大学高等数学上册：4-1单调性与极值

1、第第4 4章导数的应用章导数的应用 单调、极值、凸性、拐点单调、极值、凸性、拐点 函数的单调性函数的单调性 极值与最值极值与最值 一、函数的单调性一、函数的单调性 121212 ,( , ),()()xxa bxxf xf x ( a , b ) 内单调递增，记作内单调递增，记作 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B ( )0fx 0)( x f a b B A 121212 ,( , ),()()xxa bxxf xf x ( a , b ) 内单调递减，记作内单调递减，记作 a, b 上连续，上连续， ( a, b ) a , b 上单调递减上单调递减. ( ,

2、),( )0 xa bfx a , b 上单调递增上单调递增. ( , ),( )0 xa bfx 证证),(, 21 baxx 12 ,xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得 )()()()( 211212 xxxxfxfxf , 0 12 xx , 0)(),( x fba内，内，若在若在, 0)( f则则 ).()( 12 xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( x fba内，内，若在若在, 0)( f则则 ).()( 12 xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 00 ,()0 xa bfx 3 1. fxx 2 30fxx 00f

3、2.sinfxxx 1 cos0fxx 210fk 0fx 3 ( )3f xxxC 2 ( )33fxx 0 令令 1x (, 1)( 1,1)(1,) ( ) ( ) x fx f x , 1 , 1, 32x yx e 12 33 2 3 x yxxe 1 3 2 3 x xxe 2 3 x 22 ,00, 33 ( ) ( ) x fx f x 2 ,0 , 3 2 0, 3 ( )fx ( )fx arctan xx 2 22 1 0,( )10 11 x xfx xx (,0 0 x arctanxx arctan0arctan00 xx 0 x ( )arctan(0)0f xx

4、xf 0 x arctan xx 0,x (,0 0 ( )()f xf x 0 ( )()f xf x 2 1 2 x e ex 2 ()(1) 2 x e fxex 1,) () x fxeex ()0 x fxee ()fx 1,) 2 1 2 x e ex 1,( )(1)0 xfxf 1,( )(1)0 xf xf ()fx 1,)1,) (1)0f (1)0f 3 30 xxC ( a , b ) ( a , b ) 3 ( )3f xxxC , 1 ,1,1 , 1, 2C 2C 2C x yek x x ek xc x fxek xc() x fxek() fx( )0 f x

5、( ) fx( )0 fx( )0 fx() ln,k fx( )0 fx() ,ln k 0k 二、函数的极值二、函数的极值 ox y a b )(xfy 1 x 2 x 0 x xN x 0 () N x0() fxfx 0 ()() fxfx0()() fx 0 () 3 x 4 x 5 x fx 0 0() 0 x 3 yx yx (0)y 结论：极值点必是临界点结论：极值点必是临界点 3 yx 2 yx 32 yx 0 x 0 ()N x 0 ()N x 00 ()( )0,()( )0,NxfxNxfx 0 x 00 ()( )0,()( )0,NxfxNxfx 0 x 00 ()

6、()( )NxNxfx 0 x 0 ()fx x y ox y o 0 x 0 x (是极值点情形是极值点情形) x y ox y o 0 x 0 x (不是极值点情形不是极值点情形) 22 3 ()(1)fxx 21 3 32 24 ( )(1)2 3 31 x fxxx x 1x (, 1)1( 1, 0)0(0, 1)1(1,) ( ) ( ) x fx f x 0 x 0 ()0fx 0 ()fx 0 x 0 ()0fx 0 x 0 ()0fx () 0 0fx 00 0 0 00 ( )()( ) limlim()0 xxxx fxfxfx fx xxxx 0 ()N x 0 ()x

7、N x 0 ( ) 0 fx xx 0 0 ()( )0 ()( )0 xNxfx xNxfx 0 x ( )0fx 23 ()(1)1fxx 2222 ()3(1)26 (1)fxxxx x ()0fx 22 ()6(1)(51)fxxx )( )( )( ), 1 (1) 1, 0(0)0 , 1(1) 1,( xf xf xf x 三、最值三、最值 (a, b) 0 x 0 x o x y b a a, b o x y o x y a b a b a, b (a, b) ,. 12n xxx n f xf xf x 12 (),(),() n Mf xf xf xf af b 12 ma

