人教A版高中数学选修1-1课件：3.1变化率与导数3-1-3

1、肿a g卄f(x)g(x)-f(x).g(x) 艸讪“诜2(X)s(o - $)mb a 0 cm a 十、k/、ct| * a I aw| fh)= lim竺班 j戈tOA金版教程至真至诚SINCE 2000 _A选修11A -数学选修11第三章导数及其应用3. 1变化率与导数313导数的几何意义#01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 rbSMxarcn数学*选修I301课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练Q rbSMxarcnA -数学选修11【基础导学】导疑我国著名数学家华罗庚教授对数与形做过这样 的描述：数缺形时少直觉，形少数时难入

2、微，数形结合百 般好，隔离分家万事休.导思我们已经知道导数的物理背景为某一时刻的瞬 时速度，那么函数图象在某点附近的变化情况又如何呢？ 它具有怎样的几何意义？&导果1 导数的几何意义(1) 导数才Cs)表示函数加在兀二刘处的瞬时变化率, 反映了函数心)在=兀0附近的变化情况 .(2) 函数y=f(x)在点处的导数f do)的几何意义是曲线y=/W在点尸(兀0,几叼)处的切线斜率相应地，曲线y=f(x)在点戶仇，几X。)处的切线方程为 yfM=f (xo)(xxo)501课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 rbSMxaccnA -数学选修112. 导数的物理意义如果把

3、=兀0看做是物体的运动方程，那么,导数f So 表示 运动物体在兀。时刻的瞬时速度，这就是导数 的物理意义.3. 利用导数的几何意义，求在点血，/(兀。)处的切线方 程的一般方法，可分两步： 先求出函数y f(x)在点xo处的导数/ So)；根据点斜式得切线方程为yyo f So)(%o).01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 0【知识拓展】“函数在点兀=丸处的导数” “导函数”“导数” 三者之间的区别与联系(1) 函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的 改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不 是变量.(2) 导函数：如果函数y=fix)在开区间

4、(d, b)内每一点都 可导，就说/(兀)在开区间(d, b)内可导，这时对于区间(, b)内每一个确定的值兀0，都对应着一个导数f (%)，这样就 在开区间(a, b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫 做沧)在开区间(,b)内的导函数，记作f 或，即f (x)=limAyAx=limAx 一 0沧+心)一心)Ax(3) 导函数也简称导数.(4) 函数y=f(x)在点必处的导数f (羽)就是导函数f W 在点x=a：o处的函数值.即f (%o) =f (x)k=xO.所以求函数 在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算 这点的导函数值.自诊小测1. 判一判（正确的打“ J ”，

5、错误的打“X”）（1）导函数f的定义域与函数/U）的定义域相 同.（X ）（2）直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共 点（ X）（3）函数兀0=0没有导函数.（x ）2. 做一做(请把正确的答案写在横线上)(1) 已知函数沧)在X0处的导数为f (xo)=l,则函数沧) 在X0处切线的倾斜角为45。.(2) 若函数几x)在点A(l,2)处的导数是一1,那么过点A 的切线方稈是一兀+y3=(3) 函数f(x)=x-的导数f (力=2x .rbSMxarcn数学*选修I01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练rbSMxaccnA -数学选修11题型一求切线方程求曲线的

6、过点P的切线时，点P可能不在曲线上, 或P在曲线上但不一定为切点，如/（兀）二在（0, 0）处的切线为）=0,过点P （ 1, 1 ）的切线有人（点 P是切点）、12 （点P不是切点）两条.例1求曲线y=/i)=F + 2x 1在点F(l,2)处的切线方 程.解易证得点尸(1,2)在曲线上，由y=F + 2x1得 Ay = (x+ Ax)3 + 2(x+ Ajc) 1 x3 2x+1=(3x2+2) Ajv + 3jt(Ax)2+(Ax)3.譽= 3/+2+3jtAx+ (Ax)2 .当Ax无限趋近于0时,3x242H-3x-AxH(Ax)2无限趋近 于 3?+2,即f (x) = 3+2,所

