2019高考试题汇编理科数学-概率统计

1、2019 全国 1理） 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，下图就是一重卦 . 在所有重卦中随机取一重卦，则 该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（ ）A. 516答案：B.A1132C.2132D.1116解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有26 种，在 6 个位置上恰有 3 个是阳爻的情况有 C63 种，所以C632620 564 16（2019 全国 1理）15. 甲乙两队进行篮球决赛， 采取七场四胜制 （当一队赢得四场胜利时， 该对获胜， 决赛结束） 根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主

2、”设甲队主场取胜的概率为 0.6 ，客场取胜的 概率为 0.5 ，且各场比赛相互独立，则甲队以4 :1获胜的概率是答案：0.18解答：甲队要以 4 :1 ，则甲队在前 4场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于 是分两种情况：1 2 2 1C12 0.6 0.4 0.52 0.6 0.62 C12 0.5 0.5 0.6 0.18 .（2019 全国 1 理） 21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实 验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施 以乙药一轮

3、的治疗结果得出后， 再安排下一轮实验 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时， 就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈 且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮 实验中甲药的得分记为 X （ 1）求 X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分， pi （i 0,1, ,8） 表示“甲药的累计得分为 i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00

4、，p81， piapi 1bpicpi1 (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X1)，b P(X 0)， c P(X 1)假设0.5，0.8i ）证明： pi 1 pi（i 0,1,2, ,7） 为等比数列；(ii )求 p4 ，并根据 p4的值解释这种实验方案的合理性 答案：(1)略；(2)略解答：(1)一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、 1、0 P(X 1) (1 ) ；P(X 1) (1 ) ；得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则 得 1 分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则 得 0分时是都治愈或都未治愈，则 P(X 0) (1 )(1 ) 则 X

5、的分布列为：(2)(i )因为0.5，0.8，则 a P(X 1) 0.4， b P(X 0) 0.5， c P(X 1) 0.1可得 pi 0.4pi 1 0.5pi 0.1pi 1，则 0.5pi 0.4pi 1 0.1pi 1 ，则 0.4( pi pi 1) 0.1(pi 1 pi )，则 pi 1 pi 4 ， pi pi 1所以 pi 1 pi(i 0,1,2, ,7)为等比数列(ii ) pi 1 pi(i 0,1,2, ,7) 的首项为 p1 p0 p1 ，那么可得： p8 p7 p1 47 ， p7 p6 p1 46 ，p2 p1 p1 4 ，以上 7 个式子相加，得到 p8

6、 p1 p1 (47 464) ，8 8 3则 p8p1(1 44647)p111 44431p1，则p14831，再把后面三个式子相加，得 p4 p1 p1 (4 42 43 )，23p4 p1 (1 4 4 4 )3p144 1 343 1 483111444 1 257p4 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为 4”，因为0.5，0.8，则实验结果中 “甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为 4”这种情况的概率是非常小的，1而 p4的确非常小，说明这种实验方案是合理的4 257（2019 全国 2 理 ）5. 演讲比赛共有 9 位评委分别给

7、出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评 分中去掉 1 个最高分、 1个最低分，得到 7 个有效评分。 7个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 （）A 中位数B.平均数C.方差D极差答案： A解答：由吧，于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5 个，假设为 a ，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是 a ，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。（2019全国 2理）18. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得 1分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束 .甲、乙两位同学进行单打比赛，

8、假设甲发球时甲得分的概率为0.5 ，乙发球时甲得分的概率为 0.4 ，各球的结果相互独立 .在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束 .（1）求 P（X 2） ；（2）求事件“ X 4 且甲获胜”的概率 .答案：（1）0.5；（2） 0.06解析：（ 1） X 2 时，有两种可能： 甲连赢两局结束比赛，此时 P1 0.5 0.4 0.2 ； 乙连赢两局结束比赛，此时 P2 0.5 0.6 0.3 ， P（X 2） P1 P2 0.5；（ 2） X 4 且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，此时 P 0.5 0.6 0.5 0.4 0.06.（2019 全

9、国 3 理） 3.西游记三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说 四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红 楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共 有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案： C解答：90 80 601000.73 / 10（2019 全国 3理） 17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200 只小鼠随机分成A, B两组，每组 100 只，其

10、中 A组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积 相同， 摩尔溶度相同。 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比， 根据实验数据分别 得到如下直方图：7 / 10记 C 为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P（C） 的估计值为 0.70.1）依题意得a 0.2 0.15 0.70.05 b 0.15 0.15 0.2 a 1解得a 0.35 b 0.11）求乙离子残留百分比直方图中 a,b 的值；（2）分别估计甲，答案：乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）见解析 解答:（2） 0.15

11、 2 0.2 3 0.3 4 0.2 5 0.1 6 0.05 7 4.050.05 3 0.1 4 0.15 5 0.3 6 0.2 7 0.15 8 5.7得到甲离子残留百分比的平均值为 4.05,，乙离子残留百分比的平均值为 5.7.（ 2019 北京理） 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之 一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 A 和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如下：交付( 0,1000(1000,2000大于 2

