14知识讲解_指数与指数幂的运算_提高

1、指数与指数幕的运算【学习目标】1. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幕的运算性质(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确 进行根式与分数指数幕的互化；(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算.2. 掌握无理指数幕的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3. 通过指数范围的扩大， 我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4. 通过对根式与分数指数幕的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质

2、.【要点梳理】要点一、整数指数幕的概念及运算性质1 整数指数幕的概念a0丄(aa0,nZ*)2 .运算法则(1)ammna(4)manan, aab要点二、根式的概念和运算法则1. n次方根的定义：若xn=y(n N , n1, y R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 旳；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为五； 零的奇次方根为零，记为W0 0 ；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为 旺;负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为Vq 0.2 .两个等式(1 )当 n1 且 n N* 时，Q a ；a,( n为奇数)| a I (n为偶数)要点诠释：

3、 要注意上述等式在形式上的联系与区别；尤其当根指数取偶数时， 开方后的结果必为非负数，可先 计算根式的结果关键取决于根指数的取值, 写成|a|的形式，这样能避免出现错误.要点三、分数指数幕的概念和运算法则* m为避免讨论，我们约定 a0，n，m N，且m为既约分数，分数指数幕可如下定义:1anmanman(松)m 妤1man要点四、有理数指数幕的运算1 .有理数指数幕的运算性质0, b0,(a ) (ab)当a0，P为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幕的运算性质仍适用 要点诠释：(1) 根式问题常利用指数幕的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幕运算；(2) 根式运算中常出现乘方

4、与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换4/( 4)2(7)2；2 2(3)幕指数不能随便约分.如(4) 4( 4)2.2. 指数幕的一般运算步骤有括号先算括号里的； 无括号先做指数运算.负指数幕化为正指数幕的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幕的形式表示，便于用指 数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2- b2=( a- b) (a+ b), (a b) 2= a2 2ab+ b2, (a b)3= a33a2b+ 3ab2 b3, a3-b3=( a-b) (a2+ab+ b2), a3 + b3=( a

5、+ b) (a2-ab+ b2)的运用，能够 简化运算.【典型例题】类型一、根式例 1.计算：(1) J5 2 亦 vtWs Vo 4/2 ；【答案】2匹;2J2.对于（2）,【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解 则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1) J5 2 & 7 4/3 J6 4 眾=J(何 2品近(歼 +J22 2 2品血)-J22 2 2近(72)2=/2)2J(2 73)2J(2 72)2=| T3Qi+i273|-| 272|=7372+2=22运1(72 1)(72 1)72 1(72 1)(72 1)n次方，再解答，或者用整体

6、思【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全1想来解题.化简分母含有根式的式子时， 将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，_亠72 1的分子、分母中同乘以（J2 1）.举一反三:【变式1】化简：（1）J3 22 g（1 厨#（1 72）4 ；(2) JX2 2x 1 jx2 6x 9(|x| 3)答案】(14;(2)2(13x 1),x 3).。a0 )：类型二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幕形式表示下列各式（式中(1) a2ja ；( 2)a3； (3) Javao511a: a衣3 54 4a4 ； y4【答案1【解析1先将根式写成分数指数幕的形

7、式，再利用幕的运算性质化简即可。2 1a 23 2a 33(a2)(1)(2)(3)a2 yfa12 2a a2233a a31 1(a a勺25a11a亏;1 32 aJaVa解法一：从里向外化为分数指数幕1r36 1 I 2/ 322jx2x1yf1xy2x5 =y4 解法二：从外向里化为分数指数幕。J2 | 362 136 1y_ x y_=(y_ z_3 y_)2X V y x3X V y x323 I 61 12361 11=十(一眞)千=苗0(为计fi 1x3x5=y4man 00并心 0, m, n N*,且n 1)。当所求根式含有多重根号时,【总结升华1此类问题应熟练应用要搞清

