[其它课程]第八讲 课堂教学重难点及其处理.ppt

1、中学数学教材分析（三）中学数学教材分析（三） （一）数学教学重点的含义与形成（一）数学教学重点的含义与形成 数学教学重点数学教学重点指课堂教学的重点内容，课堂教学中需要指课堂教学的重点内容，课堂教学中需要 解决的主要矛盾，是教学的重心。解决的主要矛盾，是教学的重心。 教学重点形成有三个方面教学重点形成有三个方面：从学科知识系统而言，重点是指：从学科知识系统而言，重点是指 那些与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的知识、那些与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的知识、 技能，即重点是学科知识体系中具有重要地位和作用的知识、技能，即重点是学科知识体系中具有重要地位和作用的知识、 技能；

2、从文化教育功能而言，重点是指那些对学生具有深远技能；从文化教育功能而言，重点是指那些对学生具有深远 教育意义和功能的内容，主要指对学生终生受益的学科思教育意义和功能的内容，主要指对学生终生受益的学科思 想、精神和方法；从学生的学习需要而言，重点是指学生想、精神和方法；从学生的学习需要而言，重点是指学生 学习遇到困难，需要及时得到帮助解决的疑难问题。学习遇到困难，需要及时得到帮助解决的疑难问题。 教学重点的意义：教学重点对于学生学习 的好坏和教学质量的提高具有重要作用， 教学中对重点内容不仅要求学生理解，还 要求学生掌握和灵活运用，即重点对于教 学具有突出的地位，教学设计时不论是教 学目标的确定

3、，教学活动的安排（包括教 师的分析讲解，学生的交流讨论与巩固练 习等），学生练习题的设计都应围绕重点 进行。对重点内容练习的设计必须给出一 定数量和不同层次的练习题，既要单项练 习，还要变式练习和综合练习，这样才能 对重点内容的巩固、理解和灵活运用。 函数性质的重要工具和手段，也是数学解题 中“数形结合”的重要思想方法，所以它是 教学 重点。（3）“向量”由于其具有数与形的双 重特征，利用它处理数学中的许多问题， 如长度，角度，平行和垂直比传统方法快 捷、方便、有效，是数学学习研究的重要 工具，因而是教学重点。 2 2、课题分析法、课题分析法 即根据学习内容的标题来确定教学重点。即根据学习内容

4、的标题来确定教学重点。 如如“反函数的概念反函数的概念”，课标和考纲只要求了解，因，课标和考纲只要求了解，因 而它不是章节重点，但在学习而它不是章节重点，但在学习“反函数概念反函数概念”一节一节 课时它就是教学重点课时它就是教学重点 3 3、例、习题分析法、例、习题分析法 重点内容的学习要求学生达到理解、掌握，灵活运用，因而重点内容的学习要求学生达到理解、掌握，灵活运用，因而 教材一般都配备了一定数量的例、习题供学生练习和巩固并教材一般都配备了一定数量的例、习题供学生练习和巩固并 形成技能与能力。因此分析教材中例习题的配置可以确定教形成技能与能力。因此分析教材中例习题的配置可以确定教 学重点。

5、学重点。 如大纲教材如大纲教材“两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切”教材安排了教材安排了 两个例题，一个是倒用公式，一个是顺用和综合运用公式解两个例题，一个是倒用公式，一个是顺用和综合运用公式解 题，课后练习和习题一共配有题，课后练习和习题一共配有1818个顺用、逆用，变用公式的个顺用、逆用，变用公式的 习题。教材这样的配备就是要求学习者不但要能推导公式，习题。教材这样的配备就是要求学习者不但要能推导公式， 了解公式的来龙去脉，而且要掌握公式的结构和特征，形成了解公式的来龙去脉，而且要掌握公式的结构和特征，形成 熟练运用的技能并形成能力。熟练运用的技能并形成能力。 4.4

