一元二次方程-韦达定理的应用及答案

1、一元二次方程韦达定理的应用 知识点： 一元二次方程根的判别式： 当厶0时方程 当厶=0 时方程有， 当厶0时方程. 韦达定理的应用： 1已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4. 已知两数的和与积，求这两个数 2 2 例1.关于x的一元二次方程 x 2mx 3m 8m 4 0 .求证：当m2时，原方程永远有两个实数根 例2.已知关于x的方程kx22(x 1)x k 10有两个不相等的实数根. (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数 k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值;

2、若不存在，说明理 由. 例3.已知关于x的方程x22(k 3)x k2 4k 10 (1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1，求k的值; 2 1 例4.已知关于 x的一元二次方程 x2 (m 2)x -m 30 2 (1)求证： 无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 若这个方程的两个实数根 NX 满足2X1 X2 m 1，求m的值。 例5.当m为何值时，方程8x2 (m 1)x m 7 0的两根： (1)均为正数；(2)均为负数；(3)个正数，一个负数；(4)一根为零；(5)互为倒数；都大于2. 2 2 例6.已知a,b,c,是 ABC的三边长，且

3、关于X的方程b(x 1) 2ax c(x 1) 0有两个相等的实根, 求证： 这个三角形是直角三角形。 例7.若n0，关于x 2 的方程x (m 2n)x 丄mn 0有两个相等的正的实数根, 4 课堂练习： 1.下列一兀二次方程中，没有实数根的是（） A. x2 2x 1 0B. x2 2 2x 2 0C. x2,2x 1 0 D. x2 x 2 0 2 1 1 2.已知X1,X2是方程x 3x 1 0的两个根，则的值是（） xx2 A.3 B.-3 C D .1 3关于 的二次方程（m 1)x2 x m2 2m 30的一个根为 0, 则m 的值为 A.1 B.-3 C.1 或一3 D.不等于

4、1 的实数 4方程 2 2 x (k 25)x （k 2）0的两根互为相反数, k的值为（） A. k =5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对 5.若方程x mx 4 0的两根之差的平方为48, m的值为（） A. 8 B.8 C.-8 D. 4 6.已知关于 x的方程 2 10 x (m 3)x m 70 , 若有一个根为 0 ,则m= ,这时方程的另 一个根是 若两根之和为3 5 ,这时方程的两个根为 2 7.已知方程 x px 10的一个根为 、5 ,可求得p= 8.若25是关于x的方程2x2 8x 0的一个根，则另一个根为 2 9.方程2x 6x 50两根为a, ,(

5、 )2 = 2 10.要使 9an 4n 6 与3an是同类项, n= 11.解下列方程: (1) (2x 1)216 2小 x 4x 3 5x2 3x 2 12.关于x的方程 ax2 (2 a 1)x (a 3) 0有实数根， 求a的取值范围。 13.设xj,X2是方程2x 4x 10的两根, 利用根与系数关系求下列各式的值: Xi X222 (1) (xi 1)( X2 1) ；(2)；(3) X1X2 . X2X-I 14关于x的方程x2 (2a 1)x (a 3) 0 ,试说明无论a为任何实数，方程总有两个不等实数根。 15.已知关于 x的方程x22(m 1)x 3m2110， (1)

6、 m为何值时，方程有两个相等的实数根？ (2) 是否存在实数 m，使方程的两根 + 1?若存在， 求出方程的根；若不存在，请说明理 x2 x1 由。 16关于x元二次方程 (c b)x2 2(b a)x a b 0有两个相等的实数根，其中a, b, c是三角形三 边的长，试判断这个三角形的形状。 17.已知 RtA ABC 中, 两直角边长为方程x2(2 m 7)x 4m(m 2)0 的两根, 且斜边长为13，求 S ABC的值. 韦达定理的应用测试题 日期： 月日满分： 100分姓名： 得分 1.关于x的方程ax 2x 10中，如果a0 , 那么根的情况是（ ) A.有两个相等的实数根 B.

