实数的运算及分数指数幂-教师版

1、例 1】 一个正数的平方是 3，这个数的准确数 ；近似数（精确到千分之一位）是 ；近似数的有效数字有 位，有效数字是 难度】答案】 3 ； 1.732 ； 四；1、7、3、 2解析】 3 1.732 ，所以有效数字是四位，有效数字是1、7、 3、2总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念 .例 2】 写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?51）2000；2）4.523亿 ；3） 7.33 105；4）0. 00125难度】答案】 1）有效数字： 2、 0、 0、0，精确到个位；2）有效数字： 4、5、 2、3，精确到十万位；3）有效数字： 7、 3、3，精确到千位；4）有效数字

2、： 1、2、 5，精确到十万分位解析】 对于一个近似数， 从左边第一个不是零的数字起， 往右到末位数字为止的所有数字， 叫做这个近似数的有效数字总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点 例 3】 用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值（ 1） 0.008435（保留三个有效数字 ） ；（ 2） 12.975（精确到百分位 ） ；（ 3） 548203（精确到千位 ） ；（ 4） 5365573（保留四个有效数字 ） 难度】答案】（ 1）0.00844； （2） 12.98； （3） 5.48 105； （ 4） 5.366 106 解析】（1）0.00844； （

3、 2） 12.98 ； （3） 5.48 105； （4） 5.366 106 总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示 例 4】 已知3.1415926L L ，按四舍五入法取近似值（ 1） （保留五个有效数字） ；（ 2） （保留三个有效数字） ；3） 0.045267 （保留三个有效数字）3难度】3) 0.0453或 4.53 103) 0.0453 或 4.53 10答案】（ 1）3.1416； （2） 3.14； 解析】（ 1）3.1416；（ 2） 3.14；总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示例 5】 用四舍五入法得到：小智身高 1

4、.8 米与小智身高 1.80 米，两者有什么区别 ? 难度】答案】精确度不同， 1.8 精确到十分位， 1.80 精确到百分位 解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位， 1.80 精确到百分位总结】本题主要考查了精确度的概念 例 6】 下列近似数各精确到哪一位 ?各有几个有效数字 ?（1）3.201；（2）0.0010；（ 3）难度】答案】（ 1）精确到千分位，有四个有效数字；（3）精确到百万位，有三个有效数字；解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字；（ 3）精确到百万位，有三个有效数字； 总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念102.35亿；（4） 7.60

5、1010（2）精确到万分位，有两个有效数字；（ 4）精确到亿位，有三个有效数字（2）精确到万分位，有两个有效数字；（ 4）精确到亿位，有三个有效数字例 7】 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600 立方米的水 （ 相当于个人一生的饮水量 ）某班有 50 名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没 有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为 立方米难度】答案】 3 104 解析】 50 600 30000 3 104 总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法 例 9】1）把下列分数指数幂化为方根形式：28 232） （ ）3 ；2713；3)

6、(116)4）11(642)3例 8】 把下列方根化为幂的形式：（1）32；2）310；（3）8 ( 5)2 ；（4）3 7 ；5）3 a ；（6）a难度】111111答案】（1) 23 ；（2）103； （ 3）54 ； （4）73；(5) a3 ； ( 6) ( a)2解析】（11) 3 2 23；（2）3101103 ；3) 8 ( 5)2852258154；（4）37137 73 ；5) 3 a3a1a3；( 6) a (1a)2本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算总结】7 / 20难度】答案】1）127 ；2）273) 1164）6 64 解析】（1）（3）113273 272

7、）2783112161 1 14)(642)3 646 6 64总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换例 10】 化 简：1 1 1（1） a2 a3 a6；难度】712) 8x3 y3 1答案】（ 1） a3；1 1 1 1 1 18x3 y3gx4gy3 8x3 gy6gx2gy6718x3y3总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算2017因为 3 a 0 ，所以 a 3 故当 a3时，原式431例 11】 计 算下列各值：（1） 5 3 5；1(2) ( 3a4aa 3 33aa )2017难度】答案】（ 1 ）556；（ 2） 1115解析】（1）5 3 5 5253

8、56；（2）因为a 3 0 ，3a0 ，所以 a 3，所以a 3 或 3，总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算例 12】 计 算下列各值：1) 221(3 27) 2 3253)2 ；13) 2 (213) 2 2 难度】答案】（ 1）12；（2）16解析】（1）223 27 21325( 3)24 9 2 312；（ 2） 2132213221 1 232 3 2 6(22）总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行例 13】 计 算：(1) a 132aa 4a ；1 1 11 42 1 41 4(2) (a)4 (a2)4(a)4；2 421 5 2 1 2 1(3) 3x