6、.理论分析法理论分析法 根据数学学习理论，数学学习的关键在于理解，只有根据数学学习理论，数学学习的关键在于理解，只有 真正理解了意义，才能感悟和体会实质，因而对数真正理解了意义，才能感悟和体会实质，因而对数 学公式、定理课的教学之前应把概念含义的理解作学公式、定理课的教学之前应把概念含义的理解作 为教学重点。为教学重点。 （三）突出重点的基本方法（三）突出重点的基本方法 现代教学理论认为现代教学理论认为, ,为了使学生掌握数学学科的基本为了使学生掌握数学学科的基本 结构和发展数学能力结构和发展数学能力, ,培养良好的个性品质培养良好的个性品质, ,数学课数学课 堂必须遵循展现思维过程的原则堂必

7、须遵循展现思维过程的原则, ,其中包括概念的发其中包括概念的发 生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索 过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出 的重点就必须通过思维过程的充分暴露加以实现。的重点就必须通过思维过程的充分暴露加以实现。 即实施过程教学，追求过程与结果统一。即实施过程教学，追求过程与结果统一。 1.1.让学生充分的参与让学生充分的参与 设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括，设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括， 参与发现与探索，做知识的研究者和发现者，通过再参与发现与

8、探索，做知识的研究者和发现者，通过再 创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育家创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育家 弗赖登塔尔所说弗赖登塔尔所说:“:“科学的顶峰总是创造性的发现科学的顶峰总是创造性的发现. .学学 习的过程也必须含有直接创造的侧面习的过程也必须含有直接创造的侧面, ,即从学生的观即从学生的观 点看是创造点看是创造, ,通过再创造获得的知识与能力通过再创造获得的知识与能力, ,要比以被要比以被 动方式获得的动方式获得的, ,理解得更好理解得更好, ,也更容易保持也更容易保持.”.” 案例：案例：“虚数虚数i i开方运算开方运算”教学课例教学课例 师：我们对师：我

9、们对-1-1进行开平方运算时，引入了新数进行开平方运算时，引入了新数i i，从而将实，从而将实 数集扩充到复数集。现在要对虚数数集扩充到复数集。现在要对虚数i i开平方，开平方，是否又会出是否又会出 现别的新数呢？现别的新数呢？如何对如何对i i开方呢？开方呢？ 我们先解决问题我们先解决问题，如何对，如何对i i开方？回到定义去，求开方？回到定义去，求i i的的 平方根的意义是什么？平方根的意义是什么？ 生：在复数范围内求平方为生：在复数范围内求平方为i i的数的数 师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化）师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化） 生：设生：设z=x+iyz=x+i

10、y为为i i的平方根，其中的平方根，其中x+iyx+iyC，那么有，那么有 iiyx 2 师：这就回到我们熟悉的问题了，这是用 代数形式的表述，如果用复数的三角形式 又该如何表达这个问题呢？ 注意：让学生充分参与，就不应是老师包 办，教师要通过精心设计的问题链来实现。 2.有步骤的引入有步骤的引入 在体现必要性的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之在体现必要性的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之 与学生的认知水平同步进行。即与学生的认知水平同步进行。即“知其然，知其所以然知其然，知其所以然”。注入式教。注入式教 学正是忽视了这一环节，缩减了由感性到理性的过程学正是忽视了这

11、一环节，缩减了由感性到理性的过程 如：如：“反正弦函数的引入反正弦函数的引入” 若上课一开始就讲反函数的定义，并引入若上课一开始就讲反函数的定义，并引入“arcsin”，学生会毫无心，学生会毫无心 理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。 参考设计：参考设计：1、函数、函数 有反函数吗？能否缩小其定义域使其具有反有反函数吗？能否缩小其定义域使其具有反 函数？函数？ 2、函数、函数 在其定义域内有反函数吗？在怎样的区在其定义域内有反函数吗？在怎样的区 间上可使其有反函数？间上可使其有反函数？ 3、正弦函数、正弦函数 在在 的反函数叫反正弦函数的反函数叫反正弦函数

