对称式与轮换对称式

1、八年级实验班竞赛专题对称式与轮换对称式【定义1】一个n元代数式f(x, x2, 一二xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代数 式不变，即对于任意的i，j ( 1 M cj兰n )，都有f (Xl，XiXj,二 Xnjrfa，二Xj,_， Xj,；xn)那么，就称这个代数式为 n元对称式，简称对称式。例如，x y, xy, x y, x2y2 z2, xy yz zx 都是对称式。xy如果n元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n元对称多项式。由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式f (x, y, z)中，若有ax3项，则必有ay 3, az3项；若有

2、b x2 y项，则必有b x2 z , by 2z, by 2x, bz2x, bz2y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x, y, z的二次对称多项式的般形式是：2 2 2a (x y z ) b( xy yz zx) c( x y z) d【定义2】如果一个n元多项式的各项的次数均等于同一个常数r，那么称这个多项式为n元r次齐次多项式。由定义2知，n元多项式 口召，X2, Xn)是r次齐次多项式，当且仅当对任意实数t有rf(tx“ tX2,tXn)二t f(X1，X2,二 Xn)。例如，含三个

3、字母的三元三次齐对称式为:3a (x y332-z ) b (x y2 2 2 2 2x z y x y z z x z y) cxyz【定义3】一个n元代数式f (x, x2,-“ xn)，如果交换任意两个字母的位置后，代数 式均改变符号，即对于任意的 i, j 1 _i ： j _ n，都有f (x1, Xi,-, x j, xn )= f(x1， X j, X i, Xn)那么就称这个代数式为 n元交代式。例如，x - y,(x - y)( y -z)(z - x), _-均是交代式。 x + y【定义4】如果一个n交代数式f（Xt,x2, 一二xn），如果将字母x1,x2,，_二xn以

4、x2代X1 , X3代x2,二，xn代xn丄，代xn后代数式不变，即f (Xi,xn)= f(x2,Xn,Xi)那么称这个代数式为 n元轮换对称式，简称轮换式。a (x2 - y2 - z2)是对显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如, 称式也是轮换式；b（ X?y ：卜y Hzx）是轮换式，但不是对称式。对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式;（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必

5、有其中任意两变元之差的因式。【定义5】下面n个对称多项式称为 n元基本对称多项式。n-1（X1, X2,磐 Xn） = Xii 土n6（X1, X2,丄,Xn）二 XjXj1 :j 勺n-k(X1，X2，Xn)二Xi1XiXik1 2 Hk 丄例如，二元基本对称多项式是指X y, xy ,三元基本对称式是指 x y z, xy yz zx, xyz当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。2 对称式、轮换式、交代式在解题中的应用对于多元的情形,为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形, 只需作类似的

6、处理即可。F面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧(1)若f(x， y， z)是对称式，则在解题中可设x y a) = i(x + + z)( - x + y + j)(x - y + j)(i + y-M)* 令 x-y = zf 得3 = A( + I + 1)( - i + J + 1)(1 l + 1)(1 + r)w* *=1-二 /(xtyfj) = (x + y + z) - x + y + j)( x - y + )( , + r j).【例 4 】：分解因式 f (x, y, z)=(x+y+z)5_x5_y5_z5解 鎚然/为x,y,z的5次齐次对称式+令 x +

7、 y=0j-/7-幻订0.儿 “y是/(.“,的因式*由对琢性知,+ r-2 + x *</(.y,2)的因式.于是 b + r)(y+ )匕+ 是f的因式由于f是一个5次齐次对称式，所以还有一个二 衣齐次对称式因式,故可设j) = (x + y)(y+ r)(z + *)( + / + (xy+jr+)令 z =0,y = z = I 2j4 + /J = 15(令 = y = z E J A * B = 10*联立，解得A = B5A=5(x + y)(y + z)(x + x)(xl + / + ? + xy + yz + xr).【例 5:分解因式 f(x,y)=x + y +(x

8、+y)。解 显然2、沁是关于盂理的4次齐次对称式它显然无瑕 F二的因式* 故/(x,y)只可能是两个二次齐次对称多项式的积于是可设/(xty) = kx +如 + +)(+ fiay + /),令 x = Ofrj = 1,得 k - 2.再令 x = y= !; = - y = 12(A + 2)(B + 2) =*18t.2(2-A)(2-8)2.解得于是 /(A；,y)=2(x2 + xy + y2)2.【例6：分解因式2 2 2 2 2 2(y z )(1 xy )(1 - xz) (z x )(1yz)(1 yx) (x 一 讨)(1 - zx)(1 zy)。解 令已知多项式为朋).

9、易验证J(孙y,刃是轮换对称式当y _方0时,/+(-/)(】 + /)( I + 吐)+(-22)(1 +X)*(J + 疔=0,所以有因式y- J-因此，由轮换对称性知还有忑-心龙-孑的因式，所以(尤-八 是f的因式用这个因式除f得商式应是一个三次坐戎(不是齐次 的)故可设*/(x5y)(y-z)(3-)a(x3 + yJ + ?) + 6(x2y + yaJ + ?x) + c(/ +j? + zr1) + dxyz + e(x2 4-/ + )+/( + ys + ) + g + y + )+ *其中sb吃、h为待定常数.因为左边x的最高次数是3,右边匕-y)(y-2)(-幻中的兀的最

10、高次数是2* 所以方括号内实的次数不能趙过由轮换对称性知，右边方括号内*乂的次数也不 能超过1.所以“ 二0.比较两边 丹的系数，得 = 0；比较两边夕的系数，得厂X比较两边xy2的系数，得f=0；取x = 3ry = 2,z-= 1.=故 f x, y, z = x - y i y - z z - x xyz x y z对称式与轮换对称式练习题:1 .已知 f (x, y, z) =(xy)5 (yz)5 (zx)5(1)求证：f为5次齐次式;(2)求证：f为轮换式;(3)求证：f为交代式;(4)分解因式f。2 分解因式2 2 2 2 2|丿 f (x， y)二(x xy y ) 4xy (

11、x - y )(2)f (x,y,444z) = (x y z)x - y(3)f (x,y,3“3z) =(x -y)y -z(4)f (x,y,z)二 xy 亠 yz 亠 zx “ x 亠 y(5)f (x,y,z) =x4 y z y4 z x(6)f (x,y,333z)二 x y z ；x y(7)f (x,y,3丄3 丄32z)=xyz x y(8)f (x,y,2 2 2 2z) = x y xyx z xz(9)f (x,y,z)=x2 y 亠 z 亠 y2 z 亠 x(10)f (a,b,c, d) = bed 亠 eda 亠 dab4444 z -(y z) -(z - x

12、) -(x y)3z Xz -xyz2 2 2 2 2z y z x z x y j 亠 2 xyz2 2y z yz3 xyzz2 x y - X3y3 z3 -2xyz2 abc - be adcd ab db ac练习答案与提示:2 2 21 . 5(- y)( y - z)( z - x)( x 亠 y 亠 z - xy - yz - zx)2. ( 1)可设(2)可设(3)可设(4)可设(5)f =(6)3( x(7)(x -(8)(x(9)(x2 2 2 2=k (x Axy y )(x Bxy y=kxyz (x y - z)，可求出 k =12=k (x y)( y z)( z x)，可求出=k （x亠y）（ y亠z）（ z亠x），可求出(x -y)( y -z)( z -x) | A(y)(y z)(z x)y z)(yz x)(zxy)y 亠 z)( xy 亠 yz 亠 zx)y _ z)( y 亠 z - x)( z 亠 x