《概率论与数理统计》习题解答

1、第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为 X ，则 X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡： 20 万，概率为 投保一年内因其他原因死亡： 5 万，概率为 投保一年内没有死亡： 0，概率为所以 X 的分布律为：2、一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以 X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律解： X可以取值 3，4，5，分布律为也可列为下表X： 3 ， 4 ， 5P： 1 , 3 , 610 10 103、设在 15只同类型零件中有 2 只是次品， 作不放回抽样，以 X表示取出次品的只数， （1） 的图形解：在其中取三次，每次任取

2、一只，求 X 的分布律，（ 2）画出分布律任取三只，其中新含次品个数 X可能为 0，1，2 个。1235C12 C1231） C2C3C13C15C22 C1132） 2 3 13C15再列为下表P(XP(X135X： 0 ， 1， 2P： 22 , 12 , 1p，失败的概率为 q =1p（0 pY)= P (X=1, Y=0)+ P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P ( Y=0)+ P (X=3) P ( Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3)

3、P ( Y=0)+ P (X=3) P ( Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=C13 0.6 (0.4)2 (0.3)3 C32 (0.6) 2 0.4 (0.3) 89、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10 件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从 中再任取 5 件，仅当 5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求(1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率(2) 需作第二次检验的概率(3) 这批产品按第 2次检验的标准被接受的概率(4) 这批产品在第 1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5) 这批产

4、品被接受的概率解：X表示 10件中次品的个数， Y表示 5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故 XB( 10，)，YB( 5，)(近似服从)(1)P X=0= (2)P X2= P X=2+ P X=1= C1200.120.98 C1100.10.99 0.5815(3) P Y=0= (4) P 0 X2，Y=0 (0 X2与 Y=2独立)= P 0 X 2 P Y=0= (5)P X=0+ P 0 X2， Y=0 +=10、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4 杯。如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。成功 3 次。试 )(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次

5、的概率是多少(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10 次，问他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。解：( 1) P (一次成功 )= 14 1C84 70此概率太小，(2)P (连续试验 10次，成功 3 次)= C130(710)3(6709)7 100300按实际推断原理，就认为他确有区分能力。11. 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可 能的。但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数 X服从参数为 6 的泊松分布。求明年没有此类文 章的概率。解： X 6 .612. 一电话交换台每

6、分钟收到呼唤的次数服从参数为4 的泊松分布。 求（ 1）481） P X 8 e r 8 r!（2） PX 3 PX 4每分钟恰有 8 次呼唤的概率。（2）某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率。 49e9 r!0.56653013. 某一公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X服从参数为（1/2 ）t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） 。 （1）求某一天中午 12时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率。 （2）求某一天中午 12时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率解： tX:23PX30 e 20.223125P X 1k 2.52.5ke 2.5 0

7、.9182k 1 k!14、 解：X （2t）（1）、t10分钟时 t1 小时，6（2）、P0 2tX 00.5 故 2t e0.5 t0.34657（小时）1所以 t 0.34657*60 20.79 （分钟）15、解：n 1000, p 0.0001, np 0.116、解： P X 2 1 P X 0 P X 101e0!1e1!1 0.9953 0.004717、解： 设 X 服从0: 1 分布， 其分布率为 P X k pk 1求 X 的分布函数，并作出其图形解一：011kp ,k 0,1 ，X 的分布函数为：18在区间 0,a 上任意投掷一个质点， 以 X 表示这个质点的坐标。 设

8、这个质点落在 0,a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X 的分布 函数解： 当 X 0 时。当 0 xXxa 时，是不可能事件，P 0 X xkxXx0X0a 是必然事件则FxPXP0x a PX当 x a 时， X x 是必然事件，有 F19、以 X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间 计），X的分布函数是求下述概率：（1）P至多 3分钟；（2）P 至少 4分钟 ；（3）P3 分钟至 4分钟之间 ；（4）P至多 3分钟或至少 4分钟 ；（5）P恰好分钟 解：（1） P至多 3分钟= P X3 =1.2（2）（3）（4）x1以分FX (3) 1 eP 至少