12、2 xy xysin xysin 2 , 2 若记反正弦函数为若记反正弦函数为 ，则，则 问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出 记号记号“ ” 3.全方位的审视全方位的审视 要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学 生从各个侧面对其进行深入认识。生从各个侧面对其进行深入认识。 xf 1 _ 2 1 1 f _ 2 3 1 f _ 3 1 1 f _0 1 f_ 2 1 1 f arcsin 案例：案例：“反函数反函数” 审视审视1：反函数是函数，应满足函数的定义与特征要素：反函数是函数，应满足函

13、数的定义与特征要素 审视审视2：反函数中的：反函数中的“反反”如何体现：表达式；定义域；如何体现：表达式；定义域； 值域值域 审视审视3：如何求一个函数的反函数？：如何求一个函数的反函数？ 审视审视4：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？ 审视审视5：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？ 案例案例2 2：函数的单调性：函数的单调性 审视审视1：增函数与减函数的定义差别？：增函数与减函数的定义差别？ 审视审视2：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区 间间

14、审视审视3：增函数与减函数的图象特点？：增函数与减函数的图象特点？ 审视审视4：如何判断一个函数是增函数还是减函数？：如何判断一个函数是增函数还是减函数？ 审视审视5：如何证明一个函数是增函数还是减函数？：如何证明一个函数是增函数还是减函数？ （4 4）多层次的练习）多层次的练习 对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容，对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容， 不仅要重视其形成、发现过程的教学，也要通过循环不仅要重视其形成、发现过程的教学，也要通过循环 反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会，反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会， 并学会应用。并学会应用。 案例：案例：“

15、反函数反函数” 当看似孤立的问题运用当看似孤立的问题运用“知识的重点知识的重点”加以串联以后，就加以串联以后，就 形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点 知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。 （5 5）变式运用）变式运用 重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、 变用、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的变用、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的 灵活性。灵活性。 案例：案例：“两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式” 重要

16、例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或重要例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或 条件与结论的交换、或特殊到一般的推广、或几条件与结论的交换、或特殊到一般的推广、或几 个例题的共性分析，促进思维的深刻性。个例题的共性分析，促进思维的深刻性。 （6 6）多角度的联系）多角度的联系 通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进 一步强化对新知识的认识。一步强化对新知识的认识。 如：数列通项的理解如：数列通项的理解函数理解函数理解 对概率古典概型的理解对概率古典概型的理解集合理解集合理解 指数与对数关系的理解指数与对数关系的理解加与减、乘与除加与减、乘

17、与除 直线与圆的关系理解直线与圆的关系理解几何（距离）、代数（方程组的解）几何（距离）、代数（方程组的解） 数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中，数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中， 重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思 维的广阔性。维的广阔性。 （7 7）适度的引申）适度的引申 引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理 解。解。 例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如 果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成

18、果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成 充分的认识，应更深入揭示其一般规律：充分的认识，应更深入揭示其一般规律： 函数奇偶性的实质是反映函数图象的对称性。函数奇偶性的实质是反映函数图象的对称性。 正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称 图形和轴对称图形。图形和轴对称图形。 可设置以下问题：可设置以下问题： 正弦还有别的对称中心吗？正弦还有别的对称中心吗？ 余弦函数还有别的对称轴吗？余弦函数还有别的对称轴吗？ 正弦函数的图形是轴对称图形吗？正弦函数的图形是轴对称图形吗？ 余弦函数的图形中心对称图形吗？余弦函数的图形中心对称图形吗？ 需要指

19、出的是：重点内容的挖掘不是越深越好，需要指出的是：重点内容的挖掘不是越深越好， 要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难 以理解，反而削弱或淡化了重点。以理解，反而削弱或淡化了重点。 （8 8）分阶段巩固）分阶段巩固 对于重点的教学内容，不能对于重点的教学内容，不能“毕其功于一役毕其功于一役”，应该，应该 分阶段完成。如立体几何公理分阶段完成。如立体几何公理2 2（如果两个面有一个（如果两个面有一个 公共点公共点）就可以分成）就可以分成4 4个阶段完成：个阶段完成： 首先用它指导作面面的交线和证明点共线首先用它指导作面面的交线和证明点共线 在讲空间直

