高中理科数学必做100题-必修5

1、在中，已知a3， b2 ，B=45，051.ABC求 A、 C 及 c.解一：根据正弦定理，a sin B3 sin 453sin A2.b2 B= 45 90 ，且 ba， A=60 或 120 . 当 A=60 时， C=75 ，b sinC2 sin 7562；csin 452sin B当 A=120 时， C=15 ，b sinC2 sin1562csin 452.sin B解二：根据余弦定理，b2a2c22accos B .将已知条件代入，整理得c26c1 0，解得 c62.2当 c62时，2cos Ab2c2a 22bc2 (62)23132，22622(31)22 A=60 ，C

2、=75 ；当 c62时，2cos Ab2c2a 22bc2 (62 )23132，22622(31)22A= 120，C=15.在ABC中，若 a cos Ab cosB ，判断ABC052.的形状 .解：cos Ab2c2a2， cosBa2c2b22bc2ac，b2c2a2aa2c2b2b ，2bc2ac化简得： a2 c2a4b2c2b4 ，即 a2b2 c2a2b2a 2b2 .若 a2b20 时， ab ，此时 ABC 是等腰三角形；若 a2b20 ， a2b2c2 ，此时ABC 是直角三角形，ABC 是等腰三角形或直角三角形.053.在 ABC 中， a， b， c 分别是角A、B

3、、 C 的对边，且 a2 b2 c22ab.（1）求 C；（2）若 tan B2ac ，求 Atan Cc解：（ 1） a2 b2 c22 ab， a2b2c22 ，2ab2cosC2 ， C 45.2（2）由正弦定理可得tan B2ac2sin Asin C ，tan Ccsin C sin BcosC2sin AsinCcosB sin Csin C sinBcosC 2sinAcosB-sinCcosB， sinBcosC sinCcosB 2sinAcosB， sin(B C) 2sinAcosB， sinA 2sinAcosB. sinA0， cosB 1 ， 2 B 60， A 1

4、8045 60 75.054.如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 千米，速度为 180 千米 /小时，飞行员先看到山顶的俯角为30经过 2 分钟后又看到山顶的俯角为75 ，求山顶的，海拔高度 .解：在ABP 中，BAP30 ，APB753045， AB18026 .60ABBP根据正弦定理，sinAPB6BPsin BAP， BP32 .s i n 4 5s i n 3 0 BP sin 7532sin(4530 )3332.山顶 P 的海拔高度为h 103331733（千米） .22055.已知数列 an 的第 1 项是 1，第 2 项是 2，以后各项

5、由 an an 1 an 2(n2) 给出.（1）写出这个数列的前5 项；（ 2）利用上面的数列an ，通过公式ban 1 构nan造一个新的数列 bn ，试写出数列 bn 的前 5项 .解（ 1）由 a11,a22, anan 1an 2 ，得 a3a2 a12 13 ， a4 a3a2 2 3 5a5 a4a33 58 ；（ 2 ）依题意有：b1a22a33a12， b2，1a22a45a58，b3， b4a45a33a6a5a45813b5a58.a58056.已知数列an 的前 n 项和为 Snn21n .2（ 1）求这个数列的通项公式 .（ 2）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项

6、与公差分别是什么？解：（ 1）当 n1 时， a1s13 ；当 n2 时，由 an2sn sn 1 得ann2nn 121n 12n1222又 a132n1满足 an，221此数列的通项公式为an2n.2（2） an an 112 n 112n2，22此数列是首项为3 ，公差为2 的等差数列 .2057.等比数列 an 中，已知 a12, a416.（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）若 a3 , a5 分别为等差数列 bn 的第 3 项和第 5项，试求数列 bn 的通项公式及前n 项和 Sn .解：（ 1）设 an 的公比为 q ，则由 a416 得 16 2q3 ，解得 q2 .n