8、被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幕写出，然后再用性质进行化简。 举一反三：【高清课堂：指数与指数运算369050例11【变式11把下列根式用指数形式表示出来，并化简(1)站a 72a ；Vx Vx32【答案1 (1) 210a 帀；(2) x3。【变式21把下列根式化成分数指数幕:C1)8?2 ； (2) Ja7a(a0) ； (3)73113【答案】2立；a4 ； b亏；X 5【解析】（1）6872見3 2至722(4)Ja石 Ja a2 Ta22b3 疳 b3 b311b衣;3a4x(w 312X (X5)214X511X53X5例3.计算：(1) (0.0081)143(2) 7

9、3324碉 V 12536)2【答案】3；0； 2【解析】（1）原式= (0.3)103衍)0(X5)3181 0.25(33)V(4) V(3)3I)1（1_3】原式=71/3633 233）=2（能否应用公式）10（3）原式=-5+6+4-（3-【总结升华】（1）运算顺序 举一反三：【变式1】计算下列各式：指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幕.1(1) (1)3 ( 7)080.256(V2- a?41a? 8a3b2Vab24(1【答案】(1)112(2) a【解析】(1)(1)原式=83)1(23)41(23)632 2433112 ;原式1a3 (a8b)1 1 11 (a3)2

10、 2a3b3(2b3)21a?a321a313 (a 8b) a a -1a3j1(a亏3 (2b3)3例4.化简下列各式.2 1 1 1（1）（a3b）备细3 ；1（2）m m m 2【答案】1 ；a2m21m 22(3) (0.027)1m2 ； 0.091250.5279【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算， 字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系; 算.同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对（3 ）具体数字的运算，学会如何简化运（1 ）原式2 1 1 1 1a3 ( %空 a 2b 勺1 _5-66a b1(2)m m1m22(3)(0.027) 3

11、271m 2131m20. 512529=(“0.027)2=0.092举一反三:【变式1】化简y223x2x3【答案】2xy【解析】应注意到原式2(x3)3 (y3)32y31m2|=0.09y22y 3x2之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,2 2(X3)3 (y?)32y?2(x3)22y2(y2h22(x l)22(y于2(xy)2妬xy【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为x1，且不含非正整数指数幕；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数 【变式2】化简下列式子：3 73J2泵(1) 74/226(3) Jx2 2x

12、 1 x3 3x2 3x 1【答案】【解析】（1）原式72(3屆2x(x2(x72(31)1)73)运(3两2(3 43)(3 73) (2) q(418 72)2辰 2418 22 J4 2 灵运(12 / 242 7672(373)3 Vs由平方根的定义得:（3） Q Vx3 3x26(V18)2 218 近(V2)272 3 迈 2 好 72 4/27W2 2/62晶0Jx2 2x 1 |x 1|3x 1 欤X 1)3 x 1(xx 1(xx1)1)【高清课堂：指数与指数运算1 1例5.已知x2 x 23，求2x(x2(x369050 例 4】3322x2 2 x3x 11)1)等仝的值

13、。x 221【答案】13【解析】从已知条件中解出 x的值,1 条件x x1Q x2然后代入求值,3的联系，进而整体代入求值。12xx23x2x2 x 223 (7 1) 33，2 x32x49，13_(xl1x2x1X 2)(x 1x47x1这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与x 1)154547 21345【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后33代换”方法求值。本题的关键是先求x2 x 2及x2 x 2的值，然后整体代入。举一反三：【变式1】（1）已知2x+2-x=a（a为常数），求8x+8-x的值.1丫的值.1x2(2)已知 x

14、+y=12, xy=9，且 xy,求一X：【答案】【解析】(1)83a；写x+8-x=23x+2-3x=(2丁+(2 、)x 3 -x 3(2x(2xx)(2x)2x)( 2x 22x 2 xx)2 3(2 x)2a(a2 3) a(2x32 x)(2x)2 2 2x 2 x (2 x)2 3 2x 2 x3a.1x2 x21 1y2xy2x21 1(X1y)2又；x+y=12 , xy=9 ,1122y2 x2 y11 1 1y2 X至护(x)2(y2)2 (x-y) 2=(x+y) 2-4xy=12 2-4 X 9=108.1(x y) 2(xyf又/ x 0,1x1则(x21则x2/ (x1 2x )x216 ,则x2x 214， (X1,2x )1412 ,例6. (2016甘肃期末)(1)已知3a9