20、线位置关系时指导画线面的交点问题在讲空间直线位置关系时指导画线面的交点问题 在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题 在讲多面体时用它指导作多面体的截面在讲多面体时用它指导作多面体的截面 分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训 练。练。 二、关于教学难点二、关于教学难点 (一一)对教学难点的认识对教学难点的认识 1.教学难点的含义教学难点的含义：难点是指那些太抽象、离学生：难点是指那些太抽象、离学生 生活实际太远的、过程太复杂的、学生难以理解和生活实际太远的、过程太复杂的、学生难以理解和 掌握的知识、技能与方

21、法。掌握的知识、技能与方法。 难点形成原因：一是该知识远离学生生活实际，学难点形成原因：一是该知识远离学生生活实际，学 生缺乏相应的感性知识；二是该知识较为抽象，学生缺乏相应的感性知识；二是该知识较为抽象，学 生难以理解；三是该知识包含多个知识点，知识点生难以理解；三是该知识包含多个知识点，知识点 过于集中；四是该知识与旧知识联系不大，旧知识过于集中；四是该知识与旧知识联系不大，旧知识 掌握不牢或因大多数学生对旧知识遗忘所致。掌握不牢或因大多数学生对旧知识遗忘所致。 集合概念是难点：一是集合是原始概念， 它不是由已有的其它概念来定义，因而学 生头脑缺乏帮助其理解集合的其它概念； 二是集合涉及的

22、知识面广，所涉及的初中 数学知识学生已有所遗忘；三是集合有关 的新概念相应的符号、术语较多，这些新 概念、新符号学生容易混淆，接受和理解 都要困难。 基本策略：对于原因一，应通过利用学生 生活经验，充实感性知识得以突破；对于 原因二，则应利用直观手段，尽量使知识 直观化、形象化，让学生看得见摸得着。 如数学归纳法理解用多米诺排骨形象化； 对于原因三，则应分散知识点，各个击破； 对于原因四，则应查漏补缺，加强旧知识 的复习。 （二）正确的估计难点（二）正确的估计难点 教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基 础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面

23、去认识础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面去认识 与估计难点：与估计难点： 1.1.教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生 难点难点 案例案例1 1：初二代数：初二代数“无理数无理数”一节一节 无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无 理数的概念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和理数的概念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和 初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主 要还是以经验型的形象思维为主。要还是以经验型的形象思维为主。 案例案例2

24、2：高中：高中“函数函数”一节。一节。 本节的教学难点是函数的概念。主要原因是：由于函本节的教学难点是函数的概念。主要原因是：由于函 数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对 应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却 没有先讲映射作为铺垫。因此需要学生具备一定的抽没有先讲映射作为铺垫。因此需要学生具备一定的抽 象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函 数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高一数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高

25、一 学生而言确实较难理解。学生而言确实较难理解。 案例案例3 3：高中：高中“双曲线的几何性质双曲线的几何性质”一节。一节。 本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线 的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概 念包含着极限思想。念包含着极限思想。 案例案例4 4：高中：高中“极限的定义极限的定义”一节。一节。 本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中 N的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的 关系让

26、人难以捉摸。关系让人难以捉摸。 2.教学内容的深化和学生思维定势之间的矛盾教学内容的深化和学生思维定势之间的矛盾 案例案例1 1：初中：初中“一元一次方程的应用一元一次方程的应用”一节。一节。 受小学受小学定势思维定势思维算术法解方程的影响，因而常想算术法解方程的影响，因而常想 到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点。到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点。 案例案例2 2：初中：初中“不等式的性质不等式的性质”一节。一节。 受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难 点。点。 案例案例3 3：高中：高中“逻辑连接词逻辑连接词”一节

27、。一节。 难点为：对难点为：对“或或”的含义的理解。主要是容易与日常的含义的理解。主要是容易与日常 用语中用语中“或或”的含义混淆。的含义混淆。 3.3.教学内容之间的关系复杂教学内容之间的关系复杂 案例案例1 1：“交集并集交集并集”一节。一节。 本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别 与联系。因为逻辑中的与联系。因为逻辑中的“且且”与与“或或”只是一字之只是一字之 差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。 案例案例2 2：“一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法”一节。一节。 本节教学难

