空间角与距离

1、第七节空间角与距离考纲解读1. 掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别 ，弄清他们各自的取值范围。2. 细心体会求空间角的转化和数形结合思想，熟练掌握平移，射影等方法。命题趋势探究异面直线所成角， 线面角， 二面角时高考中考查的热点， 解答与空间角有关的问题时既可用传统法， 又可用向量法。 在新课程标准下， 对立体几何的基本理论知识要求有所降低，因此应用向量这一工具解题更为重要，特别是要熟练掌握利用空间图形的特殊性，构造适当的空间直角坐标系解决问题的方法，并能灵活应用。空间角是立

2、体几何中的一个重要概念， 它是空间图形的一个突出量化指标， 是空间图形位置关系的具体体现，故以高频的考点出现在历届高考试题中，在选择题，填空题及解答题中均有出现。知识点精讲一、 空间角的定义和范围（1）两条异面直线所成角 的范围是（0， ，当 =时，这两条异面直线互相垂直。22（ 2） 斜线 AO 与它在平面 内的射影 AB 所成角 叫做直线与平面所成的角。平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为；如果直线和平面平行或直2线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为0， 2 ；斜线和平面所

3、成的角的范围为(0,).2（3）从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为做 - l-，二面角的范围是0,l ，两个平面分别为 ， 的二面角记（4）一个平面垂直于二面角的公共棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA， OB，则 AOB 叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。二、 点到平面距离的定义点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。题型归纳及思路提示题型 118 空间角的计算思路提示求解空间角如异面直线所成角， 直线与平面所成角， 二面角的平面角的大小； 常用的方法有：（ 1

4、）定义法；（ 2）选点平移法； （3）垂线法：（ 4）垂面法；（5）向量法。一、异面直线所成的角方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解，但要注意两条异面直线所成角的范围是（0， 。2方法二：向量法，设异面直线a 和 b 的方向向量为 a 和 b ，利用夹角余弦公式可求得 a 和 b 的夹角大小 ，且 cos=| cos| a b |。a, b |a |b |例 8.59 直三棱柱 ABC A B C 中，若 BAC=90 ，AB=AC= AA ，则异面直线 BA 与 AC111111所成的角等于（）A.30 B.45 C.60 D.90 分析 通过选点平移法

5、将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余弦定理来求解 .解析如图8-218 所示 ,连接 AB1 ,设 AB1A1BO ,过点 O 作 ODA ODAC1 交BC 于点D, 连 接AD ,故AOD (或其补角)为异面直线 AB 与AC 所成的角,设111111ABACAA1a, ABACAA1a ,则AC12a , OD12aA1B2a12a2 AC12, OA122A D2 B1C12 ,故AOD1 为正三角形 ,AOD 60,即异面直线BA与 AC1 所成的角等于60 ,故选 C.11变式 1如图 8-219 所示 ,在长方体 ABCDA1 BC1 1D1 中 , ABAD

6、1, AA12,M 是棱CC1 的中点 ,求异面直线 A1 M 和 C1 D1 所成的角的正切值 .变 式2如 图8-220 所示 ,在三棱柱 ABC A1 B1C1中, H 是正方形 AA1B1B 的中心, AA22,CH平面 AABB,CH5 ,求异面直线AC 与 A B 所成角的余弦值 .1111111例 8.60 如图 8-221 所示 ,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 ,MD 平面 ABCD ，且 MD =NB， 为 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值分析利用向量法求解异面直线所成的角解析解法一：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz,1依题意 ,得 D

7、(0,0,0), A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E( ,1,0),( 1 ,0, 1), AM ( 1,0,1) ，2所以 NE2NE AM110因为 cos2NE, AM10|NE|AM |522所以异面直线 与 所成角的余弦值为10 。10解法二：对几何体细心观察，正三棱锥B-AN 的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的一角，从这个视角出发，又联系到 MD 平面 ABCD ， ABCD 又恰好是正方形（正方体的一个面），如此分析，应当想到已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理的。如图所示，连接BQ，易知 BQAM，设

8、 BQ NE F，则 NFQ 即为 AM与 NE 所成的角，在正方体BC-QN 中， E 为 BC 中点， NQ，由 BEF NQF，从而NF 2FQ 2NQ210，即为所求。cos NFQ2FN FQ10变式如图所示， 已知正方体 ABCD A BC D，点 是正方形 BCC B111111的中心，点 是棱 AA1 的中点，设 E1 ,G1 分别是 ，在平面 DCC1D1 内的正投影。求异面直线 E1G1 与所成角的正弦值。变式2 （ 2012 上海理19（ 2）如图8-225所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD ,E是PC的中点。已知AB=2,AD= 22 ,

