2012高考理科数学函数与导数 (答案详解

1、2012年高考函数导函数专题（理科）一、选择题1（2012重庆理8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值2（2012新课标理12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A B C D3（2012陕西理7）设函数，则（ ） A为的极大值点 B为的极小值点C为的极大值点 D为的极小值点学4（2012辽宁理12）若，则下列不等式恒成立的是（ ）A BC D5（2012湖北理3）已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形 的面积为（ ）A B C

2、D 6（2012全国理10）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则等于（ ）A-2或2 B-9或3 C-1或1 D-3或1二、填空题7（2012北京理14）已知，若同时满足条件：，或；, .则的取值范围是_. 8（2012天津理14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 .9（2012浙江理16）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线：到直线的距离等于曲线：到直线的距离，则实数=_.10（2012广东理12）曲线在点处的切线方程为 11（2012上海理13）已知函数的图像是折线段，其中、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 .12（2012陕西

3、理14）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .13（2012江西理11）计算定积分_.14（2012山东理15）设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_.三、解答题15（2012广东理21）（本小题满分14分）设a1，集合，.（I）求集合（用区间表示）；（II）求函数在内的极值点16（2012安徽理19）（本小题满分13分）设，（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值.17（2012全国理20）（本小题满分12分）设函数，.（I）讨论的单调性；（II）设，求的取值范围.18（2012北京理18）（本小题共13分）已知函数.（I）若

4、曲线与曲线在它们的交点处具有公公切线，求的值；（II）当时，求的单调区间，并求其在区间上的最大值.19（2012新课标理21）（本小题满分12分）已知函数满足；（I）求的解析式及单调区间；（II）若，求的最大值.20（2012江苏理18）（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知是实数，1和是函数的两个极值点（I）求和的值；（II）设函数的导函数，求的极值点；（III）设，其中，求函数的零点个数21（2012辽宁理21）（本小题满分12分）设，曲线与直线在点相切. （I）求的值； （II）证明：当时，.22（2012重庆理16）（本小题满分13分）设其中，曲线在

5、点处的切线垂直于轴.（I）求的值；（II）求函数的极值. 23（2012浙江理22）(本小题满分14分)已知，函数（I）证明：当时，()函数的最大值为；() ；（II） 若对恒成立，求的取值范围24（2012山东理22）(本小题满分13分)已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（I）求的值；（II）求的单调区间；（III）设,其中为的导函数.证明：对任意.25（2012湖南理22）（本小题满分13分）已知函数，其中.（I）若对一切，恒成立，求的取值集合.（II）在函数的图像上取定两点，记直线的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.参

6、考答案1【答案】【解析】由图像可知当时，所以此时，函数递增.当时，所以此时，函数递减.当时，所以此时，函数递减.当时，所以此时，函数递增.所以函数有极大值，极小值,选.2【答案】【解析】函数与互为反函数，图像关于对称， 函数上的点到直线的距离为，设 .由图像关于对称得：最小值为3【答案】【解析】，令，则，当时，当时，所以为极小值点，故选.4【答案】【解析】设，则所以所以当时，为增函数，所以，同理，所以，即，故选5【答案】【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为.6【答案】【解析】若函数的图像与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当

7、极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选.7【答案】【解析】根据，可解得.由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的.当时，不能做到在时，所以舍掉.因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，.为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，解得，交集为空，舍.当时，两个根同为，舍.当时，解得，综上所述.8【答案】【解析】函数的图像直线恒过定点，且，由图像可知.9【答案】【解析】曲线：到直线的距离为，曲线对应函数的导数为，令得，所以上的点为，