9、6 y6 ( 2x3y6) (4x3 y3) 难度】答案】（ 1）a；2）14 1 4a163）16x6y解析】（1）ag3 ag4 a12a111a2 3 41a1213a121a122) aa21142a2a2a411613) 3x 6 y例 14】 4a 2 ，4b答案】解析】321b 2a22b 2a2b总结】22x3 y62134x y316x69 ，求 212a2a的值4a 3 2 32本题主要考查了有理数指数幂的运算性质例 15 】 已知 x x3，求下列各式的值：答案】（ 1） 5 ；2) 2 5 解析】（1）Qx3，1x21x21又 Q x20，1x232) x23x21x2

10、1x223y1）11631x216x 6y 12 ；（ 2）5，3x2总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值1 1 1例16】 若a 43 23 13，求3a 1 3a2 a 3的值难度】答案】 19 81 1 1 1解析】 Q a 43 23 13 4 2 1 3 2 ，3a 1 3a 2 a 3 3 1 3 1 1 192 4 8 8总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算例 17】 化简： a b c a xb c b c a b xa c c a b c xa b答案】 0或 1b c a c a b x(a b)(c a) x(a b)(b c) x(b

11、 c)(c a)解析】当 x 0 时，原式 0 ；当x 0时， abc axb cgb cabxa cgc abcxabb2 c 2 c2 a2 a2 b2x (a b)( b c)( c a)x01总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论例 18 】 已知 a1 1 122 ，b 23，c 32，d133 ，试用 a、b、c、d 的代数式表示下列各数值（1） 800；（2） 3 0.003 ；（3） 3 108 ；（4）4 48难度】答案】（ 1） 20a ；（2）d ； （ ；（ 103) 3b2；（4）2 c 解析】（1) 800 20 2 20122 20a ；(2) 3 0.

12、00333113 d331010101211（3）3 108 33 4 3 43 3 23 3 2323 3b2 ；（4）14 48 24 3 2 34 21 1 1(32 )2 2gc22 c 总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题xx例19】 已知： a2x 10(a 0)，求ax a x 的值 ax a x难度】11答案】 11 9解析】 Q（ axx2a)2x 2x 1 a a 2 10 210121，10 ，又Qaxxa 0 ，xx11 10 ，x x 2 2x 2x181 ，aaQ( aa ) a a2 102101010x x x x 9 10aa 11 109 1011

13、又Q a a0， a a ， x x 10axax 10109总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用例20】 材料：一般地， n个相同的因数 a相乘：1a4ga2gL43ga记为an如 222=23=8，此时， n个3叫做以 2为底 8的对数，记为 log28（即 log28=3）一般地，若 an b（ a 0且 a 1， b 0 ），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 log a b （即 log a b n ）如 34=81 ，则 4 叫做 以 3 为底 81 的对数，记为 log 381（即 log381=4 ）；（ 1）计算以下各对数的值： log24=，log

14、216= ， log264= ；（ 2）观察（ 1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式， log24、log216、log264之间又 满足怎样的关系式；（ 3）由（ 2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?loga M loga N = ；（且 a 1，M 0，N0）难度】答案】（ 1）2，4，6； （2） 4 16=64， log24 log 2 16 log264；（3）loga（MN） 解析】（1） log 2 4 2 ， log 2 16=4 ， log2 64 6；（2） 4 16=64 ， log2 4 log 2 16 log2 64；（3）loga M loga

15、N log a （MN ） 总结】本题考查学生对新概念的理解及运用例 21】 5 的整数部分为 a，小数部分为 b，则 ba =难度】答案】 9 4 5 解析】 Q2 5 3， a 2，b 5 2， ba ( 5 2)2 9 4 5 总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用例 22 】（1）计算：0.1 1)32 ( 2)3( 2)2 ；2)( 7 6) 2015 ( 67) 2014 ；3) 2 3 5 6 3 15难度】1答案】( 1) 1；(2) 7 6 ；9解析】( 1) 4 16 (3 82 -0.1 1) 32 ( 2)33) 6 5 6 3 ( 2)28111 / 2

16、02 (4 10)( -9 8 2)31；9；2015 20142) 7+ 6 6 723 ( 6) 120146763) 2 3 5 6 3 153 2 3 5 2+ 3 52 3 52解析】xy xyx 2 xy yxyx y x y 2 y 3 2 3 2 15 56 5 6 3总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算例23】计算：x y x 2 xy y x y x y难度】 答案】 2 y 总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简例 24】 计 算：(1) 1 10 0 (0.23 10800)2 42 273 ( 17)2 ；132) 43答案】（