28、点是三个二次之间的关系。三个二次紧本节教学难点是三个二次之间的关系。三个二次紧 密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理 4.4.问题的解决途径难以探索问题的解决途径难以探索 案例案例1:“1:“函数的单调性函数的单调性”. . 本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函 数的单调性数的单调性. .因为证明中需要通分、提取公因式等因为证明中需要通分、提取公因式等 变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。 案例案例2:“2:“四种命题四种命题”. . 本节

29、的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证本节的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证 法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是 浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样，浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样， 灵活性强。灵活性强。 案例案例3:“3:“两角和与差的余弦两角和与差的余弦”. . 本节教学难点有本节教学难点有2 2：其一是余弦和角公式的推导：其一是余弦和角公式的推导 证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的 灵活应用灵活应用应用的方法、技巧很多。应用的方法、技巧很多。 案例案例4:“4:

30、“正弦定理正弦定理”. . 本节教学难点有本节教学难点有2 2：其一是正弦定理的推导：其一是正弦定理的推导证证 明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应 用。用。 （三）突破难点的策略（三）突破难点的策略 1.1.发现性策略发现性策略 即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生 独立发现的过程独立发现的过程, ,这样能较好发挥难点促进学生思这样能较好发挥难点促进学生思 维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较 好的基础知识、能力准备和较充裕的时间。好的基础知识、能力

31、准备和较充裕的时间。 案例案例1:“1:“圆的切线的作法圆的切线的作法”. .教学难点：切点的确教学难点：切点的确 定定 解决该问题可以设置以下启发问题：解决该问题可以设置以下启发问题： 问题问题1 1：过：过P P点的直线无数条，任作一条可以吗？点的直线无数条，任作一条可以吗？ 问题问题2 2：设：设PAPA为切线，为切线，A A为切点，则为切点，则OAOA与与APAP有何关系？有何关系？ 问题问题3：本题转化为在圆上找一点：本题转化为在圆上找一点A，使，使OA PA，怎，怎 样确定样确定A点？点？ 问题问题4：在：在OOAP中，中，OP是已知的，要使是已知的，要使OAP为直为直 角，怎么办

32、？角，怎么办？ 评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法，评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法， 而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技 术层面而言，可归结为递推假设发现突破难点。术层面而言，可归结为递推假设发现突破难点。 O A P 2、举例归纳突破（从特殊到一半） 案例案例1：“等差数列前等差数列前n项和项和” 教学难点：求和公式的推导；教学难点：求和公式的推导； 解决方法：高斯故事，钢管堆放解决方法：高斯故事，钢管堆放 案例案例2 2：“二元一次不等式表示的平面区域”(必 修5) 问题1：将点(一1，3)，(2，2)，(3

33、，一1)，(1， 一2)，(4，1)， (O，4)代人直线L的方程2x+y-4=0的左边，其值 是大于零?等于零?小于零? 问题2：在直角坐标系中画出这些点和直线L，观 察这些点是否在直线L上或在直线L的哪一侧? 问题3：请你再取一些点试一试，你能得出 哪些结论 问题4：直角坐标系中，2x+y-40， 2x+y- 40 表示的图形是什么?为什么? 通过学生的尝试操作，举例归纳得出二元 一次不等式表示平面上的一个区域，通过 师生的共同探究，突破教学中的难点：为 什么要分类?这样分类合理吗? 3、操作演示突破、操作演示突破 案例：案例：“圆周角定理圆周角定理” 教学难点：定理的发现；教学难点：定理

34、的发现； 解决方法：教师设置问题：解决方法：教师设置问题： 一个一个圆周角所对应的弧有几条圆周角所对应的弧有几条？ 一段弧所对应的圆周角有几个？圆心角有几一段弧所对应的圆周角有几个？圆心角有几 个？个？ （启发学生认识二者有某种关系）（启发学生认识二者有某种关系） 学生操作：自己画图，自己测量学生操作：自己画图，自己测量 教师利用几何画板拖动教师利用几何画板拖动A点，让学生观察圆心角点，让学生观察圆心角 和圆周角的变化情况和圆周角的变化情况 （得到结论：同弧所对的圆周角等于对应圆心角（得到结论：同弧所对的圆周角等于对应圆心角 的一半）的一半） A O B C 教师启发：由于有限次的实验得到的结

