得 cosB 的值本题考查了三角函数的化 简与求值问题，也考查了正弦定理的 应用问题，是基础题15.【答案】 -2， 0【解析】第11 页，共 19页解：当a0 时，f（x）=-（x-a）在0，+）上最大值为 0，而f （0）=-a2，不满足 f（x）f（0）恒成立当 a0时 ，f（x）=-（x-a）在0，+）上最大值为 f （0）=-a2，f （x）=-x 2-2x-3+a 在（-，0的最大值为 f（-1）=a-2故只需 a-2-a2 即可，-2 a0，故答案为 -2，0当 a0

20、 时，f（x）=-（x-a）在0，+）上最大值为 0，而f （0）=-a2，当a0时 ，f（x ）=-（x-a）在0，+）上最大值为 f（0）=-a2，f（x）=-x2-2x-3+a 在（-，0的最大值为f （-1）=a-2根据? xR，f （x）f（0）恒成立，列式求得a 的取值范围本题考查了分段函数得 图象及值域，属于中档题16.【答案】【解析】解：设 |AF|=a，|BF|=b，连接AF 、BF，由抛物 线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b以 AB 为直径的圆过点 F，|AB|2=a2+b2，22配方得，|AB|

21、=（a+b）-2ab，2又 ab（），222（a+b）-2ab（a+b）-（a+b）2=（a+b）得到 |AB| （a+b）所以=，第12 页，共 19页即的最大值为故答案为：设 |AF|=a，|BF|=b，连接 AF 、BF由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由勾股定理可2 2得 |AB| =（a+b）-2ab，进而根据基本不等式，求得 |AB|的取值范围，从而得到本题答案本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和勾股定理的应用等知识，属于中档题17.=（cos ，sin ） ?（sin ，sin ） = cos sin +sin【答案】 解：（ 1） f（ x）=sin=

22、sin +=sin（ - ） + ，令 2k- - 2k+，kZ，则 4k- x4k+ ， kZ，所以函数f （ x）的单调递增区间为4k-， 4k+ ， kZ（ 2） a， b， c 成等比数列，2b =ac，则 cosB= ，（当且仅当a=c 时取等号），0 B ， - 2B- 0，则 0 f（ x） ，综上， f（ B）的取值范围为（0， 【解析】（1）根据向量数量积公式先求出 f （x）的解析式，结合函数单调性进行求解即可（2）根据a，b，c 成等比数列，建立 a，b，c 的关系，结合基本不等式 进行转化求解即可本题主要考查三角函数的 图象和性质，利用向量数量积的定义求出函数的解析式是

23、解决本 题的关键第13 页，共 19页18.C1D 是由三棱柱【答案】 解：（ 1） 多面体 ABC-B1ABC -A1B1C1 截去一部分后而成， D 是 AA1 的中点 AD平面 ABC， BCAC，BC 面 DACC 1，则 BCCD ，BC B1C1， CD B1C1，又 AD =AC=1， D 是 AA1 的中点， ，DC 1=，可得，即 CD C1D ，CD 面 DC1B1， 点 C 到面 B1C1D 的距离等于 CD =，（ 2）当 =4时，直线 EF平面 B1C1D，理由如下：设AD=1，则 BB1 =2，取 DB 1 的中点 H ，连接 EH，可得 AD EH CC1，EH

24、是梯形DABB1 的中位线， ，当 C1F=EH = 时，四边形 C1FEH 为平行四边形，即 EF HC 1，HC 1? 面 B1C1D， 直线 EF平面 B1C1D此时且=4，【解析】（1）由BCCD，CDC1D，可得 CD面 B1C1D，即点 C 到面 B1C1D 的距离等于 CD时线EF平面 B1C1D，理由如下：取DB1 的中点连（2）当=4，直H， 接 EH，可得 AD EHCC ，当C1F=EH=时边为平行四边形，即1，四 形 C1FEHEFHC1本题考查了空间线面平行的判定，点面距离的求解，考 查了转化思想，属于中档题19.【答案】 854621721382575100【解析】

