从一道题另证谈圆锥曲线中一类结论

1、从一道题的另证谈圆锥曲线中一类结论-中学数学论文从一道题的另证谈圆锥曲线中一类结论江苏省镇江第一中学刘彬江苏省镇江中学徐春艳在高中数学教与学2002年第7期上中刊载的椭圆中的最大角问题一文中，作者给出了一个结论的证明，笔者试给出另一种证法，以此来介绍圆锥曲线中一类常用的结论。原文中题目如下:已知椭圆*+=（心怡刃）的怏轴端点是4 （ar0）、 点为捕岡上一个动点,求证半P位于短釉端点 的时候厶M殍战呼帚大值原证如F:设Kx,v）不妨设（krA,则由两戌线的到 角公式有：伽厶j pa= 加：+*為应沛 ：TTT+厂将 x2-（T-y 代入上式得:tan Z_ APB0;肝cy所以 Z_APBe,

2、iT）.因为正切函y=Unx在（孕m上是眾调递增的.所 W当丫勻时,Z4/7J取再最大值-本题如果知晓椭圆中有如下结论，还可以有另一种证明方式:结论：已咖圈沪*的丘轴端点是A （- 起卫）启（心0）屮点为餚圆上一个动点，且不与氏轴端点匝 合*那么有如人*证明：设IXfV）刚kfy- *匕声;X-tlX-fl所以x-ir则将宀、各屮代入上式得詁从声一佯一b（T有此结论后，原题可以证明如下:证：设P （x，y ）不妨设0 v y 0，kPB v 0则由两賣线的劃角公式有：仙厶4阳=f 计亦（才“ =II +kpkf* htt2A-（半且仅当it网&屋 丁庐即P点在短轴端点时等号成立），所以得证。从

3、此结论出发可以得出以下两个推论：押论I：已知椭岡孕+番=1（心60啲换轴端点& Ab（DgO）、P点为椭鬪上一个动点且不与短轴端点亚合那么有朮時耳口推论2 ：已知椭圆二+二-1 （心沁0 上TiXT原点灯（T h*称的两点B A用点为椭圆上一个动点,不与H合并口就线斜率存ft ,那么有k心-岭。（T-两个推论的证明可以由【1】证法同理得之。下面笔者举例来应用这类结论，以期抛砖引玉：手+*| 例：（2011 江）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆4 一7的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC,并延长交椭圆于点B，设直线P

4、A的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；当k = 2时，求点P到直线AB的距离d ;对任意k0，求证：PA丄PB.(1 )，(2)略(3)析：本问目的很明确就是证明 kPB kPA= Aa法一:由壬士_=j，得P 1生2炉V1+2A2242品卢生一二4-.肖线百:尸卜22kVl+212，VT+2F2 川i,XJ+5F,代人匚匸日得到络用-至4 22 VK由韦达宦理解彳辱仃厂业一 EgT面72毒址vl+2i2仁PA丄PB.=x-IA-4F法二抽得科i宀2vTTtF2A-4 vTf3F U2k2所以 _vj2FL=A_所以kPB kAB=，从而得证。点评：本题是江苏近几年高考的解析

5、几何题的典型题，主要考查椭圆的标准方 程与几何性质，考查解方程组，共线、点在曲线上的问题。字母运算的运算求解 能力，考查推理论证能力。(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合 解题能力，属难题。解法一直接根据题目中的条件来接两条直线的点，从而计算斜率乘积之间的关系，但计算量很大，在考试规定的时间内难免会出差错。 解法 二是解法一的改进版，通过结论的应用避免了求B点的坐标，直接求斜率，目的性更明确且使得过程简洁，明了通过上面三个结论的证明以及简单的应用，我们发现只要抓住“解析”来抓住 问题的本质特征，使得解析几何中的计算简明。现在高考命题提倡“通性通法”，在平时的研究过程中更要注重举一反三。比如以上椭圆的结论可以类推到 双曲线中去：二+二 T推论3 :已知双曲线(a0, b 0)上有关于原点对称的两