17、 1）2078解析】（1）原式1272 32)32(1(1251215)2213162120782）原式 8总结】本题主要考查了实数的混合运算例 25】 设 ： M 17 (831334) ( 331)116123)2)4(223)2512( 16)0.251试比较 1 M 与 1 N13难度】答案】1M131N解析】M71(334)1(3)(21)843315151051541084338153N(2)4(22)2 51 (1)0.2532642211( 2)(2 )5()0.2532616641111()9264的大小351，总结】1112941M= 1314113，1312 ，1 131

18、2112 ，1M131N本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较1例26】已知实数 x、y 满足 （x y 3）41(x y 5)25求 3x 28y的值9 / 200，答案】 5 解析】 Q (x y 3)410， (x y 5)20，解得x1y453x2 8y 1 3 2 5 总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用例27】 已知实数 a、b、x、y满足 yx 3 1 a2，x 3 y 1 b2，求2x y 2a b的值难度】答案】 17解析】 Q y x3 1a2 ， y 1a2x 3 ，Q x 3 y 1b2 ，x 3 1 a2 x3 1 b2a2x 3 b2 ，x 3

19、+a2+ x 3 +b2 0 ，a 0，b 0， x 3， y 1，2x y 2a b 24 +20 17 总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用例 28 】 先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如 m 2 n 的化简，只要我们找到两个数 a、b，使 a b m， ab n，使得( a) ( b) m ， a b n ，那么便有： m 2 n ( a b)2a b (a b)例如：化简 7 4 3 ；解：首先把 7 4 3 化为 7 2 12 ，这里 m 7， n 12 ，由于 4+3=7， 4 3 12 即 ( 4)2 ( 3)2 7 ， 4 312 7 4 3= 7 2 12= ( 4

20、 3)2 2 3( 1)化简： 13 2 42 ；( 2)化简： 11 4 6 ；( 3)化简： 59 24 6 难度】答案】( 1) 7 6 ；2)2 2 3； (3)4 2 3 3 解析】（1）根据 13 2 42 ，可得： m 13， n 42 ，Q6 7 13， 6 7 42，即（ 6）2 （ 7）2 13， 6 7 42 ，13 2 42 （ 6 7）2 7 6 ；（2）根据 11 4 6 11 2 24 ，可得： m 11， n 24，Q3 8 11，3 8 24，即（ 3）2 （ 8）2 11， 3 8 24 ， 11 4 6 （ 3 8） 2 8 3 2 2 3 ；（ 3）根据

21、 59 24 6 59 2 864 ，可得： m 59 ， n 864 ，864 ，Q32 27 59 ， 32 27 864 ，即（ 32）2 （ 27）2 59 ， 3259 24 6 （ 32 27）232 27 4 2+3 3 总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值13 ，求 3a 1 3a 2 a 3 的值11 例 29】 已知 a 43 23难度】 答案】 11 解析】设 b 23，则 aa 1 b 1 ，b a 1 1 ，b3 （ a 1 1）3=3a 1 3a 1 3a 2 a 3 22b3 1 1b2 b1，b 1 b 13a 2a 3+1 ，1 1 总结】本

22、题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用Ax( x)2 (x 0)B6 y2y3 (y 0)C3x44 (1)3 (x 0)D1x33 x(x 0)x难度】答案】C解析】x12x （x 0） ，故选项 A 错误；6 y21y3(y0） ，故选项1x313x，故选项 D 错误总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化B 错误；1习题 1】 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（1习题 2】 下列近似数各精确到哪一个数位 ?各有几个有效数字 ?（ 1） 2015；（2） 0.6180；5(3)7.20 万；(4) 5.10 105难度】答案】 （1）精确到个位，有四个有效数字；（ 2）精确到万分

23、位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字；（ 4）精确到千位，有三个有效数字解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、 1、 8、 0；（3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0；（4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念习题 3】 把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：3 2 4，13，54 7，5 63 ，322，334，342，273难度】12)6；答案】423；172 ； 45 ；365；解析】32423 ；113254745 ；5 63 65 ；3221

24、322123；334433；3421342273 372 总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化2) ( 3 2 2)2 (2 6) 2 114 6 10 4 6 10，3 2 2 2 6 习题 4】 比较大小：（1）26与 3 5 ；（2）32 2与 26难度】答案】（ 1 ）2+ 6 3 5 ；（2）3222 6 解析】（1）( 2+ 6)2 ( 3 5)28+2 1282 152 122 15 02+ 6 3 5 ；总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小习题 5】 把下列方根化为幂的形式2) 3 ab2 ab ；3）答案】（ 1）解析】（1）256528；11 114b4

