2016线代B期末练习题汇总

1、线性代数B期末练习题（2016）（一）单项选择题)(C) BA/=AB (D)= b*1 若A , B为n阶可逆方阵，且 AB=BA，则下列等式不成立的是（A）BA = AB（B）AB=BA52 .若由AB=AC必能推出B=C (A , B,C均为n阶矩阵）则A必须满足（）(A)A 丰 O(B)A=O(C)|A H 0(D) I AB H 03 .设A , B均为n阶矩阵，且满足等式AB =O,则必有（）(A ) A=0,或 B=0(B) A= O ,或 B=O4 设A为n X n阶矩阵，如果r(A)n ,则(A) A(B) A(C) A(D) A(C) A+B=O(D) A + B =0的任

2、意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合的各行向量中至少有一个为零向量的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例(A)+ 3,3中4,（/4 +口1线性无关(B)-叫，口2*3,3 04,4 Ct 4 线性无关(C)+ 33+ 4,（X4%线性无关(D)+ 334,6 设n元齐次线性方程组 件是（）（A） r= n7. n元线性方程组（A）无穷多组解AX=0的系数矩阵A的秩为r，则AX=0有非零解的充分必要条8.设A为3阶矩阵,(A) RP2,(B) r nb) nAX=b(D)不确定得到矩 阵B,再交换B

3、的第二行与第三 行彳0 0*I001 1 0,P2 =0 0 10 0 bI1 1 0将A的第2列加到第一列,得单位矩阵，记R则A =RP(B)(C) P2P(D) PF25.已知向量组a1/x234线性无关则向量组（9. 下列命题正确的是（）若向量组线性相关，则其任意一部分向量也线性相关 线性相关的向量组中必有零向量(A)(B)(C)(D)10.设向量组ai,a2,，ots的秩为r,贝y(A)(B)(C)(D)必定rn的秩为r(A)=m n, Im为m阶单位矩阵，下述结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关(B) A的任意个m阶子式不等于零 (C)A通过初等变换,必可化为(I m ,

4、0)的形式(D)若矩阵B满足BA =0,则B =0 .19.已知a 1,(X2,a3是齐次线性方程组 AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是(A)g +k2a2 +k3a3(B)%+ 22 +口3,(/3 +a1(C)(0)%耳-冬乜3,叫2,20.已知Pi沖2是非齐次线性方程组 AX=b的两个不同的解，口1,口2是导出组AX =0的基本解系，ki,k2为任意常数，则 AX=b的通解是(P -P(A)炉1 02(1 5) + 2 2(C) kW +k2(p12(B)(D)炉1+/神2栋2(些-生)+_22221.向量组ai2- r线性无关，且可由向量组3,02； ,0s线性表示，则7r(ai

5、,a2,，)必()r( Pi,p2,，Ps)(A)大于等于(B)大于22 设n元齐次线性方程组 AX=0(A) r(A)=1(B) r(A)=n-123.设矩阵nA= 1I2(D)小于等于的通解为k( 1, 2,，n) T ,那么矩阵A的秩为(D)以上都不是1 r-1等价，则A =(2J(C)小于(C) r(A)=ns,则()(A)( n)线性无关25.设1,口2,SS,0r (I )中每一个向量都可由向量组01, 02,，0s(n熾性表出，(B) ( n )线性相关(C) ( I熾性无关 (D) ( I )线性相关叫是n个m维向量，且nm,则此向量组 gy 宀必定()线性相关矩阵A适合条件(

6、B)线性无关)时,(A)26.(A)A中任何r+1列线性相关(C) A中有r列线性无关27. 若mx n阶矩阵A中的n个列线性无关(A)大于m28. 若矩阵R (A)(A) A r(B)大于nA中有一个r阶子式)(B) r(C)含有零向量(D)有两个向量相等它的秩为r(B) A中任何r列线性相关(D) A中线性无关的列向量最多有r个则A的秩(C) 等于nD丰0,且A中有一个含)(D)等于mD的r+1阶子式等于零，则一定有29. 要断言矩阵A的秩为r，只须条件(A) A(B) A(C) A(D) A(C)=r( )满足即可(D) =r+1中有r阶子式不等于零中任何r+1阶子式等于零 中不等于零的

7、子式的阶数小于等于 中不等于零的子式的最高阶数等于(A)充分必要条件(B)充分条件(C)必要条件1、(D)无关的条件131.矩阵A=的特征值为0,2,则3A的特征值为()-11丿(A)2,2;(B) 0,6;(C) 0,0;(D) 2,6;1-1O32. A=,贝0 2I -2A + A的特征值为().-11丿(A)2,2;(B)-2-2；(C) 0,0;(D)4-4;r有唯一解()30. R(A)=n是n元线性方程组 AX=b233. A满足关系式 A -2A + E=O，贝U A的特征值是(A)兀=2(B)0(C) A = 1(D) A= 234 .已知一2是A=1一2(A) 2(B) 4

