2018《第六章平行四边形》全章复习与巩固知识讲解讲义

1、第六章平行四边形全章复习与巩固（提高）知识讲解讲义 平行四边形全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1. 掌握平行四边形的性质定理和判定定理 2. 掌握三角形的中位线定理. 3. 了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念掌握多边形的内角和与外角和公式 4. 积累数学活动经验，发展推理能力 . 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD己作“ 口 ABCD，读作“平 行四边形ABCD . 要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 要点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等； 平

2、行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角 相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系 （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择 （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来 解决. 要点三、平行四边形的判定定理 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5. 对

3、角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释： （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法 （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据 要点四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： .注：距 (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离 离是指垂线段的长度，是正值 2 平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行线性质定理的推论： 夹在两条平行线间的垂线段相等 要点五、三角形的中位线 三角形的中位线 1 连接三角形两边中点的线段叫

4、做三角形的中位线. 2定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 要点诠释： (1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系 (2) 三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为 11 原三角形周长的丄，每个小三角形的面积为原三角形面积的-. 24 (3) 三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点六、多边形内角和、外角和 n边形的内角和为(n 2) 180 (n 3) 要点诠释：(1)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和求其边数; (2)正多边形的每个内角都相等，都等于(n 一2) 180 ; n 多边

5、形的外角和为 360 n边形的外角和恒等于 360。，它与边数的多少无关. 【典型例题】 (2015?海淀区二模)如图 类型一、平行四边形的性质与判定 1，在 ABC中，AB=AC / ABC=a , D是BC边上一点，以 AD为边作 ADE 使 AE=AD / DAEk BAC=180 (1)直接写出/ ADE的度数(用含 a的式子表示)； (2)以AB AE为边作平行四边形 ABFE 如图2,若点F恰好落在 DE上，求证：BD=CD 如图3,若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF 匿11图2图3 【思路点拨】(1)由在 ABC中，AB=AC/ ABC=a ,可求得/ BAC=180 - 2

6、 a ,又由 AE=AD / DAEk BAC=180 , 可求得/ DAE=2 a，继而求得/ ADE的度数； (2)由四边形 ABFE是平行四边形，易得/ EDCM ABC= a，则可得/ ADCM ADEf EDC=90，证得 ADLBC, 又由AB=AC根据三线合一的性质，即可证得结论；由在 ABC中，AB=AC / ABC=a，可得/ B=f C= a，四 边形ABFE是平行四边形，可得AE/ BF, AE=BF即可证得：/ EACf C= a，又由(1)可证得AD=CD又由AD=AE=BF 证得结论. 【答案与解析】 解：(1 )在 ABC 中，AB=AC / ABC=a , /

7、BAC=180 - 2 a , f DAEf BAC=180 , / DAE=2a , / AE=AD f ADE=90 - a ; (2)证明：四边形 ABFE是平行四边形， AB/ EF. f EDCf ABC=a , 由(1)知，f ADE=90 - a , f ADCf ADE-f EDC=90 , ADL BC / AB=AC BD=CD 证明： AB=ACf ABC= a , f C=f B= a . 四边形ABFE是平行四边形， AE/ BF, AE=BF f EACf C= a , 由(1)知，f DAE=2a , f DAC=a , f DACf C. A D=CD / AD

8、=AE=BF BF=CD BD=CF 【总结升华】 此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2中证得ADLBC 是关键，(2 中证得 AD=CD是关键. 举一反三： 【变式】分别以 口 ABCD(f CDAM 90 )的三边 AB, CD, DA为斜边作等腰直角三角形，ABE, CDG ADF. (1) 如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF, EF.请判断 GF与EF的关 系并证明)； (2) 如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF, EF,( 1)中结论还成立 吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由. 图1 圉2 【答

9、案】 解：(1) GF丄 EF, GF= EF成立； 四边形ABCD是平行四边形， AB= CD / DA聊/ ADC= 180, ABE CDG ADF都是等腰直角三角形， Dd Cd AE= BE, DF= AF, / CD (2) GFL EF, GF= EF 成立； 理由：四边形 ABCD是平行四边形， AB= CD, / DAB/ ADC= 180 , ABE CDG ADF都是等腰直角三角形， Dd Cd AE= BE, DF= AF , / CD/ADF=/ BAE= 45 , / BAH / FA叶/ EAF+/ ADF+/ FDC= 180 , / EAF+/ CDF= 45

10、 , / CDF+/ FD* 45 , / FDG/ EAF, 在 EAF和厶GDF中， DF =AF I /FDG FAE , DG =AE EAFA GDF( SAS , EF= FG / EFA=/ DFG 即/ GFDF/ GFA=/ EFA+/ GFA / GFE= 90 , GF丄 EF. G2、如图,点D ABC的边AB的延长线上一点,点 F是边BC上的一个动点（不与点 B重合） BF为邻边作平行四边形 BDEF又A社BE （点P、E在直线AB的同侧），如果 1 BD= AB, 4 .以BD 那么 PBC 的面积与厶ABC面积之比为（ ) A 1f3 1 A.B. C D 45

