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文档简介

1、第六章平行四边形全章复习与巩固(提高)知识讲解讲义 平行四边形全章复习与巩固(提高) 【学习目标】 1. 掌握平行四边形的性质定理和判定定理 2. 掌握三角形的中位线定理. 3. 了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念掌握多边形的内角和与外角和公式 4. 积累数学活动经验,发展推理能力 . 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD己作“ 口 ABCD,读作“平 行四边形ABCD . 要点诠释:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心 要点二、平行四边形的性质定理 平行四边形的对角相等; 平

2、行四边形的对边相等; 平行四边形的对角线互相平分; 要点诠释:(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等;角的性质可以证明两角 相等或两角互补;对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系 (2)由于平行四边形的性质内容较多,在使用时根据需要进行选择 (3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题,在解答时应联系三角形三边的不等关系来 解决. 要点三、平行四边形的判定定理 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 5. 对

3、角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释: (1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个 行四边形时,应选择较简单的方法 (2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据 要点四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离: .注:距 (1)定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离 离是指垂线段的长度,是正值 2 平行线性质定理及其推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行线性质定理的推论: 夹在两条平行线间的垂线段相等 要点五、三角形的中位线 三角形的中位线 1 连接三角形两边中点的线段叫

4、做三角形的中位线. 2定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的 要点诠释: (1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系 (2) 三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为 11 原三角形周长的丄,每个小三角形的面积为原三角形面积的-. 24 (3) 三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点六、多边形内角和、外角和 n边形的内角和为(n 2) 180 (n 3) 要点诠释:(1)内角和定理的应用:已知多边形的边数,求其内角和;已知多边形内角和求其边数; (2)正多边形的每个内角都相等,都等于(n 一2) 180 ; n 多边

5、形的外角和为 360 n边形的外角和恒等于 360。,它与边数的多少无关. 【典型例题】 (2015?海淀区二模)如图 类型一、平行四边形的性质与判定 1,在 ABC中,AB=AC / ABC=a , D是BC边上一点,以 AD为边作 ADE 使 AE=AD / DAEk BAC=180 (1)直接写出/ ADE的度数(用含 a的式子表示); (2)以AB AE为边作平行四边形 ABFE 如图2,若点F恰好落在 DE上,求证:BD=CD 如图3,若点F恰好落在BC上,求证:BD=CF 匿11图2图3 【思路点拨】(1)由在 ABC中,AB=AC/ ABC=a ,可求得/ BAC=180 - 2

6、 a ,又由 AE=AD / DAEk BAC=180 , 可求得/ DAE=2 a,继而求得/ ADE的度数; (2)由四边形 ABFE是平行四边形,易得/ EDCM ABC= a,则可得/ ADCM ADEf EDC=90,证得 ADLBC, 又由AB=AC根据三线合一的性质,即可证得结论;由在 ABC中,AB=AC / ABC=a,可得/ B=f C= a,四 边形ABFE是平行四边形,可得AE/ BF, AE=BF即可证得:/ EACf C= a,又由(1)可证得AD=CD又由AD=AE=BF 证得结论. 【答案与解析】 解:(1 )在 ABC 中,AB=AC / ABC=a , /

7、BAC=180 - 2 a , f DAEf BAC=180 , / DAE=2a , / AE=AD f ADE=90 - a ; (2)证明:四边形 ABFE是平行四边形, AB/ EF. f EDCf ABC=a , 由(1)知,f ADE=90 - a , f ADCf ADE-f EDC=90 , ADL BC / AB=AC BD=CD 证明: AB=ACf ABC= a , f C=f B= a . 四边形ABFE是平行四边形, AE/ BF, AE=BF f EACf C= a , 由(1)知,f DAE=2a , f DAC=a , f DACf C. A D=CD / AD

8、=AE=BF BF=CD BD=CF 【总结升华】 此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定.注意(2中证得ADLBC 是关键,(2 中证得 AD=CD是关键. 举一反三: 【变式】分别以 口 ABCD(f CDAM 90 )的三边 AB, CD, DA为斜边作等腰直角三角形,ABE, CDG ADF. (1) 如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时,连接GF, EF.请判断 GF与EF的关 系并证明); (2) 如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时,连接GF, EF,( 1)中结论还成立 吗?若成立,给出证明;若不成立,说明理由. 图1 圉2 【答

9、案】 解:(1) GF丄 EF, GF= EF成立; 四边形ABCD是平行四边形, AB= CD / DA聊/ ADC= 180, ABE CDG ADF都是等腰直角三角形, Dd Cd AE= BE, DF= AF, / CD (2) GFL EF, GF= EF 成立; 理由:四边形 ABCD是平行四边形, AB= CD, / DAB/ ADC= 180 , ABE CDG ADF都是等腰直角三角形, Dd Cd AE= BE, DF= AF , / CD/ADF=/ BAE= 45 , / BAH / FA叶/ EAF+/ ADF+/ FDC= 180 , / EAF+/ CDF= 45

10、 , / CDF+/ FD* 45 , / FDG/ EAF, 在 EAF和厶GDF中, DF =AF I /FDG FAE , DG =AE EAFA GDF( SAS , EF= FG / EFA=/ DFG 即/ GFDF/ GFA=/ EFA+/ GFA / GFE= 90 , GF丄 EF. G2、如图,点D ABC的边AB的延长线上一点,点 F是边BC上的一个动点(不与点 B重合) BF为邻边作平行四边形 BDEF又A社BE (点P、E在直线AB的同侧),如果 1 BD= AB, 4 .以BD 那么 PBC 的面积与厶ABC面积之比为( ) A 1f3 1 A.B. C D 45