8、x(),(),(),( ),( ) 32 ()231214fxxxx 2 ()66126(1)(2)fxxxxx ( )0fx 21,4 n mf xf xf xf af b 12 min(),(),(),( ),( ) a, b a, b (a, b) 2 ()(1)()()0fxxfxfx ()0fx a, b ()0fx 00 ,()xa bf xM 0 ()0fx 00 ()()0fxfxM 0 x 0 x ()0fx 0 x ln0 x xx e ( )ln x f xx e 11 ( ) ex fx xeex ( ) 0fx ,(0, xe ( )0fx , ,)xe 0( )0l

9、n x xf xx e ( )0fx ( )0fx 0, 0( )( )0 xf xf e 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ab 22 b yax a 2222 2 max:20 bb Sxaxx axxa aa 22 2 0 b Sx ax a xa 22 22 22b ax S a ax 2 a x 2 a x 2 a x x 180 50 10 xx Rxx 1 ( )68(20)70 10105 Rxx( )0350 R xx( )(20) x x 2068 10 建立造价建立造价 F 与半径与半径 r 之间的函数关系之间的函数关系 设盖的单位面积造价为设盖的单位面积

10、造价为 a 元元/m/m2 2 ，则，则 侧面的单位面积造价：侧面的单位面积造价： 2a 元元/m/m2 2 底面的单位面积造价：底面的单位面积造价： 4a 元元/m/m2 2 要设计一容积为要设计一容积为 V 的有盖圆柱形储油桶的有盖圆柱形储油桶 , , 已知已知 盖的单位面积造价又是侧面单位面积造价的一盖的单位面积造价又是侧面单位面积造价的一 【例例3】 侧面单位面积造价为底面单位造价的一半，而侧面单位面积造价为底面单位造价的一半，而 半，问储油桶半径半，问储油桶半径 r 取何值时造价最省取何值时造价最省 ？ 【解【解】 F =底面底面的的造价造价 + + 侧面的造价侧面的造价 + +盖盖

11、的造价的造价 22 422rarhara )( 由于由于 2 2 r V hhrV 2 2 45 r V raraF r aV ra 4 5 2 2 4 10 r aV rarF )( )(Vr r a 410 3 2 驻点驻点: 3 5 2 V r 由于此驻点由于此驻点 是是 F 在在 r 0 上的唯一可能上的唯一可能 3 5 2 V r 3 5 2 V r 所以所以 当当 时，油桶的造价最省时，油桶的造价最省. . 的最值点的最值点 , , 而且问题在而且问题在 r 0上确有最小值点存在上确有最小值点存在 3 5 2 V r 是是 F 在在 r0上的最小值点上的最小值点. . 从而可知从而

12、可知 min:cscsec0 2 lab labcsccotsectan0 令令 3 tan a b 3 arctan a b 0, 2 min l 3 min arctan a ll b 1 2 1 v 2 v 1 h 2 h C x lx 11 22 sin sin v v 2 2 22 2 1 12 min:0 lxhxh txl vv 0 dt dx 222 2 11 22 0 lxx vxh vlxh 11 22 sin sin v v C 1lnxxx ( )1ln ,f xxxx 令令 11 ( )1ln 2 fxx xx 111 ( ) x g x xxxx 1 0 x 1 (

13、 )(1)0 x g xg 1 ( )(1)0 x f xf ( )g x( )f x 证明：当证明：当x 1时，时， 【证法【证法1】则则 2ln2 2 xx x 1lnxxx当当x 1时，时， 【证法【证法2】 1 ( )ln ,f xxx x 令令 则则 2 3 11112(1) ( ) 222 2 xxx fx xxxxxx x 1 0 x 1 ( )(1)0 x f xf ( )f x ( )2ln2g xxx 【证法【证法3】 1 1ln1 ln x x xxx x 当当x 1时，时， 1 ( ), ( )ln ,f xxg xx x 令令 对对 、 ( )( )(1)( ) (1, ) ( )( )(1)( ) f xf xff x g xg xgg 又又 111 ( ),( ) 22 fxg x xxxx 11 22( ) 1