8、点到到直线的距离应为，所以，解得或（舍去）.10【答案】【解析】，当时，此时，故切线方程为，即.11【答案】【解析】当，线段的方程为，当时.线段方程为，整理得，即函数，所以， 函数与轴围成的图形面积为 .12【答案】2【解析】函数在点处的切线为，即.所以表示的平面区域如图当目标函数直线经过点时有最大值，最大值为.13【答案】【解析】.14【答案】【解析】由已知得，所以，所以.15【解析】（I）由有 ，即 有 又 当时，恒成立.当时，当时，即1）当时，方程有两个不同的根其中，且 （显然）则有2）当时，3）当时， （显然），（，显然）综合上述：当时，；当时，；当时，.（II）由 有当时，1+00+

9、 函数在内的极值点为或当时， （）而 ，即（）同理 （）而 ，即，故+0+函数在内的极值点为当时，而 ， 函数在内的无极值点综合上述： 当时，函数在内的极值点为或；当时，函数在内的极值点为当时，函数在内的无极值点16【解析】（I）设；则，当时，在上是增函数，得：当时，的最小值为.当时，当且仅当时，的最小值为.（II），由题意得：.17【解析】（I）（i）当时，.当且仅当时，所以在上是增函数.（ii）当时，.当且仅当时，所以在 上是减函数.（iii）当时，由解得.当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数.（II）由得，所以.令，则.当时，当时，.又，所以，即.当时，有.当时，所以；当时，；

10、综上，的取值范围是.18【解析】（I）由为公共切点可得：，则，则，. 又，即. 由、可得，.（II），设则，令，解得：；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增，即时，最大值为； ，即时，最大值为； 时，即时，最大值为.综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为.19【解析】（I）令得：得：在上单调递增得：的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为（II）得 当时，在上单调递增时，与矛盾 当时，得：当时，令；则 当时，当时，的最大值为20【解析】（I）由，得. 1和是函数的两个极值点， ，解得. （II） 由（I）得， ， ，解得. 当时，；当时， 是的极值点. 当或时， 不是的极值点.

11、的极值点是2，为极小值点.（III）令，则.先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（II）可知，的两个不同的根为1 和-2，注意到是奇函数，的两个不同的根为-1和2.当时， ，-2 ,-1，1，2都不是的根.由（I）知. 当时， ，于是是单调增函数，从而.此时在无实根. 当时，于是是单调增函数.又，的图像不间断， 在内有唯一实根.同理，在内有唯一实根. 当时，于是是单调减两数.又， ，的图像不间断，在内有唯一实根.因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足.下面考虑函数的零点：（i）当时，有两个根，满足.而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点.（ii）当时，有三个不同的

12、根，满足.而有三个不同的根，故有9个零点.综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点.21【解析】（I）由的图像过点，代入得.由在处的切线斜率为，即，得.（II）（证法一）由均值不等式，当时，故.记，则，令，则当时，因此在内是减函数，又由，得，所以，因此在内是减函数，又由，得，于是当时，（证法二）由（I）知，由均值不等式，当时，故令，则，故，即，由此得，当时，记，则当时， 因此在内是减函数，又由，得，即 22【解析】（I）因故.由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得.（II）由（1）知， 令，解得（因不在定义域中，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函

13、数；故在处取得极小值，且.23【解析】（I）() 当时，在上恒成立，此时的最大值为：当b0时，在上的正负性不能判断，此时的最大值为：；综上所述：函数在上的最大值为；() 要证，即证-即证在上的最大值小于(或等于) ，令当b0时，在上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在上的正负性不能判断，；综上所述：函数在上的最大值小于(或等于) .即在上恒成立（II）由（I）知：函数在上的最大值为，且函数在上的最小值比要大对恒成立，.取为纵轴，为横轴则可行域为：和，目标函数为作图如下：由图易得：当目标函数为过时，有.所求的取值范围为：.24【解析】（I）由可得，而，即，解得；（II），令可得，当时，；当时，.于是的单调递增区间；单调递减区间为.（III）由题，.因此，对任意等价于.由（II），所以，因此，当时，单调递增； 当时，单调递减；所以，的最大值为，故.设，因为，所以时，单调递增.，故时，即.所以，.因此，对任意.25【解析】（I）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令