11、5 【答案与解析】 解:过点 P作PH/ BC交AB于H,连接CH, PF, / AP 上 BE, 四边形APEB是平行四边形, PE/ AB PE= AB, 四边形BDEF是平行四边形, EF/ BD, EF= BD, 即 EF/ AB P, E, F 共线, 设 BD= a , / BD= 1AB, PE= AB= 4a, 4 贝U PF= PE EF= 3a , / PH/ BC, - Sa HBC =Sa PBC , / PF/ AB 四边形BFPH是平行四边形, BH= PF= 3a , T Sahbc : Saabc = BH AB= 3 a : 4 a = 3: 4 , Sa f

12、bc : Saabc = 3: 4 - 注意准确作出 【总结升华】 此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题难度较大, 辅助线,注意等高三角形面积的比等于其对应底的比. 举一反三: ABD 心 ACE 【变式】已知 ABC中,AB= 3, AC= 4 , BC= 5,分别以 AB AC BC为一边在 BC边同侧作正 和正 BCF求以A E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积. 证明: AB = 3 , AC= 4 , BC= 5 , / BAC= 90 / ABD ACEDA BCF为正三角形, AB= BD= AD AC= AE= CE BC= BF= FC , / 1

13、 + Z FBA=Z 2+Z FBA= 60易证 BAC BDF( SAS , DF= AC= AB 4,/ BDF= 90 同理可证厶BACA FEC . AB= AD- EF= 3 .四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) DF/ AE, DF丄 BD 延长EA交BD于H点,AHI BD贝U H为BD中点 3 .平行四边形 AEFD的面积=DFX DH= 4X = 6. 2 3、在平行四边形ABCD中,点Al,A2,A3,A和Ci,C2,G,G分别AB和CD的五等分点,点Bi,B2和D , D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形 A4B2C4D2的面积为1,

14、则平行四边形 ABCD面积为() A. 2 B. C. D. 15 【思路点拨】可以设平行四边形 ABCD勺面积是S,根据等分点的定义利用平行四边形 ABCD勺面积减去四个角 上的三角形的面积,就可表示出四边形A4B2C4Q的面积,从而得到两个四边形面积的关系,即可求解. 贝U S 5 a ?3 x AAD2与AB 2CC4全 【答案】C; 【解析】 解:设平行四边形 ABCD勺面积是S,设AB= 5a , BC- 3b . AB边上的高是 3x , BC边上的高是5 y . S 3 b ?5 y .即 ax by 15 14 等,B2C-丄BC- b , B2C边上的高是工?5 y - 4y

15、 . 3 5 则厶AA4D2和ABzCC的面积是 2 b y = 2S 15 同理AD 2CO与AA 4BR的面积是 S 15 则四边形 ABGD的面积是S- 2S 2S S S 9S 即 9S - 1, 15 15 15 15 15 15 5 解得S- 5 . 3 【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算,正确利用等分点的定义,得到两个四边形的面积的关 系是解决本题的关键. 类型二、三角形的中位线 4、如图, ABC的周长为26,点D, E都在边BC上,/ ABC的平分线垂直于 AE,垂足为 Q / ACB的平 分线垂直于AD,垂足为P,若BC- 10,则PQ的长为() A. 3B.

16、 5C.3D.4 2 2 【答案】C; 【解析】 解:易证厶ABQA EBQ, AB= BE, Q为AE中点, ACP DCP, AC= CD P 为 AD中点, 1 PQ/ DE,PQ= DE 2 /AB+ AC+ BC= 26, BC= 10, AB+ AC= BE+ CD= 16= BD+ DE+ DE+ EC= BC+ DE, 1 DE= 6, PQ= DE= 3. 2 【总结升华】 本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定,注意培养自己的敏感性,一般出现高、角 平分线重合的情况,都需要找到等腰三角形. 类型三、多边形内角和与外角和 5、若一个多边形的每个外角都等于60,则它的内

17、角和等于() A . 180 B . 720 C . 1080 D . 540 【思路点拨】 由一个多边形的每个外角都等于60,根据n边形的外角和为360计算出多边形的边数 n,然 后根据n边形的内角和定理计算即可. 【答案】B; 【解析】 解:设多边形的边数为n, 多边形的每个外角都等于 60, n = 360- 60 = 6, 这个多边形的内角和=(6-2)X 180= 720. 【总结升华】 本题考查了 n边形的内角和定理:n边形的内角和=(n 2) ?180;也考查了 n边形的外角 和为360. 举一反三: 【变式】(2016秋?小金县校级期末)一个多边形的每个内角都相等,且一个外角比

18、一个内角大60求这个 多边形的每个内角的度数及边数. 【答案】 解:设内角是x外角是y _Ly - x = 60 则得到一个方程组 x + y =180 ” + x 解得 y =120 而任何多边形的外角是 360, 则多边形中外角的个数是360 - 120=3 , 故这个多边形的每个内角的度数是60边数是三边形. 6、甲、乙两人想在正五边形 ABCD吶部找一点P,使得四边形 ABPE为平行四边形,其作法如下: (甲) 连接BD CE两线段相交于 P点,则P即为所求 (乙) 先取CD的中点M再以A为圆心,AB长为半径画弧,交 AM于P点,则P即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确?() A.两人皆正确B.两人皆错误 C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确 C3 C 理由是: / DEC 同理 / ABP= / BPE= 四边形 / BAE= / BAM= AB= AE= 【思路点拨】 求出五边形的每个角的度数,求出/ ABR / AER / BPE 的度数,根据平行四边形的判定判断即 可. 【答案】C; 【解析】 解:甲正确,乙错误, 如图,正五边形的每个内角的度数是三三一四 =108 5 AB= BC= CD= DE= AE 1 =Z DCE=X( 180 108)= 36

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