25、解：（）由茎图叶知 A 类工人中抽 查人数为 25 名，（1 分）B 类工人中应抽查 100-25=75（名）（2 分）由频率分布直方 图得 （0.008+0.02+0.048+x）10=1，得 x=0.024 （3 分）（）由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数 为 122（4 分）由（）及频率分布直方 图，估计 B 类工人生产能力的平均数 为=1150.008 10+1250.020 10+1350.048 10+1450.024 10=133.8 （6 分）（）由（）及给所数据得能力与培 训的 22 列联表，第14 页，共 19页短期培训长期培训合计能力优秀85462能力不优秀17213

26、8合计2575100（9 分）由上表得 10.828（11 分）因此，可以在犯错误概率不超 过 0.1%的前提下，认为生产能力与培 训时间长短有关 （12 分）（）由茎叶图知 A 类工人中抽 查人数为 25 名，B 类工人中应抽查 100-25=75，由频率分布直方 图求出 x；（）由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数 为 122，由（）频及率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数；（）求出K 2，与临界值比较，即可得出结论 本题考查频率分布直方 图及独立性 检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题20.【答案】 解：（ ）由题可得，解得所以椭圆 C 的方程为（ ）结论： ，理由如下：

27、1=2由题知直线 l 1 斜率存在，设 l1 ：y=k（ x+1）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）联立，2222消去 y 得（ 1+2k ） x +4k x+2 k -2=0 ，第15 页，共 19页由韦达定理得，因为 l2 与 l 1 斜率相反且过原点，设 l2 ：y=- kx，E（ x3， y3）， F （ x4， y4），联立22消去 y 得（ 1+2k ） x -2=0，由韦达定理得，因为 E， F 两点不与 A，B 重合，所以直线 AE ，BF 存在斜率 kAE， kBF ，则=0所以直线AE ，BF 的倾斜角互补，所以 =12【解析】（1）由题可得，求出 a，b，c

28、，即可得到椭圆的方程，结论题线l设l ：y=k（x+1），A（x，（2）：=，理由如下：由 知直斜率存在，12111y1），B（x2，y2），设 l2：y=-kx ，E（x3，y3），F（x 4，y4），根据韦达定理以及斜率公式即可证明本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程和性 质的运用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题21.【答案】 解：（ 1）当时，=令 f（ x） =0，得 x=2 ，当 x（ 0，2）时， f（ x） 0；当 x（ 2，+）时， f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 0， 2）上单调递减，在（ 2， +）上单调递增，当 x=2 时， f（ x）有最小值；证明：（

29、2）由 f（ x） =ax2-x-lnx，得=，第16 页，共 19页当 a0时，函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递减，当 a0时， f（ x）在（ 0， +）上最多有一个零点当 -1a0时， f（ 1） =a-1 0，当 -1a0时，函数f（ x）在（ 0， +）上有零点综上，当 -1a0时，函数 f（ x）有且只有一个零点；解：（ 3）由（ 2）知，当 a0时， f（ x）在（ 0， +）上最多有一个零点f（x）有两个零点，a0由 f（ x） =ax2-x-lnx，得令 g（ x）=2ax2-x-1，g（ 0） =-1 0， 2a 0， g（ x）在（ 0， +）上只有一个零点，设这

30、个零点为 x0，当 x（ 0，x0）时， g（x） 0， f（x） 0；当 x（ x0， +）时， g（ x） 0， f（x） 0；函数 f（ x）在（ 0， x0）上单调递减；在（x0， +）上单调递增要使函数f （ x）在（ 0，+）上有两个零点，只需要函数f（ x）的极小值f（ x0） 0，即，=，可得 2lnx0+x0-1 0，又 h（ x） =2ln x+x-1 在（ 0， +）上是增函数，且h（ 1）=0，x01，由，得=，0 2a 2，即 0 a 1以下验证当0 a1 时，函数 f （ x）有两个零点当 0 a1 时，=， g（ 1）=2 （ a-1） 0，=，且 f（ x0） 0，函数 f（ x）在上有一个零点又 （ln xx-1），且 f（ x0） 0， f（ x）在上有一个零点当 0 a1 时，函数f（ x）在内有两个零点第17 页，共 19页综上，实数a 的取值范围是（0， 1）【解析】1代入函数解析式，求其导导函数的零点把函数定义域分（）把函数，由段，再由导函数在各区 间段内的符号求得函数的 单调区间，则最小值可求；（2）由f（x）=ax2-x-lnx ，求其导函数，可得当 a0时，f （x）0，函数f （x）在（0，+）上单调递减，则 a0时，f