9、PA=2. 求异面直线BC与AE所成的角的大小.二、直线与平面所成的角方法一 :( 垂线法 )直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上一点作出平面的垂线,得到垂足 ,而射影直线就通过斜足与垂足,因此作出平面的垂线是必要的一步 .具体步骤是 : 先作出该角 ; 在直角三角形中求解 .方法二 :( 向量法 ) 直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角 .如图 8-226 所示，设直线l 的方向向量为 l1 ，平面 的法向量为 n ，直线 l 和平面 所成的角为 ，则 + =,或 -=,因为 的取值范围是 0, ，所以222l1 n.sin |

10、cos l1, n | l1 | n |方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离d，再求出此点与斜足间的距离 l,设直线和平面所成角的大小为 ，则 sind.l例 8.61 如图 8-227 所示， 二面角l的大小是60， 线段 AB, Bl ，AB 与l 所成角为 30，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是.分析 作出直线 AB 在平面 的射影，射影与 AB 所成的角即为 AB 与平面所成的角，再求出其正弦值 .解析如图 8-228 所示 ,过点 A 作 AH 于点 H ，过点 H 作 GH l 于点 G,连接 AG，由三垂线定理得l AG,故 AGH 为二面角l的平面角，

11、得 AGH =60，不妨设 AG=2，则 AH=3 ,HG=1, 又 AB 与 l 所成角为30，故24 ，在 RtABH 中，ABsin 30AH33sin ABH，故 AB 与平面 所成的角的正弦值是.AB44变式 1 如图 8-229 所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1BC11D1 中，点 E 是 BC1 的中点. 求 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值 .变式 2 如图 8-230 所示，在三棱锥V-ABC 中， VC底面 ABC，AC BC，点 D 是 AB的中点，且 AC=BC= ， VDC = (0) .当变化时 ,求直线 BC 与平面 VAB 所成角2的取值范围 .

12、变式 3 如图 8-231 所示 ,在 RtAOB 中， AOB=,斜边 AB=4,Rt AOC 可以通过 Rt6AOB 以 AO 为轴旋转得到，且二面角B-AO-C 是直二面角，动点D 在斜边 AB 上，求 CD 与平面 AOB 所成角正切的最大值 .三、二面角的平面角求二面角的平面角的方法有：(1) 根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线， 两条垂线所成的角即为二面角的平面角； （ 2）利用三垂线定理及其逆定理； （ 3）当二面角由两个等腰三角形构成时， 利用底边的额两条中线； （4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影

13、定理S射S 斜 | cos| ，其中为二面角的大小;(6) 利用空间向量求解二面角，转化为两个平面的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量n ， n 的夹角与二12面角的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。例 8.62 如图 8-232所示，在直三棱柱ABCA1 B1C1 中，侧面 A1 BC侧面 A1 ABB1 。若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为，二面角 A1 BCA 的大小为，是判断与 的大小关系，并予以证明 .分析 利用定义找出线面角与二面角的平面角，并比较其大小.解析 如图 8-233所示 ,过 A 在平面 A ABB 内作 AD A

14、B 于点 D，则由平面 A BC 侧1111面 A1 ABB1 ，且平面侧面 A1ABB1= A1B ，得 AD侧面 A1BC ，连接 CD,则知 ACD = ,由 BC AA1 ，BC AD,AA1 AD =A,AA1 , AD平面 A1 AB ，得 BC平面 A1 AB ，故 BC A1B ， BC AB.所以 ABA1 是二面角 A1BCA 的平面角，即 ABA1 =，于是在 RtADC 中， sinADsinADAB，于是在RtADB中，.,AC不难知AC 因此ABsinsin ,又 0,所以.2变式1 如图8-234OA=OB=OC= 1,求二面角所示 ,在四面体OABC 中， OC

15、 OA, OC OB, AOB=120，且O-AC-B 的平面角的余弦值.变式 2 如图 8-235 所示 ,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,SD平面 ABCD ，SD= 2a ，AD =2（aa0）。点 E 是 SD 上的点，且DE =a(02) 。设二面角 C-AE-D 的大小为，直线 BE 与平面 ABCD 所成角为，若 anttan1，求值。变式 3如图 8-236 所示，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， CE AC，EFAC,AB2,CEEF1 二面角A-BE-D的大小.,例 8.63 如图 8-237 所示 ,在长方体 ABCD-A1 B1C1D1

16、中，E，上的点，F 分别是 BCCC1CF=AB= 2CE，AB:AD: AA1 = 1:2:4,求二面角 A1ED F 的正弦值 .ABEC1解析 如图 8-238 所示 ,连接 AC,设 AC DE=N，因为CD，BC2所以 Rt DCE Rt CBA，从而 CDE= BCA，又由于 CDE+ CED= 90，故 BCA+ CED= 90故 AC DE, 又 DE CF ，ACCF=C ，则 DE平面 CFN，得 DE FN ，同理得 DE A1 N，故 A1 NF 为二面角 A1 ED F 的平面角，易知， Rt CNE Rt CBA ，所以 CNECBCAC又 AC5 ，所以 CN5

