湖南省师大附中2019届高三数学月考试题七文201903234

1、湖南师大附中 2019 届高三月考试卷 ( 七)数学( 文科 )本试卷分第卷( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分， 共 8 页。时量 120 分钟。满分 150分。第卷一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 x|lgx0 ， |x1 ，则 (B)ABxA A BB A B R C B A D A B【解析】由 | 1 ，且 x|lgx0 (1 ， ) ， R，故选 B.Bx xAA B2若复数 z 满足 i( z 3) 1 3i(其中 i 是虚数单位 ) ，则 z 的虚部为 (A)A 1 B 6 C

2、 i D 6i【解析】 i z 3i 1 3i， i z 1 6i ， z 6 i ，故 z 的虚部为 1. 故选 A. 123函数 f ( x) ln ( x) x的零点所在的大致区间为 (B)A. ( 0， 1)B. ( 1， 2)C. ( 2， 3)D. ( 3， 4)2【解析】 f ( x) ln ( x 1) x在 ( 0， ) 函数单增，且 f ( 1) ln 220. 所以函数 f ( x) ln ( x) x的零点所在的大致区间为 () . 故选 B.4七巧板是我国古代劳动人民的发明之一， 被誉为“东方模板”， 它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的

3、如图是一个七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点在阴影部分的概率是(C)9 5 A. 32 B. 1637C. 8 D. 16【解析】设最小的等腰直角三角形的面积为1，则大正方形的面积为16，阴影部分的面63积为 6，则所求的概率是P 168. 则选 C.x2y25设 F1 和 F2 为双曲线 a2 b2 1( a0， b0) 的两个焦点，若点P(0 ， 2b) 、 F1、 F2 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是(C)21321A y 3x B y 7 x C y 3 x D y 3 x【解析】 由双曲线的对称性可知， 直角顶点为 P，在等腰三角形PF1F2 中，

4、由 | PF1| 2| PF2| 2 |1 2| 2，得c2 42c2 4 24c2，化简得8 22c2，即 4b2c2，把2 2 2代入 4b2F Fbbbc a b222b213c ，得 3b a，即 a23，则双曲线的渐近线方程为y3 x，故选 C.6给出下列四个命题：“若 x0 为 y f ( x) 的极值点，则 f (x0) 0”的逆命题为真命题；“平面向量a， b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是a b0；1 / 9若命题p： x 10；命题“x R，使得 x2 x10”的否定是：“x R，均有 x2 x10”其中不正确的个数是(A)A 3 B 2 C 1 D 0【解析】“若x0

5、为y(x) 的极值点，则( 0) 0”的逆命题为：“若f( 0) 0，ffxx则 x0 为 y f ( x) 的极值点”，为假命题，即不正确；“平面向量a，b 的夹角是钝角”的必要不充分条件是a0，即不正确；若命题： 10) 的焦点为，准线l： 1，点在抛物线C上，点MCypx pFxM在直线 l ： x 1 上的射影为A，且直线 AF的斜率为3，则 MAF的面积为 (C)A. 3 B 2 3C 4 3 D 83【解析】设准线l与x轴交于点，所以 | | 2，因为直线AF的斜率为3，所以AFNNFN 60，所以 | AF| 4，由抛物线定义知，| MA| | MF| ，且 MAF AFN 60

6、，所以 MAF32是以 4 为边长的正三角形，其面积为4 4 4 3 ，故选 C.2 / 910若函数 f ( x) 2 3sin xcos x 2sin2x在区间 3， 3 上单xcos 222调递增，则正数 的最大值为 (B)1111A. 8B. 6C. 4D.3【解析】因为f ( x) 23sin xcos x 2sin2 x cos 2 x 3sin 2 x1 cos 2 x3322 cos 2 x3sin 2 x 1. 由函数 y f ( x) 在区间 2 ，2上单调递3 3T，即 3 1增知，所以2 22，结合 0，可得 00 或 f (x)0) ”，记命题q 为“ M( x， y

7、) 满足x 2y4，4x y4，”若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为 _5_4 3y40，x2x4y8，【解析】依题意可知，以原点为圆心，a 为半径的圆完全在由不等式组x y4，所4x 3y4044围成的区域内，由于原点到直线4x 3y 40 的距离为 5，从而实数 a 的最大值为 5.16已知函数f ( x) |x2 4|x2 mx，若函数 f ( x) 在 (0 ， 3) 上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 _14 2_m3m【解析】 将函数 f ( x) 在 (0 ，3) 上有两个不同的零点等价转化为关于x 的方程 f ( x) 0在4(0 ， 3) 上有两个不同

8、的实数解，等价于函数y m 和函数 y x， 0x 2，4的图象有两个x 2x， 2x314交点，所以实数k 的取值范围是3 m 2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 ( 本题满分12 分)4 / 9在 ABC中，内角 A、B、C的对边分别是a、b、c，且 asin A csin C bsin B2asin( A B) (1) 求 B 的值；(2) 若向量 m (cos A， cos2A) ， n(12 ， 5) ， a 4，当 m n 取得最大值时，求b 的值【解析】 (1)因为 ABC中， sin(A B) sinC，所以 asinA csin C bsin B2as