8、35.已知矩阵A=-4-2-2-4-2-1的特征值，其中(C) 2b丰0的任意常数，则x=()(D) 4=3, Z_3 = 12，贝y x=(C) 2的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题1, -1, 2,则下列矩阵中可逆矩阵是(C) 2E-A(A) 2(提示：用 特征值的和等于迹36.设A为三阶矩阵，有特征值为(A) E-A(B) E+A(B)(D) 416)(D) 2E+A(二)计算题与填空题1. A3 -5A +61 =0,(-6(A2-51)2.设A是3咒4矩阵,R(A)=2, B =3.设A为3阶矩阵,且 | A|= 2,02-n112-1-1-b则行列式|A-3A匕,则 RB

9、A =(-1/2)4,矩阵A =Z1的秩最大为,最小为(4,2 )5 设 P =(1 k5“1=(1-32加2=(2-1 1T，k=()时P可被向量组线性表出。(-8)X30)(1-1、50)(0 011X190答案:11257.已知线性方程组、 丿12 3I 丿aAl Jy时方程组无解，当 a =时方程组有无穷多解。(2, 0).。（一3）-1 T (1-1 1)T.则 P 是否为向量组a 12/x3的线性组合?(是)8.如果|A+3E| = 0，则矩阵A一定有特征值9.设 P = (1 2 -2匚 =(1 1=(1 1并求其所有解10. 确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解,X,

10、 X2 2x3 +3X4 =0|Xi 3X2 5X3 +2X4 = 1X, +x2 axs +4x4 =1X, +7x2 +10x3 +7x4 = b答：当a = -1,b =4时，解为中C1(0丿-32.0丿+ C20-2J，其中c, ,C2为任意非零常数；当a 1,b = 4时，解为丄7 1211+ k2002-1-b答案：（1）对应于打=1的全部特征向量是ki(0,1,0 ) , k1对应于扎2 = -1的全部特征向量是Tk2(1,0,1 ),对应于二3 =3的全部特征向量是Tk3 ( -1,。,1 ),对应于=0的全部特征向量是k1V1, k1为非零常数;J对应于扎2 =為=1的全部特

11、征向量为i0、k22伙3-2J丿,k2, k3是不同时为零的常数。12.三阶矩阵A的特征值为人=1,入2 = 2,几3 = 3 ,则 IA = ( ); A,A*,A+A2,A2 + a16的特征值为（）.(6; 1,1,1； 6,3,2;2 32,42,91; 2,6,12.)23k 1 0*1、13.设矩阵A =1 2 1有一个特征向量为-2.01 k,J丿，求k及A的三个特征值.答案：k =3，A的三个特征值为1,3,4.14.已知向量组% =212订严2 =(-1,1,-5,703 =(1,2,-3,8严4 =(1,T,a,6T 严5 =(3,0,4,7$的秩为3,求a及该向量组的一个

12、极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案：a=2,a1,a2,a4为一个极大无关组，ctg = % + 口2 + 叫，15. 设向量组 otj = (1,k,-1 )2 = (k+1,2,1 )(X3 = (1，-1, k ),(1)k为何值时，1,口2线性相关？线性无关?k为何值时，Ot 1,012,0 3线性相关？线性无关?当a 1,2,3线性相关时，将口3表示为a 1,2的线性组合.答案:（1） k = -2时线性相关，kH-2时线性无关;k = 1,2或2时线性相关；k H 1且k H 2且k h2时线性无关;当 k = 一1 时，a 3 =4 +0 心2 ;当 k = 2 时,

13、5 =-5口1 +-口2.4416.矩阵的迹为定义：对于n阶方阵A =（丙），矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即trA =a11 +a22 + a ,定义2.15如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵At B17已知则称矩阵A与B等价，记作1 =(1,4,0, 2)TS = (2,7,1,3) T, S = (0,1, -1,a)T, P = (3,10,b, 4)T ,a,b取何值时,P不能由,02,03线性表示？#1203V47110 =01-1br3 a4丿1, 2,(8 a 2 3p| =)0 Oa ：10 0 0：1 2 00 1 1P可由,口2,口3线性表示？并写出此表示

14、式.a,b取何值时,(1)当 bH2时，叫01,43）=只（,（/23沖）=P不能由123线性表示；1, 2,则(耳宀嗅| P)=R(a1,a2,a3)=R(a1,ct2,a3| P), P 可由若 a =1 ,(0ti,0t2,0t3 | P)P =(2k+1私1+(k+2)(/2+ka3, k 为任意常数;(三)证明题:1.设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且AB = 0,证明 r(A)+r(B)兰 n.证 设 B=(p1, p2,川，0s)，则 AB =(Ap1,Ap2,川，aPs)，由 AB=0 得APi =0,i =1,2,川，S，所以矩阵B的列向量都是方程组 Ax=0的解.设r(A)=

15、r，如r =0，则结论显然成立.如r = n，则方程组 Ax =0仅有零解，故B =0，从而有 r(A )+r(B )= n.如0 r n，则方程组 Ax = 0的基础解系中有n - r个线性无关解向量.由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理知，r(B)n-r，所以r(A)+r(B)1。因为A不可逆，则|A|=0 ,从而AA*=|A|E = 0。由上题结果知，r(A) + r(A*) n。所以 r(A*) n -r(A) n-1，所以 | A*0。3 对于矩阵 A, B，证明：r(A, B) r(A)+r(B) 证 将矩阵A, B按列分块，A =(心2,Gs)，B =(Pi,p2,，Pt)，