“等时圆”模型的基本规律及应用

1、。“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于考试杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用” ，居然有同志认为是 “等势圆”吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：一、何谓“等时圆”如图 1 所示， ad、 bd、 cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、 b、 c、d 位于同一圆周上， a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、 b、 c 处释放（初速为0），用 t 1、 t 2、t 3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，

2、则（）A.t1t t t3C.t3t t2D.t=t =t3212112解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律得，ymg cosma再由几何关系，细杆长度L2Rcosmg1设下滑时间为 t ，则 L2xat图 12由以上三式得， t 2R可见下滑时间与细杆倾角无关，所以gD正确。由此题我们可以得出一个结论。结论： 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论： 若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由 图 2 静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。象这样的竖直圆我们简称为“等

3、时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用A1、 可直接观察出的“等时圆”例 1：如图 3，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）图 3A. 球面 B.抛物面C.水平面D. 无法确定解析： 由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。例 2： 如图 4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点 A，竖直墙上另一点B与 M的连线和水平面的夹角为600 ， C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与 M靠得很近的一

4、点（DM远小于 CM）。已知在同一时刻：a、 b两球分别由A、 B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点； c 球由 C点自由下落到M点； d球从 D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（）A、 a球最先到达 M点B、 b球最先到达 M点。1。C、 c球最先到达M点D、 d球最先到达M点解析： 设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，t a=4R =2R，ggB2RCt ta；c做自由落体运动t=；而 d球滚下是一个单摆模型，AbcgRD摆长为 R， tT=，所以 C正确。M=d42g图 42、运用等效、类比自建“等时圆”例 3 ：如图 5所示，在同一竖直线上有 A、 B两点，相距为 h， B点离地

5、高度为 H，现在要在地面上寻找一点 P，使得从 A、 B两点分别向点 P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由 A和 B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、 P两点之间的距离OP 。解析 ：由“等时圆”特征可知，当A、 B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图 6所示，此时等时圆的半径为：AARO1PHhhhO12BhB22H所以OPRH ( H h)PH( )OP2O图 5图 6例 4：如图 7， AB 是一倾角为的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与 AB输送带间建立一管道 （假使光滑） ，使原料从 P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方

6、向的夹角应为多大？PPBBOAAC图 7图 8解析： 借助“等时圆” ，可以过 P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB 相切，如图所示， C 为切点， O为圆心。显然，沿着 PC弦建立管道，原料从P 处到达 C 点处的时间与沿其他弦到达 “等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着 PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于/ 2 。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图 1 的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为 ，小滑环分别从。2。a、 b、 c 处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析： bd 的长为2Rc

7、os ， bd 面上物体下滑的加速度为a=gcos - gsin ，t bd=4R cosR=2。可见 t 与 有关。g cosg singg tan2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、 bO、 cO，其下端都固定于底部圆心 O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、 600。若有三个小孩同时从 a、 b、 c 处开始下滑（忽略阻力） ，则（）A、 a 处小孩最先到O点B、b 处小孩最先到 O点C、 c 处小孩最先到O点D、a、 c 处小孩同时到 O点c解析： 三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、 b、 c 三点不b可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径aR= 1 gsin t 2，t4R为 R