35、论不一定可教师启发：由于有限次的实验得到的结论不一定可 靠，更不能作为定理。我们不能逐一验证，有无办靠，更不能作为定理。我们不能逐一验证，有无办 法证明？请大家观察演示，注意圆周角与圆心角有法证明？请大家观察演示，注意圆周角与圆心角有 几种位置关系。几种位置关系。 从技术层面可归结为实验操作演示的观察突破从技术层面可归结为实验操作演示的观察突破 A A A A A A O O O B B B C C C 4、类比迁移突破 案例：案例：“一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法” 教学难点：三个二次之间的关系教学难点：三个二次之间的关系 解决方法：与三个一次关系类比，借助于解决方法：与三个一次关

36、系类比，借助于 图形图形 从技术层面可归结为类比突破、图形直观从技术层面可归结为类比突破、图形直观 突破、特殊到一般归纳突破。突破、特殊到一般归纳突破。 案例：二面角概念案例：二面角概念 问题l：你能说出角的定义吗?你能说出几种? 问题2：两个半平面之间有“夹角”吗?你 能否类比角的两种定义分别给它下一个定 义? 问题3：如何刻画或度量二面角的“大小”? 本例中的难点就是二面角、二面角的平面 角概念的形成过程，教师在教学中正是通 过类比迁移的方法，将新旧知识联系起来， 使得难点不攻自破，当然这其中还需要辅 之于实例演示、图形观察、方案论证、联 系生活举出应用的例子等等。 5 5、层层铺垫策略、

37、层层铺垫策略( (阶梯式突破）阶梯式突破） 层层铺垫策略并不是等难点充分暴露时才设法层层铺垫策略并不是等难点充分暴露时才设法 破解，而是采取有目的、有计划地进行分化、破解，而是采取有目的、有计划地进行分化、 铺垫、分解等措施缓解问题的难度，使学生有铺垫、分解等措施缓解问题的难度，使学生有 序地度过思维障碍。序地度过思维障碍。 采用这种方式，有时需要有意设计递进式教学采用这种方式，有时需要有意设计递进式教学 环节；有时需要因势利导，旁敲侧击。环节；有时需要因势利导，旁敲侧击。 案例案例1 1： 再将上述推广到一般再将上述推广到一般 从技术层面可归结特殊到一般归纳突破。从技术层面可归结特殊到一般归

38、纳突破。 从本质上将单调性的定义、等差数列、等从本质上将单调性的定义、等差数列、等 比数列的定义也是一种铺垫比数列的定义也是一种铺垫 教学教学 )sin(cossin 22 xbaxbxa 的的求解求解 铺垫铺垫 1：求证求证： )sin(2cossin3 6 xxx 铺垫铺垫 2：求证求证： xxcossin 2 2 2 2 化化为为 )sin(xA 形式形式 案例案例2： 铺垫铺垫1：问题：已知：问题：已知A（1，1）和）和B（2，3），试），试 在在X轴上求一点轴上求一点P，使，使|PA|+|PB|最小最小. 几何意义几何意义 从技术层面可归结为从技术层面可归结为图形直观突破图形直观突破

39、 6.提示性策略提示性策略 即在解决问题的过程，教师适当提示解决问题的即在解决问题的过程，教师适当提示解决问题的 思考原则，逐步缩小学生的探索范围，求得问题思考原则，逐步缩小学生的探索范围，求得问题 求求函数函数 13422 22 xxxxy 的的最小值最小值 铺垫铺垫 2：变形：变形： 2222 302101）（）（）（）（xxy 的解决。这种策略多用于例题与习题的教学之中。的解决。这种策略多用于例题与习题的教学之中。 提示的范围包括相关数学知识、常见数学思想（数提示的范围包括相关数学知识、常见数学思想（数 形结合、转化思想、构造思想、整体思想形结合、转化思想、构造思想、整体思想 ）、）、