12、000金额（元）付方式仅使用 A18 人9人3人仅使用 B10 人14人1人）从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1人，以 X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的4 / 10人数，求 X 的分布列和数学期望；()已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他 们本月的支付金额都大于 2000元根据抽查结果， 能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化？说明理由2【答案】 ( ) 2 ；5()见解析；( )

13、见解析 .【解析】【分析】()由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值； ()首先确定 X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可()由题意结合概率的定义给出结论即可100 30 25 5 40 人，则：详解】 ( )由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率40p 100()由题意可知，32 仅使用 A支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000 的人数占 ，5523 仅使用 B支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 ，金额大于 1000的人数占 ，55 且 X 可能的取值为 0,

14、1,2.6 ， p X 1255513 ， p X 2 325 525X 分布列为：X012pX6136252525其数学期望： E X 0 6 1 13 2 6 1.25 25 25()我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化 .理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。出现题中这种现象学校是一个相对消费稳定的地方， 每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定， 可能是发生了 “小概率事件 ”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题， 考查概率统计在生活中的应用， 考查概率的定义和分

15、布列的应用， 使学生体会到数学与现实生活息息相关 .2(2019 天津理) 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 2 .假定甲、乙两位同学到校3 情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立 .()用 X表示甲同学上学期间的三天中 7：30之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； ()设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7： 30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率 .20【答案】()见解析； ()243【解析】【分析】( ) 由题意可知分布列为二项分布， 结合二项分布的公式求得概率可得分布列， 然

16、后利用二项分布的期望公式求 解数学期望即可；( ) 由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.7:30 之前到校的概率均为 2 ，3故XB从面 P X k C3kk 0,1,2,3 .【详解】 ( )因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天所以，随机变量 X 的分布列为：X0123P12482799272随机变量 X 的数学期望 E(X) 32.32 ( )设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为 Y，则 Y B 3,3且 M X 3,Y 1 X 2,Y 0.由题意知事件 X 3,Y 1 与 X 2,Y 0 互斥，且事件 X 3 与 Y 1 ，事件 X 2 与

17、Y 0 均相互独立，从而由( ) 知：P(M ) P X 3,Y 1 X 2,Y 0P X 3,Y 1 P X 2,Y 0P(X 3)P(Y 1) P(X 2)P(Y 0)8 2 4 120.27 9 9 27 243【点睛】 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望， 互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知 识 . 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(2019 江苏 )5.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是5 【答案】3【解析】【分析】 由题意首先求得平均数，然后求解方差即可 .详解】由题意，该组数据的平均数为6 7 8 8 9 108，所以该组数据的

18、方差是1(68)2(78)2(8 8)2 (88)2(9 8)2 (108)2563 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题 .(2019江苏)6.从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同学中至少有 1名女同 学的概率是 .【答案】 710【解析】【分析】先求事件的总数， 再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数， 最后根据古典概型的概率计算公式得出答 案.【详解】从 3 名男同学和 2名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 C52 10种情况 .若选出的 2名学生恰有 1 名女生，有 C31C21 6 种情况，若选出的 2 名学生

19、都是女生，有 C22 1种情况，所以所求的概率为6 1 710 1099 / 10【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环 .在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确 “分类”分“步 ”，根据顺序有无，明确 “排列”“组合”(2019江苏)25.在平面直角坐标系 xOy中，设点集 An (0,0),(1,0),(2,0),( n,0) ，Bn (0,1),( n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), ,(n,2), n N .令Mn An Bn Cn.从

20、集合 Mn中任取两个不 同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离 .( 1)当 n=1 时，求 X 的概率分布；( 2)对给定的正整数 n( n3)，求概率 P( Xn)(用 n 表示) . 【答案】(1)见解析；( 2)见解析 .【解析】【分析】(1) 由题意首先确定 X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解 P X n 的值，据此分类讨论 .b d ，.b 0,d 1，.b 0,d 2，.b 1,d 2四种情况确定 X 满足 X n的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定P X n 的值.【详解】(1)当n 1时， X的所有可能取值是 1， 2，2， 57 7 4 4X 的概率分布为 P(X 1) C762 175,P(X 2) C462 145 ，P(X 2) C226 15125,P(X 5) C226152)设 A(a，b)和 B(c，d)是从 Mn中取出的两个点因为 P(X n) 1 P(X n) ，所以仅需考虑 X n的情况若 b d ，则 AB n ，不存在 X n 的取法；若 b0，d1，则 AB(ac)21n2 1，所以 Xn 当且仅当ABn21，此时a0，cn 或a n，c 0 ，有 2 种取法；若 b0，d2 ，则 AB(a c)24n2 4 ，因为当n 3 时，(n 1)2