7、有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 2 2.将方程x4x 1 0的左边变成平方的形式是（ ) 2 A. (x 2)1 B. 2 (x 2)1C. (x - 2) 2 =5 D. (x 2)2 5 3.设为必是方程 2x2 2 2 6x 30的两根，则为 2 X2 的值是（） A.15B.12C.6D.3 2 4已知x方程mx nx k 0（m 0）有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（） 2 2 2 2 A. n 4mk 00 B. n 4mk 0 c. n 4mk 0 d. n 4mk 0 2 5. 若关于x的一元二次方程kx 6x 9 0有两个不相等的实数根，则k的

8、取值范围为（） A. k0 D. k1 且 k0 2 6. 关于x的方程（a 2）x 2ax a 1 0有两个不相等的实数根，a的值为（） A. a-2B. - 2a-2 且 a 工 2 D. a -2 且 a 工 2 2 7. 设n为方程x mx n 0（n 0）的一个根，贝U m n等于 2 2 8. 如果一元二次方程x 4x k0有两个相等的实数根，那么k= 9. 如果关于x的方程2x2 （4k 1）x 2k2 1 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 2 10. 已知为必是方程 x 5x 2 0的两根，贝U： (1)为X2 = .；(2)为 X2 = =；(3)(捲 X2)= 1

9、1.解下列一兀二次方程: 2 (1) 2x 3x 10 r2 (2) 7x 4x 3 0 x2 6x 2 0 12.已知关于x的方程 2x2 (m 1)x 1 m 0的一个根为 4, 求m值及此方程的另- -个根。 13.已知：关于x的 兀二次方程 2 x 2(2m 3)x 4m2 14m 80 ,若 m 0, 求证：方程有两 个不相等的实数根。 14.若规定两数 a, b通过“运算，得到4ab,即玄b=4ab.例如2探6=4x 2X 6=48. （1）求3探5的值；（2）求乂x+24=0中x的值。 知识点： 元二次方程韦达定理的应用参考答案 元二次方程根的判别式 当厶0 时b2 4ac 0方

10、程有两个不相等的实数根, 当厶=0 时b2 4ac 0方程有有两个相等的实数根, 当厶2时，原方程永远有两个实数根 分析：b2 4ac (2m)2 4 1 (8m 4) 配方法论证 例2.已知关于x的方程kx2 2(k 1)x k 1 0有两个不相等的实数根. (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数 k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值;若不存在，说明理 由. 1 (1) k -且k 0(2)不存在，k=-1时无实数根 3 2 2 例3.已知关于x的方程x2 2(k 3)x k2 4k 1 0 (1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1

11、，求k的值； (1)k 0，关于 x的方程x2 （m 2n )x 1 mn 4 0有两个相等的正的实数根， 2 分析：（m 2n） mn (m n )(m 4n) 0 -1,4 n 课堂练习： 1.下列一兀二次方程中， 没有实数根的是 (C) 2 A. x 2x 10 B. x22 2x 2 0 C. x2、2x 10 d. x2 x 2 2.已知x1,x2是方程x 3x 10的两个根，则 1 1 的值是（A ） 这个三角形是直角三角形。 求证: 求的值。 n xx2 A.3 B.-3 C 1 C. 3 D .1 3.关于 的二次方程（m 2 2 1)x x m 2m 30的一个根为 0， 的

12、值为 A.1 B.-3 C.1 或一3 D.不等于1 的实数 4方程 x2 (k225)x （k 2）0的两根互为相反数, k的值为（C） A. k =5 B. k =5 C. k = -5 D.以上都不对 5.若方程x mx 4 0的两根之差的平方为48, m的值为（A ） A. 8 B.8 C.-8 D. 4 6.已知关于 x的方程 10 x2 (m 3)x 若有一个根为0 ,则m=_7 ,这时方程的另 一个根是 0_ 若两根之和为 则m=_-9_,这时方程的两个根为 7.已知方程 x2 px 10的一个根为 J5,可求得p=_人 8, x21 5 8.若2.3是关于x的方程2x2 8x