40、常用的数学方法（如配方法、换元法、待定系数法、常用的数学方法（如配方法、换元法、待定系数法、 间接法间接法 ）等。提示的类型一般有三种：）等。提示的类型一般有三种： 一般性提示一般性提示即方法论水平上的提示，提升学生即方法论水平上的提示，提升学生 一般性的思考方法与原则。一般性的思考方法与原则。 功能性提示功能性提示间于一般性与特殊性之间，他提醒间于一般性与特殊性之间，他提醒 学生应用针对某一类问题的解决方法与策略学生应用针对某一类问题的解决方法与策略 特殊性提示特殊性提示即具体的提示，针对解决的问题，即具体的提示，针对解决的问题， 提醒学生解决问题的具体方法与步骤提醒学生解决问题的具体方法与

41、步骤 案例：证明案例：证明“三角形内角平分线性质定理三角形内角平分线性质定理 提示问题提示问题1：要证明线段成比例有哪些方法？：要证明线段成比例有哪些方法？ 提示问题提示问题2：要使用平行线分线段：要使用平行线分线段 线段成比例？该怎样作？线段成比例？该怎样作？ 提示问题提示问题3：如何使：如何使AB、BD、AC、 DC在两条直线上？在两条直线上？ 提示问题提示问题4：现在：现在BD、DC在同一在同一 直直 线上，如何将线上，如何将AB、AC转化到同一转化到同一 直线上？直线上？ E A B C 7.分散性策略分散性策略 实际情况不允许采用发现性策略或提示性策略，实际情况不允许采用发现性策略或

42、提示性策略， 如学生的知识水平达不到或时间有限，教师可以如学生的知识水平达不到或时间有限，教师可以 对难点问题直接讲授或通过学生阅读课本，绕过对难点问题直接讲授或通过学生阅读课本，绕过 知识被探索发现的过程。由于这种做法越过了重知识被探索发现的过程。由于这种做法越过了重 要的思维环节，应该在上述环节之后，加强反思要的思维环节，应该在上述环节之后，加强反思 环节。环节。 反思性策略一般有两种：反思性策略一般有两种： 一是具体性反思，即对某一数学方法或解题过程一是具体性反思，即对某一数学方法或解题过程 回头看，对具体解决问题的过程加深理解和认识。回头看，对具体解决问题的过程加深理解和认识。 如等比

43、数列前如等比数列前n项的和的公式推导，教师可以回头再项的和的公式推导，教师可以回头再 讨论错位相减法。讨论错位相减法。 二是整体性反思，即在某一章节之后，对解决问题二是整体性反思，即在某一章节之后，对解决问题 的思想方法进行归纳总结。例如学生在学习了一次的思想方法进行归纳总结。例如学生在学习了一次 方程组之后对消元的思想方法这个教学难点进行进方程组之后对消元的思想方法这个教学难点进行进 行整体回顾。行整体回顾。 三、数学教学的关键点三、数学教学的关键点 教材分析还需找准教材中对教学质量和教学效果起着教材分析还需找准教材中对教学质量和教学效果起着 重要作用的关键点重要作用的关键点 1.从教学体系

44、中找准教学的衔接点从教学体系中找准教学的衔接点 教材中的知识总是前后联系又相互独立的教材中的知识总是前后联系又相互独立的.在分析在分析 教材时不能把着眼点只放在教材的局部、具体问题的教材时不能把着眼点只放在教材的局部、具体问题的 分析上，而忽视对教材整体的把握，应该从整体和局分析上，而忽视对教材整体的把握，应该从整体和局 部两个方面入手，找准教材的衔接点，从而明确教材部两个方面入手，找准教材的衔接点，从而明确教材 编写的来龙去脉以及各知识点在教材中的地位和作用。编写的来龙去脉以及各知识点在教材中的地位和作用。 案例案例1：如初一：如初一“负数负数”应放在整个初中去分析，应放在整个初中去分析， 既是小学既是小学“非负数非负数”的衔接，也把数