大一微积分期末试卷及答案[1]

1、微积分期末试卷一、选择题（ 6）1.设 f ( x)2cosx , g (x)( 1 )sin x2在区间（0， ）内（2）。 f ( x)是增函数， g ( x)是减函数Bf ( x)是减函数， g( x)是增函数D 二者都是减函数、 x时，2x与相比是（）20ecosxsin x高阶无穷小低阶无穷小等价无穷小同阶但不等价无价小1、 =是函数 =（ -sinx) x的（）连续点可去间断点跳跃间断点无穷型间断点、下列数列有极限并且极限为的选项为（）A X n(1)n1B X nsin nn2C X n1n(a1)D X ncos1an5、若 f ( x)在 X 0处取得最大值，则必有（） f

2、oBf o(X 0 )(X 0 )Cf 且f( X 0 )0f(X0 )不存在或 f(X 0 ) 0(X0 )0D(1 )、曲线yxex2（）6仅有水平渐近线仅有铅直渐近线既有铅直又有水平渐近线既有铅直渐近线16 DDBDBD二、填空题、（d）1dx +12、求过点（，）的一条直线，使它与曲线1 相切。这条直线方程为：、函数的反函数及其定义域与值域分别是：、 的拐点为：ax b则 a, b的值分别为：、若 lim2,x 2x-31 In x1 ; 232x; 4(0,0)y x2x ; 3ylog2 1 x ,(0,1), Rlim ( x 1)(xm)lim xm1m25 解：原式 = x

3、1(x1)(x3)x 1x34m7b7, a6三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、 lim sin x 在区间（，）是连续函数（）x 0x3、 f(x 0） =0一定为 f(x)的拐点（）4、若 f(X)在 x 0 处取得极值，则必有f(x) 在 x 0 处连续不可导（）5、设函数(x)在0,1上二阶可导且f ( x 令 )（ 0），fAf 0则C必B有 f ( f15 FFFFT四、计算题11 用洛必达法则求极限lim x2 ex2x 0111解：原式 = lim ex2lim ex2(2x 3 )lim ex2x0 1x02x 3x 0x22 若 f ( x)(x310)4 ,

4、 求 f(0)f (x)4( x310)3 3x212x2 ( x3 10)3解： f (x)24x(x310)312x23 (x310)2 3x224 x ( x310) 3 108x4 ( x3 10) 2f ( x)043 求极限 lim(cos x) x2x 04lim4 I n cosx解：原式 =lim ex2 I ncos xx2ex 0x 01sin x)lim 4lim In cos x(tan xxIn cosxlimcosxlimlim2x 0 x2x 0x2x 0xx 0xx 0x4222原式e 25x1的导数4求 y(3x1)3x2解： In y5 In 3x11 I

5、n x11 In x2322y 1531111y33x12x12x25x1511y (3x1)3x23x12(x1)2(x2)5 tan3 xdx解：原式 =tan2 x tan xdx（sec2 x 1) tan xdx=sec2 x tan xdxtan xdx=tan xd tan xsin xdxcos x=tan xd tan x1d cos xcos x12=tan xIn cosxc6 求x arctanxdx解：原式 = 1arctanxd( x2 )1 (x2 arctanx x2 d arctanx)22= 1 ( x2 arctanxx2121 dx)21 x= 1x2a

6、rctanx(1121 x2 )dx=1x2arctanxxc22五、证明题。1、证明方程 x3x10 有且仅有一正实根。证明：设f ( x)x3x1且f ( x)在0,1上连续f (0) 1 0, f (1) 1 0,至少存在（0,1),使得 f ( ） 0即 f ( x)在（01)，内至少有一根，即 f ( x)0在（0，）内至少有一实根假设f (x)在（ ，）有两不同实根 x1, x2, x2x100f (x)在 x2 , x2 上连续，在（ x2 , x2）内可导且 f ( x1 )f (x2 )0至少（x2 , x2）， s t f ()0而 f ( ) 3 2 1 1与假设相矛盾方

7、程 x3 x 1 0有且只有一个正实根2、证明 arcsinarccos（ 1 x1）xx2证明：设 f (x)arcsin x arccosxf (x)111,11x20, x1 x2f (x)cf (0)arcsin0arccos02f (1)arcsin1arccos12f ( 1)arcsin(1)arccos(1)2综上所述， f ( x)arcsin xarccosx， x1,12六、应用题1、描绘下列函数的图形yx21x解： 1.Dy=(-,0)(0,+)1 2x3 12.y=2x- x22x令y 得x3 1022y 2x3令y 0,得x 13.4. 补充点 ( 2, 7 ).(1 ,7 ).(1,2).(2, 9 )22225 lim f (x),f ( x)有铅直渐近线 x0x06 如图所示：2. 讨论函数 f ( x)x2Inx 2的单调区间并求极值解： Df (x)