13、0的一个根，则另一个根为 23 , k = 2 9.方程2x 6x 50两根为a, 2 2 14,( )2=_19 2 n 4n 6 与3an是同类项, 则n= 10.要使9a 11.解下列方程: 2 (1) (2x 1)16 x 2 4x 30 (3) 5x2 3x 20 53 2 d X1, X2 X1 I, X23 X ,X21 2 2 5 12.关于x的方程ax2 (2 a 1)x (a 3) 0有实数根， 求a的取值范围。 2 利用根与系数关系求下列各式的值: 13设x!,x2是方程2x 4x 10的两根, (1) (X11)(X21)； x1 X2 X XI xj 2 X2 (1)

14、 (2)6 (3)3 2 14关于X的方程X (2a 1)x (a 3) 0，试说明无论a为任何实数, 方程总有两个不等实数根。 分析: (2 a 1)24(a 3) 4a2 11 15.已知关于 x的方程 2(m 1)x 2 3m 110 ， m为何值时, 方程有两个相等的实数根? 由。 是否存在实数 使方程的两根+ X2 1?若存在， 求出方程的根; X2 X1 若不存在，请说明理 (1) 2 2 4(m 1)24(3m2 11) 2 8m 8m 48 0， m12, m23 (2) X2X-!(%x2)2 Xfx2x1 x? 1，可得3m2 4m 70 ,解得 m17, m 3 16.关

15、于x 一元二次方程 (c b)x 2 2(b a)x b 0有两个相等的实数根 ，其中a, b, c是三角形三 边的长，试判断这个三角形的形状。 解答: 2 4(b a) 4(a b)(c b) 4(a b)(a c) 0， a b 或 a c 等腰三角形 17.已知 RtA ABC 中, 两直角边长为方程X2 (2m7)x 4m(m 2)0 的两根, 且斜边长为13，求 S ABC的值. 答案：m 5,S ABC 30 韦达定理的应用测试题 日期： 月日 满分： 100分姓名： 得分： 2 1关于x的方程ax 2x 10中，如果a0，那么根的情况是（C） 2 2 x的方程2x （4k1）x

16、2k 10有两个不相等的实数根, 那么k的取值范围是 k9 8 10.已知x, x2是方程 x2 5x 2 0的两根 (1) x-ix2 =-5 ；(2) x. X2 = 9.如果关于 11.解下列一元二次方程： 则： 2 2 ； (3) (X1 X2)=_17 A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定 2 2将方程x 4x 10的左边变成平方的形式是（D ） A. (x 2)2 1 B.( x 2)21 C. (x - -2) 2 =5 D. (x 2)25 3.设 为，x2是方程 2x2 2 6x 30的两根， 贝 y X1X2 2 2的值是（C） A.15

17、 B.12 C.6 D.3 4.已知 x方程mx 2 nx k 0(m 0）有两个实数根， 则下列关于判别式的判断正确的是（D） 2 A. n 4mk 0 0 B 2 .n 4mk 0 C. 2 n 4mk 2 0 D. n 4mk 0 5若关于 x的一兀二次方程 kx 6x 9 0有两个不相等的实数根， 贝U k的取值范围为（D） A. k0 D. k1 且 20 6.关于 x的方程（a 2)x2 2ax a 1 0有两个不相等的实数根， a的值为（C ） A. a-2 B. - 2a-2 且 a工2D. a -2且 a工2 7.设n 为方程x2 mx n 0(n 0) 的一个根，则m n等于 -1 2 2 8如果一元二次方程x 4x k0有两个相等的实数根，那么k=_2 2 2 2 (1) 2x 3x 10(2) 7x 4x 30(3) x 6x 20 1 x1-,x 2 2 1 訂2 1 12.已知关于 x 的方程2x2 (m 1)x 1 m 0的一个根为4,求m值及此方程的另一个根。 29 6