25、3）a2) 3 ab2( ab)357a6b6；3) a2 ab3 ab51 5 3 11 3 a2 ab3 a 2b2 a2 a2b 2 a2 a4b11 11 114 a4b 4总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化13 / 201) (93 )233 4 ；2)133 93 ；13)(34 54)2 ；14) (3335) (22354)答案】( 1)3；2)3；3)解析】(1)23(93)41923；2)9；251333)4(3414254)2232252925；4)1(331262 2 )6325)3(223854)324521625400116)23x6y6 (2x2y3)2

26、3x6 y6 4xy3843；4)1931339；8233 3 ；756)3x6y65) 400 ；11(2x2y3)23116)3x6y6411366xy4总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用12)112)112 1 231126习题 7】利用幂的性质运算：(1)1 1 1(1)2 (3) 2 ( 3 )2 ；(5)2 (5) 2 (25)2 ；(2) 6428 6 2 ；(3)3 3 3 12 61231211(3) 3 3 3 12 6 12 32 33 23 23 36 9 2 18 总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用习题 8】 计算：1

27、3 1 7 341) 811 1 3 12) 112 32 1121322014 20153) 3 2 3 2 ；4)5 7答案】（ 1）解析】（1）321112 32 11273) 3 2 ；736；2）1(11 3)3 2 ；3）201432201532(3 2)2014( 3 2)4）153534)13 1 7 7 5 5 3 1 7 1 323 / 20总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用习题 9】已知 a( a2b) 3 b(2 a 4 b) ，其中 ab 0，求35b abb ab难度】答案】 5 7a ab 2 ab 12b ，2解析】 Q a( a b

28、) 3 b(32 a 4 b) ，3a ab 12b 0 ，( a 4 b)( a 3 b) 0 ，a 4 b 或 a 3 b (舍去)， a 16b ， a 5b ab 16b 5b 4b 5 a b ab 16b b 4b 7总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用12a12 a12 a12 a2 a2a求5习题 10】化简求值：（ 1）已知： a a( 2)已知： 2a2a3，求 8a8 a 难度】答案】( 1) 23 ，7， 3 ；(2)18解析】( 1) Q (aa 1)22 a2 a2 25 ，22 aa23；Qa a 1 5a0，12 a12 a0，11Q (a

29、2 a 2 )2a a 1 27，1a21a27；11Q (a2 a 2 )2a a 1 23，1a21a23；(2)Q (2a 2a)222a2a229，22a 2a27，Q8a 8 a (2a)3 (2 a)3 (2a 2 a)(22a 1 2 2a)，8a 8 a 3 6 18 【总结】 本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用， 综合性较强， 注意对解题方法 的归纳总结A0， a 的小数部分是 b，则 a b 的值是(B1C1D225 / 20难度】 答案】 B解析】 Q 4 2 5 5 ， b a 4 5 2 ， a b ( 5 2)( 5 2) 1总结】本题主要考查了无理数的整

30、数部分与小数部分的综合运用作业 2】 下列语句中正确的是 ( )A500 万有 7个有效数字3B 0.031 用科学记数法表示为3.1 103C台风造成了 7000 间房屋倒塌， 7000 是近似数D 3.14159 精确到 0.001的近似数为 3.141 难度】 答案】 C解析】 500 万有三个有效数字，故选项 A 错误；0.031用科学记数法表示为 3.1 10 2，故选项 B 错误； 3.14159精确到 0.001的近似数为 3.142，故选项 D 错误 总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用作业 3】 按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（ 1） 0.76589（精确到

31、千分位） ；（ 3） 320541（保留三个有效数字） ； 难度】答案】（ 1） 0.766； （2） 290； 解析】（1） 0.76589 0.766；（3） 320541 3.21 105 ；（2）289.91（精确到个位）；（4） 1.423 104 （精确到千位）3） 3.21 105； （4） 1.4 104（2） 289.91 290 ；44（4）1.423 104 1.4 104 总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用（ 1） 53 5 ；（2） 4 82；（ 3） 12难度】答案】（ 1 ）56 5；5（2）24；（3）26 3 115315解析】（1

32、）5 3 5 5253 56 ；（2）482 2422 24 ；（3）1213 3 2 321133 2 36263作业 4】 计算：33总结】本题主要考查了无理数的乘除运算作业 5】 计算：2） 3 8 4 4 16 6 32 （1） 5 3 5 45 ； 难度】45答案】71) 512；12) 23 解析】1) 5 3 51152 531541521134712 ；2)138 4 4 16 6 32 2 2222526122123 总结】本题主要考查了根式的乘除运算作业 6】 计算：19 12(1)(295)23 125 ( 515)0 ；2)1(8343)184124 3 0.064 ；273) ( 2674)13(3) 1 ( 27)4)(2(21