2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版

1、2.3函数的奇偶性与周期性 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1.奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的概念 图像关于 对称的函数叫作奇函数. 图像关于 对称的函数叫作偶函数. 2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称. (2)考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)： 若f(x) ，则f(x)为奇函数； 若f(x) ，则f(x)为偶函数； 知识梳理 y轴 原点 f(x) f(x) 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数

2、又是偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既 非奇非偶函数. 3.周期性周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数， 那么这个 就叫作f(x)的最小正周期. f(xT)f(x) 最小 最小正数 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称 的区间上具有相反

3、的单调性. (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶 偶偶，奇偶奇. 【知识拓展】 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.() (2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.() (3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周 期函数.() (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.() (5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.() 基础自测 123456 题组二教材改编题组二教材改编 2

4、.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则 f(1)_. 答案 2 解析解析f(1)122，又f(x)为奇函数， f(1)f(1)2. 1 解析 123456 4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x) 0的解集为_. 解析解析由图像可知，当0 x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0， 又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0. 综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5. 解析 123456 答案 (2,0)(2,5 解析解析依题意得f(x)f(x)，b0，又a12a， 解析 123456

5、答案 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是 6.偶函数yf(x)的图像关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_. 解析 123456 3 答案 解析解析f(x)为偶函数，f(1)f(1). 又f(x)的图像关于直线x2对称， f(1)f(3).f(1)3. 题型分类深度剖析 典例典例 判断下列函数的奇偶性： 题型一判断函数的奇偶性师生共研师生共研 解答 f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 解答 函数f(x)为奇函数. 解答 解解显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x

6、0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)， 函数f(x)为奇函数. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以 首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x) 0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A.yxsin 2x B

7、.yx2cos x C.y2x D.yx2sin x 解析答案 解析解析对于A，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数； 对于B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数； 对于D，yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数， 故选D. (2)函数f(x)lg|sin x|是 A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为2的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为2的偶函数 解析解析易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称， 又f(x)lg|sin(x)|lg|sin x|lg|sin x|f(x)，所以f(x)是偶函数， 又函数y|si

8、n x|的最小正周期为， 所以函数f(x)lg|sin x|是最小正周期为的偶函数. 解析答案 解析答案 题型二函数的周期性及其应用自主演练自主演练 解析解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数， 2.(2017山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当 x3,0时，f(x)6x，则f(919)_. 解析解析f(x4)f(x2)， f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)， f(x)是周期为6的周期函数， f(919)f(15361)f(1). 又f(x)是定义在R上的偶函数， f(1)f(1)6，即f(919)6. 解析答案 6 3.定义在R上的函数f(x)

9、满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x 2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_. 解析答案 339 解析解析f(x6)f(x)，周期T6. 当3x1时，f(x)(x2)2； 当1x3时，f(x)x， f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1， f(4)f(2)0，f(5)f(1)1， f(6)f(0)0， f(1)f(2)f(6)1， f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016) 1 336. 又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2， f(1)f(2)f(3)f(2 018)339. 函数的周期性反映了函数在整个定

10、义域上的性质.对函数周期性的考 查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值. 思维升华思维升华 题型三函数性质的综合应用多维探究多维探究 命题点命题点1求函数值或函数解析式求函数值或函数解析式 典例典例 (1)(2017全国)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(， 0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_. 解析解析方法一令x0，则x0. f(x)2x3x2. 函数f(x)是定义在R上的奇函数， f(x)f(x). f(x)2x3x2(x0). f(2)2232212. 方法二f(2)f(2)2(2)3(2)212. 12 答案解析 (2)(2016全国改编)已知f(x)为偶函数

11、，当x0时，f(x)ex1x，则 f(x)_. 解析解析当x0时，x0， f(x)f(x)ex1x， 解析答案 命题点命题点2求参数问题求参数问题 典例典例 (1)设函数f(x) 为奇函数，则k_. 解析解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)， 2 答案解析 (x2)(xk)(2x)(kx)， x22xkx2k2kkx2xx2，k2. 解析 10 答案 解析解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数， 即3a2b2. 即b2a. 由得a2，b4，从而a3b10. 命题点命题点3利用函数的性质解不等式利用函数的性质解不等式 典例典例 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)

12、(x1x2)， 有 0，则 A.f(3)f(2)f(1) B.f(1)f(2)f(3) C.f(2)f(1)f(3) D.f(3)f(1)21， f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)，故选A. (2)若f(x)为奇函数，且在(，0)上是减函数，又f(2)0，则xf(x)0 的解集为_. 解析答案 (，2)(2，) f(x)为奇函数，在(，0)上是减函数，f(2)0， xf(x)0的解集为(，2)(2，) (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间 上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： f(x)为偶函数f(x)f(|x|

13、). 若奇函数在x0处有意义，则f(0)0. 思维升华思维升华 跟踪训练跟踪训练 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在0，)上是增加 的，若f(lg x)0，则x的取值范围是 A.(0,1) B.(1,10) C.(1，) D.(10，) 解析答案 解析解析由题意，函数f(x)在R上是增函数， 且f(0)0，不等式f(lg x)0f(0)等价于lg x0，故0 x1， 故选A. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是 增函数，则 A.f(25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(25) C.f(11)f(80)f(25) D.f(2

14、5)f(80)f(11) 解析答案 解析解析因为f(x)满足f(x4)f(x)， 所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25) f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)， 得f(11)f(3)f(1)f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间2,2上是增函数， 所以f(1)f(0)f(1). 所以f(25)f(80)0时，f(x) 1，则当x0时， f(x)_. 12345678910111213141516 解析答案 当x0， 解析答案 1234

15、5678910111213141516 解析解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2， 12345678910111213141516 1 2 2 10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是增函数.如 果实数t满足f(ln t) 2f(1)，那么t的取值范围是_. 解析解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数， 解析 12345678910111213141516 答案 得f(ln t)f(1). 又函数f(x)在区间0，)上是增函数， 11.已知函数f(x) 是奇函数. (1)求实数m的值； 解答 12345678910111213141516 解解设x0， 所以f(x

16、)(x)22(x)x22x. 又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x). 于是x0时，f(x)x22xx2mx， 所以m2. (2)若函数f(x)在区间1，a2上是增加的，求实数a的取值范围. 解答 12345678910111213141516 解解要使f(x)在1，a2上是增加的， 所以10，得f(1)1，所以f(2 019)f(1)1. 解析 12345678910111213141516 答案 14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)， 已知当x0,1时，f(x)2x，则有 2是函数f(x)的周期； 函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3

17、)上是增函数； 函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是_. 解析解析在f(x1)f(x1)中，令x1t， 则有f(t2)f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故正确； 当x0,1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确； 由知，f(x)在0,2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0) f(2)201且f(x)是周期为2的周期函数，f(x)的最大值是2，最小值 是1，故错误. 12345678910111213141516 15.(2017东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当 0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图像在区间0,6上与x轴的交点 个数为_. 拓展冲刺练 解析解析因为当0 x2时