11、5 【答案与解析】 解：过点 P作PH/ BC交AB于H,连接CH, PF, / AP 上 BE, 四边形APEB是平行四边形， PE/ AB PE= AB, 四边形BDEF是平行四边形， EF/ BD, EF= BD, 即 EF/ AB P, E, F 共线， 设 BD= a , / BD= 1AB, PE= AB= 4a, 4 贝U PF= PE EF= 3a , / PH/ BC, - Sa HBC =Sa PBC , / PF/ AB 四边形BFPH是平行四边形， BH= PF= 3a , T Sahbc : Saabc = BH AB= 3 a : 4 a = 3: 4 , Sa f

12、bc : Saabc = 3: 4 - 注意准确作出 【总结升华】 此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题难度较大, 辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比. 举一反三： ABD 心 ACE 【变式】已知 ABC中，AB= 3, AC= 4 , BC= 5,分别以 AB AC BC为一边在 BC边同侧作正 和正 BCF求以A E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积. 证明： AB = 3 , AC= 4 , BC= 5 , / BAC= 90 / ABD ACEDA BCF为正三角形， AB= BD= AD AC= AE= CE BC= BF= FC , / 1

13、 + Z FBA=Z 2+Z FBA= 60易证 BAC BDF( SAS , DF= AC= AB 4，/ BDF= 90 同理可证厶BACA FEC . AB= AD- EF= 3 .四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） DF/ AE, DF丄 BD 延长EA交BD于H点，AHI BD贝U H为BD中点 3 .平行四边形 AEFD的面积=DFX DH= 4X = 6. 2 3、在平行四边形ABCD中，点Al,A2,A3,A和Ci,C2,G,G分别AB和CD的五等分点，点Bi,B2和D , D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形 A4B2C4D2的面积为1，

14、则平行四边形 ABCD面积为（） A. 2 B. C. D. 15 【思路点拨】可以设平行四边形 ABCD勺面积是S,根据等分点的定义利用平行四边形 ABCD勺面积减去四个角 上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4Q的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解. 贝U S 5 a ?3 x AAD2与AB 2CC4全 【答案】C; 【解析】 解：设平行四边形 ABCD勺面积是S,设AB= 5a , BC- 3b . AB边上的高是 3x , BC边上的高是5 y . S 3 b ?5 y .即 ax by 15 14 等，B2C-丄BC- b , B2C边上的高是工?5 y - 4y

15、 . 3 5 则厶AA4D2和ABzCC的面积是 2 b y = 2S 15 同理AD 2CO与AA 4BR的面积是 S 15 则四边形 ABGD的面积是S- 2S 2S S S 9S 即 9S - 1, 15 15 15 15 15 15 5 解得S- 5 . 3 【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关 系是解决本题的关键. 类型二、三角形的中位线 4、如图， ABC的周长为26，点D, E都在边BC上，/ ABC的平分线垂直于 AE,垂足为 Q / ACB的平 分线垂直于AD,垂足为P,若BC- 10,则PQ的长为（） A. 3B.

16、 5C.3D.4 2 2 【答案】C; 【解析】 解：易证厶ABQA EBQ, AB= BE, Q为AE中点， ACP DCP, AC= CD P 为 AD中点， 1 PQ/ DE,PQ= DE 2 /AB+ AC+ BC= 26, BC= 10, AB+ AC= BE+ CD= 16= BD+ DE+ DE+ EC= BC+ DE, 1 DE= 6, PQ= DE= 3. 2 【总结升华】 本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角 平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形. 类型三、多边形内角和与外角和 5、若一个多边形的每个外角都等于60,则它的内

17、角和等于() A . 180 B . 720 C . 1080 D . 540 【思路点拨】 由一个多边形的每个外角都等于60,根据n边形的外角和为360计算出多边形的边数 n,然 后根据n边形的内角和定理计算即可. 【答案】B； 【解析】 解：设多边形的边数为n, 多边形的每个外角都等于 60, n = 360- 60 = 6, 这个多边形的内角和=(6-2)X 180= 720. 【总结升华】 本题考查了 n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n 2) ?180；也考查了 n边形的外角 和为360. 举一反三： 【变式】(2016秋?小金县校级期末)一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比

18、一个内角大60求这个 多边形的每个内角的度数及边数. 【答案】 解：设内角是x外角是y _Ly - x = 60 则得到一个方程组 x + y =180 ” + x 解得 y =120 而任何多边形的外角是 360, 则多边形中外角的个数是360 - 120=3 , 故这个多边形的每个内角的度数是60边数是三边形. 6、甲、乙两人想在正五边形 ABCD吶部找一点P,使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法如下: （甲） 连接BD CE两线段相交于 P点，则P即为所求 （乙） 先取CD的中点M再以A为圆心，AB长为半径画弧，交 AM于P点，则P即为所求. 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（） A.两人皆正确B.两人皆错误 C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确 C3 C 理由是： / DEC 同理 / ABP= / BPE= 四边形 / BAE= / BAM= AB= AE= 【思路点拨】 求出五边形的每个角的度数，求出/ ABR / AER / BPE 的度数，根据平行四边形的判定判断即 可. 【答案】C; 【解析】 解：甲正确，乙错误, 如图，正五边形的每个内角的度数是三三一四 =108 5 AB= BC= CD= DE= AE 1 =Z DCE=X( 180 108)= 36