高等数学同济课后答案

1、总习题一1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 数列 Xn有界是数列Xn收敛的 条件 数列Xn收敛是数列 X有界的 的条件f (x)在xo的某一去心邻域内有界是lim f (x)存在的x Xo条件 lim f (x)存在是f (x)x Xo在Xo的某一去心邻域内有界的 条件(3) f (x)在xo的某一去心邻域内无界是lim f (x) 的条件 lim f (x)X XoX Xo是 f (x)在Xo的某一去心邻域内无界的 条件f (x)当X Xo时的右极限f ( Xo )及左极限f ( Xo )都存在且相等是lim f (x)存在的X Xo条件必要充分必要充分充

2、分必要解(1) 必要 充分2选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论设f(x)2X 3T 2 则当X o时 有()(A)f (x)与x是等价无穷小(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小解因为lim丄敛lim 2X3X 2lim 2X 1lim Ix 0 Xx 0Xx 0 Xx 0 XIn 2lim Lln 3lim uln2In3(令 2X 1 t 3X 1 u)t oln(1t)u oln(1u)所以f (x)与X同阶但非等价无穷小故应选B(C)f(x)是比x高阶的无穷小(D)f(x)是比x低阶的无穷小3 设f (x)的定义域是01 求下列函数的定义域(1)f(ex)(2) f(lnx)f(

3、arctanx)(4)f(cosx)解(1)由0ex1得x 0 即函数f (ex)的定义域为(0(3)由0arctan x 1 得 0xtan 1即函数f (arctanx)的定义域为0tan 1(4)由0cos x 1 得 2n2x2n 2 (n 01 2)即函数f (cosx)的定义域为2n2,n(n 021 2)设4f(x)g(x)x2求 f【f(x)gg(x)fg(x)gf(x)解因为f (x)0所以 f f (x) f (x)0x0因为 g( x)0 所以 g g( x)0因为 g( x)0 所以 f g( x)0因为f(x)0 所以gf(x)f 2(x)0x 0x2x05 利用y

4、sin x的图形作出下列函数的图形(1) y|sinx|(2) ysin| x| y 2sinx 2试将这圆6 把半径为R的一圆形铁片 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥锥的体积表为的函数解设围成的圆锥的底半径为r 高为h依题意有R2)2 r r 2h 、R2 r2R2 RP 2 )2圆锥的体积为7证0| x8(3)(5)(6)解(2)(3)1R2(2)2 R2)2J4a2 (0根据函数极限的定义证明明对于任意给定的引 时 就有| X引limXx2 x 63 X 32要使| 1 x 3即 |_x 61 x 3x 6 5|只需| x 3|5|求下列极限2.x2 X 1 limx 1 (

5、x 1)2 lim x(Jx2 1 x)Xlim1x v2x rlim tanx sinxX 0X3b 0 c 0)ax bx cx 1 lim (旦 b d)x(a x 03lim (sin x)tanxX2_12limXx(JX 1 X)limXx(x2 1 X)(.X2 1x)(X2 1X)limXlimXlim (玄卫)x 1x 2x 1lim (12Xlim (1X2x 1 o J 2 (12x 12)x2x 12 1 -)2 2x 1lim (1X小丄 )2 22x 1（提示(5)所以xim(1 占lim tanx sinxx 02x 1lim (1x2xx3xmx3cosx用等价

6、无穷小换）lim(ax bx cxxxim0(1xlim x 021)2sin x(cosxx3-limx1)xim0sin x(1 cosx)3X COSX2x（2）2xim0(1ax bx cx 333 ax bx cx 3ax bx cx 3 3x因为3x33) ax bx cx 3bx3x!ln alim 1一3 t o|n(1 t)cx 3叫（专1bx 1ln blimu o|n(1 u)口)xIn clim1v 0In(1 v)13(lna Inb Inc)In3 abcax bx cx 丄 巩(沽7In3 abc e3 abc提示求极限过程中作了变换 ax 1tbx 1(6)li

7、m (sin x)tanx lim 1 (sinxxx2 211) sinx 1(sinx 1)tanx因为所以1_lim 1 (sinx 1)snx2lim (sinx 1)tanx limxx2sin x(si nx 1)cosxlim sinx(sin2x 1)x - cosx(sinx 1)sinxcosx c lim0x _ sinx 12lim (sin x)tanx e0 1x2设 f (x)a.1xsinxxx2xf(0)解要使函数连续因为xlim0f(X)所以当10必须使函数在x2lim0 但 x )f(x)在 x0处连续要使f(x)在(0处连续axlin3 f(x)因此选取

8、a 0时)内连续lim xsin10应怎样选择数af(x)在()内连续1设 f(x)ex 1ln(1X)求f (x)的间断点并说明间断点所属类形0因为函数f (x)在x1处无定义所以x 1是函数的一个间断点因为limx 1f(x)limx 140 (提示lim xirmf(x)xirm(提示lim 1 x所以x 1是函数的第二类间断点又因为 lim f (x) lim0ln(x1) 0丿叫f(x)x1ex所以x 0也是函数的间断点且为第一类间断点11证明证明因为nn2 n1n210)解(sin x)1、1 sin2cosx 翠 x|cosx|(5)1 x)2 (1x(11. xtan 21.