9、in( AB)变形为asinsinsin 2sin .A cCbBaC由正弦定理得： a2 c2b2 2ac.a2 c2 b22由余弦定理得： cos B2ac 2，又因为 00) 对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：错误 ! (ln xi ) 275.324.618.3101.4(1) 根据所给数据，求 y 关于 x 的回归方程；e(2) 已知这种产品的年利润z 与 x，y 的关系为 z2y14x. 若想在 2018年达到年利润最大，请预测2018 年的宣传费用是多少万元？附：对于一组数据 ( u1， v1) ， ( u2， v2) ， ( un， vn) ，其回归直线斜率和截距的最

10、小二乘估计分别为 错误 ! ， 错误 ! 错误 ! . 【解析】 (1) 对 y a xb ，( a， b0) 两边取对数得 ln y ln a blnv u 中的x，令 ui lnxi ，vi lnyi24.6 18.3得 v lna b u，由题给数据，得： u 64.1， v 6 3.05 ，错误 ! 错误 ! 错误 ! 101.4 ，于是b错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 ! ， lna错误 ! 错误 ! 3.05 错误 ! 4.1 1，b得 a e，故所求回归方程为 y e x.8分(2) 由 (1)知，年利润z的预报值为 2y e e2 e e (x 142 )z14xx14x1

11、4xe2 14(x 7 2) 7e，所以当x 72 即 x 98 时， z有最大值故当 2018 年的宣传费用为 98 万元时，年利润有最大值.12 分6 / 920 ( 本题满分12 分)如图，已知圆1 的方程为 (x 1) 2y249，圆2 的方程为 ( 1) 2y21，若动圆M与F8Fx8圆 F1 内切，与圆 F2 外切(1) 求动圆圆心 M的轨迹 C的方程；(2) 过直线x 2 上的点Q作圆：x2y2 2的两条切线，设切点分别是， ，若直线OMNMN与轨迹 C交于 E， F 两点，求 | EF|的最小值【解析】 (1)设动圆的半径为r，动圆与圆1 内切，与圆2 外切，MMFF|72r|

12、2r .|2 2|2，且于是，MF1MF24MF1 MF2 F1F2 4所以动圆圆心M的轨迹是以 F ， F 为焦点，长轴长为22的椭圆从而， a2，c 1，12所以 1. 故动圆圆心的轨迹C的方程为 x2y2 1.5 分bM2(2)设直线 x 2 上任意一点 Q的坐标是 (2 ，t ) ，切点 M，N坐标分别是 ( x3， y3) ，( x4， y4) ；则经过 M点的切线斜率x333k ，方程是 x x y y 2，y3经过 N点的切线方程是x4x y4 y 2，又两条切线MQ， NQ相交于 Q(2 ，t ) 则有2x3 ty 3 2，所以经过 M， N两点的直线l 的方程是2x ty 2

13、，442xty 2，当t0时，有M(1，1)，N(1，1)，2，F，2，则|EF；E 1212|22x ty 2，当 t 0时，联立x22整理得 ( t 2 8) x216x 82t 2 0；2 y 1，16x5 x6 t 2 8，设 E， F 坐标分别为 ( x5， y5) ， ( x6， y6) ，则8 2t 2x5 x6t2， 8所以 |EF2 222 2（ t 2 4）8 21t56） 456t2 8 2 2 t2 8 2，| （ xxxx综上所述，当t 0 时， | EF| 有最小值2.12分21 ( 本题满分 12分)已知函数 g( x) alnx，f ( x) x3 x2bx.(

14、1) 若 f ( x) 在区间 1， 2 上不是单调函数，求实数b 的范围；(2)若对任意 x 1， e ，都有 g( x) x2 ( a 2)x 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当 b 0 时，设 F( x)f （ x）， x0，max 16b 5.4 分(x)5fb0 ，min(2) 由 g( x) x2 ( a 2) x，得 ( x ln x) ax2 2x， x 1， e ， ln x 1 x，且等号不能同时取，lnx0，2 2x2 2 ax恒成立，即 axx，x lnxx lnxmin( x1) ( x 2 2lnx)x2 2x) ，求导得 t ( x)令 t (x) x ln

15、x， ( x 1， e( x ln2，x)当 x 1，e时， x10， 0 lnx 1， x 2 2lnx0，从而 t ( x ) 0，t ()在t()t (1)1a1.8分x1， e 上是增函数，min x，(3) 由条件， F( x) x3 x2， x0) ，则 Q( t ， t 3 t 2) ，且 t 1，( POQ是以 O 为直角顶点的直角三角形，232OP OQ 0 ， t F(t ) ( t t ) 0(*)是否存在，等价于方程 (*) 在t0 且t1是否有解，当PQ为( t 2) (t 3 t ，化简42 ，此方程0t 1(*)talntt0ah(t)() ln t ()h(t)ln t11设t 1t 1，则 ，t显然，当 t 1 时， h ( t ) 0，即 h( t ) 在 ( 1， ) 上为增函数， h( t ) 的值域为 ( h(1) ， )