高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

1、函数的定义域与值域的常用方法（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 y f（ x），不能把它写成f（ x，y） 0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（ 1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（ 2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（ 3）换元法：若给出了复合函数f g（ x）

2、的表达式，求 f（ x）的表达式时可以令 t g（ x），以换元法解之；（ 4）构造方程组法：若给出f（ x）和 f （ x），或 f（ x）和 f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换 x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（ x）（或 f（ 1/x）即可求出f（ x）的表达式；（ 5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出 y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域

3、，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y f g（ x）的定义域的求解，应先由y f （u）求出u 的范围，即g（ x）的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 g（x）求出 y g（ x）的定义域 I 2，I 1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

4、7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f ： AB 中，集合B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则 C 是 B 的子集；若CB ，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总

5、结；（四）求函数的最值1、设函数 y f（ x）定义域为 A ，则当 x A 时总有 f （x） f（ xo） M ，则称当 x xo 时 f （x）取最大值 M ；当 x A 时总有 f（ x） f（x1） N，则称当 x x1 时 f（ x）取最小值 N ；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例 1. 已知函数 y f （x）满足 xy 0， 4x29y2 36，求该函数解析式。解： 由 4x29y 2 36 可解得：2 x22x29 , x393y3229 ,

6、 x3x3。2x29y3说明： 这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例 2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量 y 与该段河流的平均深度 x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为 2m 时，水流量为 340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。yky780 , x0解： 设x ，代入 x， y 的值可求得反比例系数k 780m3 /s，故所求函数关系式为x。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。x1x2x1f (

7、)x2，试求 f (x) 。例 3.已知xx11解：设 tx，则xt1 ，代入条件式可得： f (t )t2t 1 ，t 1。故得： f ( x) x2x 1, x 1 。说明： 要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例 4.f ( x) 2 f ( 1 ) 3x24x 5f ( x) ；（ 1）已知x，试求（ 2）已知 f ( x)2 f ( x) 3x24x 5 ，试求 f ( x) ；1解：（1）由条件式，以x111f1代 x，则得 f ( x)2 f (x) 3x24x5x ，

8、则得：，与条件式联立，消去fx28x24x5x23x33 。（ 2）由条件式，以x 代 x 则得： f ( x) 2 f (x)3x24x 5 ，与条件式联立，消去fx ，则得：fxx24x53 。说明：本题虽然没有给出定义域， 但由于变形过程一直保持等价关系， 故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例 5. 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 B 出发，顺次经过 C、 D 再到 A 停止。设 x 表示 P 行驶的路程， y 表示 PA 的长，求 y

9、 关于 x 的函数。解： 由题意知：当x 0， 1时： y x；当 x（ 1， 2）时：yx21；当 x（ 2， 3）时： y23x1 ；故综上所述，有x,x0,1yx21,x(1,232x(2,3x1,考点二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。yxx324 的定义域。例 6.求xx2 0解： 由题意知：x4且 x 4.故所求定义域为：，从而解得： x 2x|x 2 且 x 4 。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 7. 已知函数由下表给出，求其定义域

10、X123456Y2231435617解： 1， 2，3，4，5， 6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （ u）的定义域可以确定内函数g（ x）的范围，从而解得x I1，又由 g（x）定义域可以解得x I2.则 I 1 I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。例 8 已知 f (x)x, 求 yf ( g( x)的定义域 .x 3, g( x)x24x3由f ( x)x 3x 3 g(x) 3x3x2解：4x3又由于 x2 4x 30*联立 * 、 * 两式可解得：9 3 3或93 3x1 3x44故所求定义域为9 33或9 3 3x |x1 3x44例 9.

11、 若函数 f （ 2x）的定义域是1， 1，求 f（ log 2x）的定义域。x）的定义域是 1， 1可知： 21 x1x 2解： 由 f（ 222，所以 f （x）的定义域为2， 2，故 log21， 2，解得 2x 4 ，故定义域为2,4。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。例 10. 求函数f ( x)ax 1 的定义域。解： 若 a0，则 xR；1若 a0 ，则 x；a1若 a0 ，则 x；a故所求函数的定义域：当 a0 时为R，当a0 时为x | x1，当a0 时为x | x1。aa说明：此处求定义域是对参变量 a 进行分类讨

12、论， 最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据 a 的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富， 下面通过例题来探究一些常用的方法； 随着高中学习的深入， 我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法2x3y1 的值域。例 11.求函数x2x3 2x1 111y1x120解：xx 1 ，因为 x1，故 y2，所以值域为 y|y 2。说明： 这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x2 4x 的值域。解： y2x2 4x 2（x2 2x 1）

13、 2 2（ x 1） 2 2 2，故值域为 y|y 2 。说明： 这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y af2（ x） bf（ x） c。3、判别式法例 13.求函数 yx22 x3 的值域。4x25x6x22 x3y5x6 可变形为：（ 4y 1） x2（ 5y 2） x 6y 3 0，由 0可解得：解：4x2y26 6 3,26637171。说明： 对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出； 如果题中条件另外给出了定义域，

14、那么一般情况下就不能用此法求解值域； 第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法2例 14. 求函数 y3 ， x 4， 5的值域。x23513y解：由于函数x为增函数，故当x 4 时， ymin 2；当 x 5 时， ymax 5 ，所以函数的值域为513,25 。5、换元法例 15. 求函数 y2x4 1 x 的值域。解： 令 t1x0 ，则 y 2t2 4t 2（ t 1） 2 4，t 0，故所求值域为 y|y 4。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。x,

15、x1,2例 16. 求函数 yx2 , x(2,3 的值域。2x1,x(3,4解： 当 x 1， 2时， y 1，2；当 x (2，3时， y ( 4，9；当 x (3，4时， y ( 5， 7。综上所述， y 1， 2 ( 3， 9。7、图像法：x 2 , x 2,()例 17 设 f(x) 若 f(g(x) 的值域是 0， )，则函数 y g( x)的值域是x, x 1,A.( ， 1 1， )B.( ， 10 ， )C.0 ， )D.1 ， )解析： 如图为 f( x)的图象，由图象知f(x)的值域为 ( 1， )，若 f(g(x) 的值域是 0， )，只需 g(x)( ， 1 0， ).故选 B.8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 18