9、xtan 2(tan 2)sec2 x27 ex .1e2x1In y Inxxsin x In tanx(1 X) (1 x) 11 x2(1 x)2cosx 丄tanx(tan x)sinx In tanx cosxtan x(ex1 e2x) exsec2x sin x Intanx71萨當汙気）ex1 y y如11x2 x x仮（需In xx(1 Inx) x求下列函数的二阶导数(1)cos2xIn xx1 x222cosxsinx Inx cos xsin2x Inx cos21 2cos2x Inx sin2x -x2cosxsinx 1 cos2x 三xx22cos2x In x

10、2si n2xcos2x1 X 门；1 x2y |(1 x2) 2 ( 2x)(1)求下列函数的n阶导数10于是(13x2) 2_3x_(1 x2)5m1 x1 xnxy m1 x (11(1加m丄x)mi)(ix)m211 11 3y 丄(丄 1)(- 2)(1 x)mm mmy(n)1)(12)（丄1n 1)(1 x)mmmmmy 1 y 1xx12(1 x)1y2(1)(1x) 2y2(1)(2)(1x)2(1)(2)(3)(1x) 4y(n)2(1)(2)( 3)(n)(1x) (n 1 2-31)nn!1 n设函数yy( x)由方程e y方程两边求导得eyyy xy 0xy e所确定

11、yx eyx)n 1求 y (0)11(1)y (七x eyy(x ey) y(1 eyy)0时由原方程得y(0)1(x ey)2由(1)式得y (0)求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数3acos33asin31e2 dy及二阶导数2_y dxdx2由式得y (0)Ind t2 arctant解(1) dydx(asin3 )(acos3 )3asin2 cos 3a cos2 ( sinta n12d2ydx2dydxd2ydx2(tan )(a cos3 )(arcta nt)In 1 t2(1)In、1 t2求曲线xydydx(et)(2et)当t 0时dydx2sec23acos

12、sinsec4 csc3a11 t2t1 t21_t!t1 t21 t2t32et在t =0相的点处的切线方程及法线方程e t12e2t所求切线的方程为 y 11212(x 2) 即 x 2y 4 0所求法线的方程为y 1 2(x 2)13甲船以6km/h的速率向东行驶乙船以8km/h的速率向南行驶在中午十二点正乙船位则有S (162畤8t)2(61)216(16 8t) 72tdSdt16(16 8t) 72t2SS 10ft128 722 8 (km/h)20于甲船之北16km处问下午一点正两船相离的速率为多少解设从中午十二点开始经过t小时两船之间的距离为即下午一点正两船相离的速度为2 8

13、km/h14利用函数的微分代替函数的增量求3 1.02 的近似值设 f (x)3 X则有f(1X)f(1) f (1)1或 f(1 X) 1 1X于是1531.02 3 1 0.020.021.007已知单摆的振动周期g其中 g 980 cm/sl为摆长(单位为cm)设原摆长为20cm为使周期T增大0 05s摆长约需加长多少解因为 T dTL所以 L 0.05、gL2.23(cm)I L 20即摆长约需加长2 23cm总习题二1. 填空：x设常数k 0,函数f(x) Inx k在(o,)内零点的个数为,e设在0,1上f(x)0,(0),(1), f(1)f (0)或 f (0)f(1)几个数的

14、大小顺序为).A)f(1) f(0) f(1)f(0);B)f(1) f(1) f(0) f(0)；C)f f(0)f (1) f(0)；D)f(1) f(0) f(1) f(0).解应填写2.提示：f (x) 1 1 , f (x)x e12 . x在(0,)内，令f(x)0,得唯一驻点x e .因为f(x)0,所以曲线f (x) lnxx k 在(0,e)内是凸的,且驻点x e 一一定是最大值点，最大值为f (e) k 0又因为lim f (x),limf (x)，所以曲线经过x轴两次，即零点的个数为2.x 0x2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论解选择B .3.提示：因为f(x

15、)又由拉格朗日中值定理f (1) f (1)0,所以,有 f(1)f(0) f在(a(x)在0, 1f(0)(0).列举一个函数 f( x)满足:f (x)在ab)内不存在点使 f (b) f (a)上单调增加，从而f),0, 1,所以上连续在(a()(a).(1) f(x)fb)内除某一点外处处可导(0).取 f(x)|x|, x 1,1.易知f(x)在1, 1上连续，且当x 0(x)1;f (x)1; f(0)不存在，即f(x)在1, 1上除x 0外处处可导.注意f(1)f(1)0,所以要使f(1) f(1)(11)成立，即f ()0,是不可能的.因此在(1, 1)内不存在点使 f(1)f