7、以f (1) = 5.故点尸处的切线斜率为k=5.所以点尸处的切线方程为y2=5(x 1),即5兀一厂3条件探究将本例中的在点戶(12)改为过0(0,1)，结 果会怎样？解点0不在曲线上，设切点坐标为血，为)由本例知k=f (兀0)= 3卅+2,切线方程为yyo=(3卅+ 2)(x%o)-又丁切线过点0(0,1),1 为=(3分+2)(0xo).又刃)=品+2丸一 1得島=一 1, 即x()= 1,:切线方程为5xy+l=0.01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 0rbSMxarcnA -数学选修11拓展提升利用导数的几何意义求切线方程分两类(1) 当已知的点在曲

8、线上且切于该点时，直接利用导数 求切线的斜率，写出直线方程.(2) 当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出 切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标, 写出直线方程.跟踪训练1已知曲线C： f(x)=x.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程; 求过点(1,1)与沧)=兀3相切的直线.小,(x+Ax)3x3解(1) :f (x) = lim L_圧一(Ax)3 + 3x2-Ax+ 3x-(Ax)2= limAr0心一0AxAxlim (Ax)2 + 3a：2 + 3x-Ax 3x2，Ax 一 001课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练Q A -数学

9、选修11（1） = 3X12 = 3,又几1）=1彳=1， 切线方程为y 1 = 3（兀一 1）, 即 3x_y_2=0.（2）设切点为P（xo，），由（1）知切线斜率为kf（兀0）= 3处， 故切线方程为y=3启（兀一%0）. 又点（1,1）在切线上，将其代入切线方程得1 = 3对（1丸），即 2xq3卅+1=0，2。01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练A -数学选修11解得兀0=1或Xo=.故所求的切线方程为y_ 1 =3(x 1)或 y =#(% 1)， 即 3xy2 0 或 3x4y+1 = 0.01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精

10、练0 Q QrbSMxarcnA -数学选修11题型二利用导数求切点坐标导函数尸/&）是一个变量，而函数在兀0 处的导数/）是一个常数，不是变量.例2过曲线y=f(x)=x2 哪一点的切线，(1) 平行于直线y=4x5?(2) 垂直于直线2兀一6y+5 = 0? 解因为=X2， 亦|、J (、沧+心)一/W肪以/ (x)=hm -兀心一 o(x+Ax)2x= lim 7=2兀，山一0Ax设戶(丸，yo)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y=4x5平行,所以2xo=4,丸=2,为=4,即P(2,4)是满足条件的点， 01课前自主预习02课堂互动探究 03随堂达标自测 04课后课时精练0 (2)

11、因为切线与直线2兀一6y+5 = 0垂直， 一 139所以2xo-= 一1，得丸=一歹0=才(3 9即P2f彳是满足条件的点.rbSMxarcnA -数学选修11结论探究在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角 为 135?解由例题解析过程知f (兀)=2兀， 因为倾斜角为135,所以其斜率为一1.即 2兀0= 一1，得 丸=一2 yo=j，(1 1)即片寺彳是满足条件的点.拓展提升利用导数求切点坐标的步骤(1) 先设切点坐标(丸，为)；(2) 求导函数f (x);(3) 求切线的斜率f (xo);(4) 由斜率间的关系列出关于丸的方程，解方程求必；(5) 由于点(jto，y)在曲线y=/(jr)

12、上，将丸代入求yo得切 点坐标.2701课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 rbA -数学选修11跟踪训练2已知抛物线y=2x2+l,求：(1) 抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45。？(2) 抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy2 = 0?(3) 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3 = 0?解设点的坐标为(丸，为)，贝UA j 2(x+Ax)2 +12x21T = ;= 4兀+2 Ax,AxAx/ f (x) = lim (4x+2Ax) = 4兀，Ar0:寸(兀0)= 4丸(1)抛物线的切线的倾斜角为45。，斜率为tan45 =1,即 f (xo) 4%o