9、 4分钟 P (X 4) = 1 FX(4) e 1.6P3 分钟至 4分钟之间 = P 3 X4= FX(4) FX(3) e 1.2 e 1.6P至多 3分钟或至少 4分钟= P至多 3分钟+P至少 4分钟 = 1e 1.2 e 1.65）P恰好分钟 = P (X=020、 设随机变量 X的分布函数为求(1)P ( X2), P 0 X3,解：( 1) P (X2)=FX (2)= ln21 ,1 x e,(2) f(x) F(x) x ,1 x e,0,其它21、设随机变量 X 的概率密度2 1 x201) f (x)1x其它120,x 1,ln x,1 x e, ，1,x e.P (2

10、 X5 2 ) ；(2)求概率密度 fX (x).P (0 X3)= F X (3) FX (0)=1 ，FX(x)f (x) 为x 0 x（2） f（x） 2 x 1 x 0 其他求 X的分布函数 F （ x） ，并作出（ 2）中的 f （ x）与 F （ x）的图形。 解：（1）当 1x1 时： 当 1x 时： F（x） 故分布函数为： 解：（2） F（x） P（X 故分布函数为10dx1 2 11x2dxx0dx 11x)f(t)dt（2）中的 f （x）与 F （x）的图形如下x22、由统计物理学知， 分子运动速度的绝对值 X 服从迈克斯韦尔 (Maxwell) 分布，其概率密度为m2

11、kT ，k为 Boltzmann 常数，其中 b 确定常数 A 。解:T 为绝对温度，m 是分子的质量。试当 tQx dx 1dxx2Ax2e b dxAb2x2xe b d00 时， FT tdt当 t 0 时，dtFT t或 P 50100t 1 x1 e 241dt0 241t 50 1001 e 241dt e 241 e 24110050X(以小时计)具有以下的概率密度： 。任取 5 只，问其中t dt10050 24123、 某种型号的电子的寿命 现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立) 至少有 2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少解：一个电子管寿命大于 1500 小

12、时的概率为令 Y 表示“任取5 只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y B(5, 23)，3P(Y 2) 1 P(Y 2)1 P(Y 0) P(Y 1) 1(31)5 C51 (32) (13)41 11 232243 2431521 3524、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 概率密度为：某顾客在窗口等待服务， 若超过 10分钟他就离开。他一个月要到银行 5 次。 以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律。并求 P(Y1)。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此 Y B(5,e 2).即X(以分计)服从指数分布，其P(Y 1) 1P(Y 1)P

13、(Y k) k5 e 2k (1e 2)5 k,(k 1,2,3,4,51 P(Y 0) 1 (1)1(1 7.3189)5 1 (1 0.1353363)5125、设 K在( 0，0.867755)上服从均匀分布，求方程1 K的分布密度为： f (K) 5 001 0.4833 0.5167.4x24xK K 2 0 有实根的概率K50其他2 要方程有根，就是要 K满足(4K)244 (K+2) 0。 解不等式，得 K2 时，方程有实根。5 1 3 P(K 2) f(x)dx dx 0dx2 2 55 526、 设 XN()X)= P (2 X 5) = 5 3 223 =(1) (P (

14、42)=1 P (| X|2)= 1 P= 1 22 3=1( +(=1+=(2 P3)=1 P ( X3)=1 3 3 =1=2 决定 C使得 P (X C )=P (XC)P (X C )=1P (XC )= P (XC) P (XC )= 12 = P (XC )= C23 0.5, 查表可得 某地区 18岁的女青年的血压(收缩区，以C 3 0 C =32mm-Hg计)服从 N (110,12 2 )在1)求 P (2 X5) ， P ( 4)2 ，P (X3) 若 XN(， 2)，则 P (该地区任选一 18岁女青年，测量她的血压 X。求(1) P ( X105)， P (100x)