16、(1)(11).4.设 limxf (x) k ,求 lim f (x a) f (x).x介于x a与x之间.解 根据拉格朗日中值公式，f(x a) f ( x) f ( ) a,当x 时,于是lim f (xxa) f (x) lim f ( ) a a lim f ( ) ak .x5. 证明多项式f ( x)x33x a在0, 1上不可能有两个零点证明f (x)3x2 3 3( x21),因为当 x (0, 1)时，f(x)0,所以f (x)在0,1上单调减少.因此，f(x)在0, 1上至多有一个零点.6.设 ao |ann 10,证明多项式f( x) a。a】xanxn在(0,1)内

17、至少有一个J零点.证明设F (x)axa1 2x2化Xn1，则 F(x)在0, 1上连续，在(0, 1)内可导，且F(0)F(1)0.由罗尔定理，在(0,1)内至少有一个点使F()0.(x)f (x),所以 f (x)在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f(x)在0, a上连续，在(0, a)内可导，且f(a)0,证明存在一点(0, a),f()0.证明 设 F(x)xf (x),则 F(x)在0, a 上连续,在(0,内可导，且F(0)F(a)0.由罗尔定理，在(0, a )内至少有一个点,使F(0.而 F(x)f(x)x f (x),所以f()()0.8.设 0ab,函数 f( x)在

18、 ab上连续明存在一点 (ab)使 f(a)f(b) f()lna在(abb)内可导试利用柯西中值定理9.证明对于f(x)和f(b) f(a)Inb Inaf(a) f(b)设 f(x)、|f(x)f (a)|g(a).In x在a,f ()J1g(x)g(a).(x)|b上用柯西中值定理)lnb,a(a,b).(a,b).是可导(x)得知,函数，且1,If且有(x)|0,(x), 证明：当xag( x)是单调增加的，当xa时,因为f ( x)、g ( x)都是可导函数，所以f ( x)、g ( x)在a, x上连续，在(a, x)内可导,X),使 f(x)f(a)f ()g(x) g(a)西

19、中值定理，至少存在一点(a.|f(x) f(a)| f () g(x) g(a)g ( ) 1,|f (x)f ( a)|v g ( x)g ( a).10.求下列极限：xx x根据柯limx 11 x lnxlim一13 ;x 0 ln(1 x) x(2arctanx) xlimx1lim (a1xx1a?)/nnx(其中 a1a2an0)解(1) (xx)(x. x x limx 11 xx l n) e(x xx)(ln xIn xlimx 1 (1 x lnx)limx1) xx(ln xx(ln x1).limxxx *lnx 1)1因为所以1lim -x 1x 11xx 1(ln

20、x 1 )(ln x 1)x11 lim x 0 ln(1 x)lim x ln(1 x)x 0xl n(1 x)00(1 x)l n(1 x)lim (Z arctanx)xxlim x(ln arctanxxlimxlimx2.xln(1 x)limx 0 xln(1 x)0ln(1 x) 1 12x(ln arctanx In) eln 2)limxlimx0ln(1 x)11 xx1 x2(In arctanx In )limxarcta nx 1 x22丄2x即limx11.(1)2xlim (arctanx)x1gx1a2xlimxIn ylimxlimx2 x(lnarctanx

21、 In) lim ex1aR)/nnx.则 Iny1 1nl n( a1xa21n1a1x a：In ai In a?ln yln( a1 a：证明下列不等式当0 x1 x2时2当 x0 时,ln(1x)证明因为1nxln( a1x1a) Inn11a；x1 1(a1x Ina1 a Ina2In an ln( a1an),从而 lim (a1xxtanx2 x2tanx1x1arcta n x1aj1an ) Inn,a/ In an)(丄)x因为a21xa2an).1a)/nnx lim y a1xa2an(1)令 f (x)凹,:xr “、 xsec x tanx f (x)x2x ta

22、nx 0,所以在(0,)内f(x)为单调增加的tanx1.因此当0 x1 X22时有X1tanx2 m tanx：沁, 即tan x1x-iX2要证(1x)ln(1x)arctan x ,即证(1x)ln(1x)arctan x 0.设 f(x)(1x)ln(1x) arctan x ,则 f(x)在0,)上连续，f (x)ln(1x)11 x2因为当x0时,ln(11x)0, 120,所以f(x)0, f(x)在0,)上单调增加.因此，当 x0时，f(x)f(0),而 f(0)0,从而 f(x)0,即(1x)ln(1x)arctan x0 .1 x2x012.设 f(x)x X ,求f(x)