7、1n .数列 an 的通项公式为n2 2a2（ 2） an2n ， a38 ， a532 ，则 b38 ，b5 32 .设等差数列 bn 的公差为 d ，则b12d8b116.b14d32，解得12d bn16 12(n 1) 12n 28 .数列 bn 的前 n 项和为Snn(1612n 28)6n222n .2058.如果一个等比数列前 5 项的和等于 10，前 10 项的和等于 50，那么它的前 15 项的和等于多少？解法一：S5 10,S1050 ，S10 S540, S15 S10S15 50 ，又 S5 , S10 S5 , S15 S10 成等比数列， 402 10 S15 50

8、 ， S15 210 .解法二：设等比数列的首项为a1 ，公比为 q ，则：S10a1a2a5a6a7a10= S5q5 S5 = 1 q5 S5 50 ，同理 S15S10q10 S5 ， 510，由得 q5S101 4，SS5 q1016 ，代入，得 S15S10qS5 50 1610210 .059.已知数列an的前n 项和为Sn ，Sn1 (an31)(nN*) .（ 1）求 a1, a2 ;（ 2）求证：数列 an 是等比数列 .解：（ 1） aS1 (a1) ，解得 a1 .113112由 S2 1 ( a21)a1a21a2 ，解得 a21 .3124（2） Sn 11) ，(a

9、n 1311则 an 1 Sn 1Sn( an 11)1) ，3( an3化简得 2an 1an ，即an 11an，2 an 是等比数列 .060.已知不等式 x 22 x30 的解集为 A，不等式x2x 60 的解集是 B.（1）求 AB ；（ 2）若不等式x2axb0 的解集是 AB, 求ax2x b0的解集 .解：（ 1）解 x22x30得 1 x 3 ，解集 A( 1,3) .解 x2 x 6 0得 3 x 2 ，解集 B(3,2). AB ( 1,2).（ 2 ） 由 x2a x b 0 的 解 集 是 (1,2)，所以1ab0，解得a142ab0b2 x2x 2 0 ，即 x2x

10、 2 02 1420 ax2xb0 的解集为 R.061.电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min，收视观众为60 万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为 20 万 . 已知此企业与电视台达成协议， 要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320 分钟 . 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率 ?解：将所给信息用下表表示 .每次播放时间广告时间 (单收视观众(单位 :min)位:min)(单位 :万 )连续80160剧甲连续40120剧乙限制播放最长时间最

11、少广告时条件320间 6设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为 z. 则目标函数为z=60x+20y，80 x40 y320约束条件为xy6，x0y0作出可行域如图，作平行直线系y3xz ，由图可知，当直线过20点 A 时纵截距 z 最大 .20由方程组80 x40 y 320 ，解得x2，x y6y4点 A 的坐标为 (2， 4)，则 zmax=60x+20y=200 (万 ). 电视台每周应播放连续剧甲 2 次，播放连续剧乙 4 次，才能获得最高的收视率 .062.已知 x, y 为正数 .（1）若 191 ，求 x2 y 的最小值；xy（2）若 x2 y2 ，求xy 的最

12、大值 .解：（ 1）191 ，xy x2y( x2 y)( 19 )1182y9xxyxy 1922 y9x1962.xy当且仅当 2 y 9 x 时，即x132y1832 时取等号 .xy2 x 2 y 的最小值为 1962 .（2）xy1x2 y1x2 y2222.2当且仅当x2 y ，即 x1, y1 时等号成立 .2 xy 的最大值为2.2063.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 m 3，深为 3 m，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？解：设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度

13、为 4800m，又设水池总造价为y 元 . 根据题意，3x得y 150 4800 120（ 23x 2 3 4800 ）33x 240000 720（ x 1600 ） x240000 720 2x1600x 240000 720 240 297600.当 x 1600 ，即 x 40 时， y 有最小值 297600. x因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元 .064.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y（千辆 /小时）与汽车的平均速 度 v （ 千 米 / 小 时 ） 之 间 的 函 数 关 系 为 ：y920v(v 0) v23v 1600（1