15、.=的正态分布。规定解: (1) P(X 105) (105 110) ( 0.4167) 1 (0.4167) 1 0.6616 0.3384 28、由某机器生产的螺栓长度( cm)服从参数为 =， 长度在范围内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为 X P X不属于 , +=1 P X+=1(10.05 0.12) 10.050.06(10.05 0.12) 10.050.06=1(2) ( 2)29、一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为知)的正态分布，若要求 P (120 X200 =，允许最大为多少P (120 X200)=200 160 120 16040=1

16、60， (未40 0.80又对标准正态分布有(x)=1(x)上式变为40401 40 0.80解出再查40 便得 :401.281 0.9表，得40 401.28131.2530、解：31、解：Q f (x)0,g(x) 0,0a132、解：af(x)(1a)g(x)0且 af (x)(1 a)g(x) dxa f (x)dx (1 a) g(x)dx a (1 a) 1所以 af (x) (1 a)g( x)为概率密度函数33、 设随机变量 X的分布律为：X： 2，1，0 ，1，3P： 1 ，1，1，1 ， 11P： 5 ，6，5，15 ， 30求 Y=X 2的分布律 Y=X 2：( 2)

17、2(1)2(0)2(1)2(3)2P： 1111115651530再把 X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为：Y： 01 4 91 1 1 15 6 15 5113034、设随机变量 X在( 0，1)上服从均匀分布(1)求 Y=eX 的分布密度X的分布密度为：f (x)1 0 x 10 x 为其他0Y的分布密度为：(y)f h(y) |h(y)| 112e2y12e0yy为其他Y=g (X) =eX是单调增函数 又X=h ( Y)= lnY ，反函数存在且 = min g (0), g (1)= min(1, e)=1 max g (0), g (1)= max(1,

18、 e)= e1 Y的分布密度为： (y) fh(y)|h(y)| 1 1y 1 y e 0y 为其他( 2)求 Y=2lnX 的概率密度。 Y= g (X)= 2lnX 是单调减函数Y又 X h(Y) e 2 反函数存在。 = min g (0), g (1)= min(+ , 0 )=0=max g (0),g (1)= max(+ , 0 )= + 35、设 XN( 0，1)(1)求 Y=eX的概率密度x2 X的概率密度是 f(x) 1 e 2 , x2Y= g (X)=eX 是单调增函数又X= h (Y ) = lnY 反函数存在且 = min g ( ), g (+ )= min(0,

19、 + )=0 = max g (), g (+ )= max(0, + )= + Y的分布密度为：(2) 求 Y=2X2+1 的概率密度。在这里， Y=2X2+1在(+ ， )不是单调函数，没有一般的结论可用。设 Y的分布函数是 FY(y)，则FY ( y)=P ( Yy)=P (2X2+1y)y2 1 X y2 1当 y1时， ( y)= FY ( y) = 12 (y 1)(3) 求 Y=| X | 的概率密度。 Y的分布函数为 FY ( y)=P (Yy )= P ( | X | y) 当 y0时： ( y)= FY ( y) =y 1 e 2 dx 2e 2y 236、( 1)设随机变

20、量 X的概率密度为 f (x)，求 Y = X 3的概率密度。 Y=g (X )= X 3 是 X单调增函数，1又X=h (Y ) = Y 3 ，反函数存在，且 = min g (), g (+ )= min(0, + )= = max g (), g (+ )= max(0, + )= + Y的分布密度为：1 ( y)= f h ( h ) | h ( y)| = f(y3) 2)设随机变量 X 服从参数为 1法一： X的分布密度为： f (x)的指数分布，求xe013 y 3 , y, 但y 0Y=X 2的概率密度。Y=x2是非单调函数 当 x0 时 y=x2 当 x0 时 y=x2 Y f Y (y) =反函数是 xx f ( y)( y) 1ey2 y e2yyxxyyf( y)( y)ey,y0P(X y) P(X y)0法二： Y FY(y) P(Y y)1e Y f Y (y) = 2 y e 0 37、 设 X的概率密度为 求 Y=sin X 的概率密度。 FY ( y)=P (Yy)= P (sin Xy)当 y0 时： FY (当 0 y 1 时：yX )y)=0FY ( y)P(y0.0.= P (sin X y)y)= P (0 X arc sin y