13、 1，得 0=才Q,故 yo=2x a?+=,该fl 9占为一，(2)抛物线的切线平行于直线4xy2=0,斜率为4.即 f (xo) = 4xo=4,得 xQ=l,故 yo=2X12+1 = 3,该 点为(13).01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 0rbSMxarcnA -数学选修11(3)7抛物线的切线与直线x-8y-3 = 0垂直， 抛物线的切线的斜率为8,即 f (%o) = 4%o=8，得兀0= 2,.yo=2X22+l = 9,该点为(2,9).题型三导数几何意义的综合应用例 3 设函数 f(x) =34-ax 9x 1 (t/0),若曲线 y=f(

14、x) 的斜率最小的切线与直线12x-y=6平行，求a的值.解因为Ay =f(xQ+心)一/血)=(兀()+心)3 + a(xo+Ax)? 9(xo + Ax) 1 (+ 9xq-1)=(3%o+2uxq9) Ax + (3%o+t/)(Ax)2 + (Ax)3， 所以爲=3菇+2axo9+(3o+1/) Ax + (Ax)2.#01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 0A -数学选修11所以(xo) lim 丁 =3+2必09，心一0 Ax(A2所以f (xo) = 3 xo+扌2 9刍.因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行， 所以该切线斜率为一12.2所以一

15、9扌=一12,解得 = 3,又“VO,所以a=3.01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 QrbSMxarcnA -数学选修11拓展提升(1) 导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进 行求导.利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜 率的范围等已知条件求解题目.此处常与函数、不等式等知 识点结合.(2) 本题需要根据已知条件求出原函数在刊处的导数 f(丸)并求出其最小值，建立等量关系求出“的值，再根据 a0这一条件对结果进行取舍.跟踪训练3已知点M(0, 1)、F(O,1),过点M的直 线I与曲线y =4兀+4在兀=2处的切线平行.(1) 求直线/的方程；

16、(2) 求以点F为焦点，直线/为准线的抛物线C的方程.3501课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练0 0A -数学选修11线，所以设抛物线方程为x = 2py,贝j|= L p=2. 故抛物线C的方程为?=4y.解因为y *警=x2 492(x+Ax)3 4(x + Ax)+4 x3 + 4兀一 4所以 y 1*=2=0，所以直线/的斜率为0,其直线方程为y=-l.01课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练(2)因为抛物线以点F(0；l)为焦点，以直线y=l为准37rbSMxarcnA -数学选修1101课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测

17、04课后课时精练0 1 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤第一步：求出函数y =f(x)在点x=x()处的导数f (xo);第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-jo=f (xo)(xro)TT注意：若在点血，比：0)处切线/的倾斜角为，此时切 线平行于y轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程, 可根据切线的定义直接得切线方程为2.函数的导数，是对某一区间内任意一点兀而言的，就 是函数冗0的导数f (%).函数y=f(x)在兀处的导数，就是 导函数f (x)在点x=o处的导数值.rbSMxarcn数学*选修I4101课前自主预习02课堂互动探究03随堂达标自测04课后课时精练

18、0 rbSMxarcnA -数学选修111.已知曲线y=f(x)在点Pg几丸)处的切线方程为2x y+l=O,那么()A. f (心)=0 B. f (xo)0 D. f (xo)不确定解析 因为曲线yf(x)在点血，几)处的导数就是切 线的斜率，又切线2xy-1 = 0的斜率为2,所以f (xq)0.2.已知曲线y =f(x) = 2x上一点4(2,8)，则点4处的切线斜率为()A. 4 B 16 0 8 D 2解析Axk=f (2)=応 2(2+g2-2X22=&心一 03曲线y = ?在兀=0处的切线方程为 y=0解析 f (%) = lim0=Axlim心一 0(%+Aa：)2xAxlimAx0(Ax)2+2%-AxAx=2兀，所以y=y在x=0处的切线斜率为0，因此切线方程为y=0.4设函数f(x) = ax+3,若f (1) = 3，则a等于3解析几1+心)几1)Ax01课前自主预习02课堂互动探究03随堂