23、的极值.x 2 x 0解x 0是函数的间断点(x)2x 2x(ln x 1).当 x0 时，f(x)0,得函数的驻点列表:x( ,0)0(0，1) e1 e(丄，)ef(x)不存在0f(x)/2极大值2e W极小值/2 函数的极大值为f (0)2,极小值为f(丄)e .e13. 求椭圆x2 xyy2 3上纵坐标最大和最小的点.2x v1解 2 x y xy2yy0, y.当 x y 时，y 0.x 2y2将x y代入椭圆方程，得ly2 ly2 y2 3, y 2 .242于是得驻点x 1, x 1.因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在,且在驻点处取得,又当x 1时,y 2,当x 1时,y 2

24、,所以纵坐标最大和最小的点分别为(1,2)和(1,2).14. 求数列n n的最大项.1解令 f (x) x x xx (x 0), _则1In f (x) In x ,x1 1 1 11f (x) 2 J2Inx 三(1 In x),f (x)xxx12f (x) xx (1 Inx).令f (x)0,得唯一驻点x e .因为当0 x e时，f (x) 0；当x e时，f(x) 0,所以唯一驻点x e为最大值点.因此所求最大项为 max 2,3 3 3 3 .15. 曲线弧y sin x (0 x)上哪一点处的曲率半径最小求出该点处的曲率半径解 y cos x, ysinx,(12、3/2y

25、 )(i|y I2、3/2cos x)(0x0解之得a ,b133因为当a4b1时，33limf(x)a 16b dxx x e e 0,x 05x5!3041所以当a , b 时，f (x)x (a b cos x)sin x为当x 0时关于x的5阶无穷小.33总习题四求下列不定积分(其中a, b为常数)：1.dxex e x-dx1dexe2x 1x1 e ln | 一2 ex1112.Jdx; (1 x)33.x .Rx(1 x)3x2 -66dx(a0);a x(x2xV 6dx a x(x(a3)2 (x3)*)6a33x ln| 二 x4.1 cosx . dx;x sin x5.

26、6.7.8.9.1 cosx dxx sin xlnln x dx;x1 d(x sinx) x sin xlnln xdx In ln xd ln x Inx lnln x xsin xcosx dx ；1 sin4xsinxcosx ,4 dx1 sin4x4tan xdx;tan4 xdxtan4 xIn|x sinx| C .1ln xln x丄 dx ln x ln In x ln x C . xsin x , .1d sinx41 sin x11 (sin2 x)2212d (sin x) arctansin x C .2.4 sin x ,2 dta n x cos x22tan

27、 xsin xd tanx2 d tanx(tan2xtan2x 113tan x tanx arctantanx3sinxsin 2xsin3xdx ;sinxsin 2xs in 3xdx cos3xs in 3xdx216 cos3xd(cos3x)12)dta nx tan2x 1!tan3x tanx x31 2 1 cos 3x cos4x 12dxx(x6 4)dxx(x6 4)165x6x(cos3xcosx)s in 3xdxcosxs in 3xdx(sin4x sin2x)dx-cos2x C .8)dx -ln|x| 丄 ln(x6 4)4424C.a x dx(a 0

28、);a x10.a x du a、a2一dx2 xxdx2 2a x11.12.13.所以14.x a arcs ina,a2x2dxx(1 x)dxj 2x(1 x)xcos2 xdx;2xcos!x24、1(x)22ln(. x,1 (、_x)2) C 2ln( .一 x一 1 x) C.xdx 1 (x2xcos2x)dxxds in 2x-xsi n2x41sin 2xdx4!x24xsi n2x4cos2x8C.eax cosbxdx;因为eax cosbxdx!eax cosbxaaxe cosbxdxcosbxdeaxeaxcosbxaaxeaxs in bxdxb (a2a21

29、 ax(e cosbxa2 b2 asin bxdeaxaxcosbxb axsin bxbja2eaxcosbxdx,-eaxsinbx)1 ax , 2ye (acosbxa bbsi nbx)C.dxdx 令 1 exd exd ln(u2u1)-1 duu 1（九丄)duu 1lnLl c.1 ex 115.dxx2 . x21x2x2 12sec t tant,x2 1C.xdxz22(a x )5/2 ;dx令xasint1116.2、5/2x )(a2dx令 x sectcostdtsint C17.18.5 acostdt (acost)13a4143a1cos41tantdxdt1-4a1-4a(ta n21tant Cz 223(a x )x4 .1x2dx令x tantxrfx23.cos t4 dt sin t1)d tant1:aa21tan4t2 .cos t d si ntsin t12 )d si nt sin t.(1 x2)3.1 x2C .2xsec2 tdt sect13si ntC si nt3x3C.、xsinxdx;- 一令、.x t.xsin . xdx = tsint 2tdt 22t