17、,5在 Rt CNF 中， NFCF 2CN 230 ,5在 RtA AN 中， A NAN 2AA24 30,1115连接 AC, A F ，在 Rt ACF中， A1FAC1 12C1F 214 ，11111在 A1 NF 中， cosA1NFA1N 2FN 2A1F 222A1N FN3所以 sin5A15A1NF =，所以求二面角ED F 的正弦值为.33变式1 如图8-239所示，四棱锥S-ABCD中 ，SD平面ABCD,ABDC,AD DC ，AB=AD =1，DC =SD=2， E 为棱SD上的一点，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。变式 2 如图 8-240 所

18、示，已知正三棱柱ABC A1 B1C1 的各棱长都是4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1 上，且不与点 C 重合，设二面角C-AF-E 的大小为，求 tan 的最小值。变式 3 如图 8-241 所示，在三棱锥 P-ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上 .若 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角 B-AP-C 的大小 .例 8.64 如图 8-242 所示 ,已知四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD 是棱形， PA平面 ABCD ，F 分别是BC，PC 的中点，求二面角E-AF-C 的余弦值 .PA=AB=

19、2， ABC=60， E分析 利用空间向量法求解二面角的平面角。解析 有 AE，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图8-243 所示的空间直角坐标系 A-xyz，又 E ，F 分别是BC ， PC 的中点，所以 A(0,0,0), C( 3,1,0), P(0,0,2) ，3131。设平面E( 3,0,0), F (, ,1) ，所以 AE ( 3,0,0), AF (,1), AC ( 3,1,0)2222AEF 的法向量为m(x1, y1, z1) ，m AE03 x1 =02，则，即m AF 03 x + 1 y +z =021112取 z1, 则y 2.所以m（，）。10

20、,2 -1m AC03x2 +y 2 =0设平面 AEC 的法向量为 m(x2 , y2 , z2 ) ，则3 x1 y。m AF 0+z =022222取 x21 ，则 y23, z20, 所以 n ( 1, 3,0)。设二面角 E-AF-C 的大小为，则cos=cosm, nm n15| m | n |.又二面角 E-AF-C 为锐二面角，故所求二面角的余弦5值为15 。5变式 1如图 8-244 所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB =60，AB= 2AD,PD 底面 ABCD 。若 PD=AD ，求二面角 A-PB-C 的余弦值 .变式 2 如图 8-

21、245 所示，在四棱锥P-ABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 为棱形，AB=2 ，BAD600 ,当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求PA 的长。变式3如图8-246所示，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,ACDACB600 ,F 为PC的中点，AFPB .(1) 求 PA 的长；(2) 求二面角 B-AF-D 的正弦值。变式 4 如图 8-247 所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心，OA1 平面 ABCD ， AB AA12 ,(1) 证明： A1C 平面 BB1D1 D ;(2) 求平

22、面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角的大小。题型 119点到平面距离的计算思路提示求解点到平面的距离，常用方法有:(1) 定义法，作出点到免的垂线， ，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角三角形来求解。(2) 转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点A 到平面的距离转化为与其相关的点 B 到平面的距离。(3) 向量法，点 P 为平面外一点，点 Q 为平面上的任一点， n 为平面的法向量，点 P到平面的距离 d| PQn |。| n |例 8.65 如图 8-248所示，在三棱锥 P-ABC 中， AC=BC=2,ACB90 0,AP=BP=AB,PCAC ,求点 C

23、 到平面 PAB 的距离。分析解析利用定义法直接作出点如图 8-249 所示，取因为 AC=BC, 所以 CDC 到平面 PAB 的距离。AB 的中点 D，连接 CD,PD 。因为 AP=BP ，所以 PDAB 。又 PDCDD ,所以 AB平面 PCD，ABAB ，又面 APB，所以平面PAB面 PCD。过C作CHPD，垂足为H 。因为平面PAB面 PCDPD,所以 CH平面 APB 。所以 CH 的长即为点 C 到平面 PAB 的距离。由于 AB平面 PCD，PC 面 PCD，所以 PCAB 。又 PC AC, AC ABA ,故 PC 平面 APB, 又 DC面 ABC. 所以 PCCD

24、 ，在直角三角形PCD 中， CD= 1 AB2, PD3PB6.22所以 PCPD 2CD 22 .所以 CHPC CD2 3.PD3评注这里直接作出点C 到平面 APB 的垂线 CH（ H 为垂足），CH 的长即为所求点面距离。变式1 如图8-250 所示，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD是边长为1 的棱形，ABC450 ， OA 底面 ABCD ,OA=2, 求点 B 到平面 OCD 的距离。变式 2 如图 8-251 所示，四棱锥 P-ABCD 为矩形， PA底面 ABCD, PA AB6 ，求直线 AD 与平面 PBC 的距离。例 8.66 如图 8-252 所示，正三棱柱 A

25、BC A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点，求点 C 到平面 A1BD 的距离。分析利用等体积转化法求点 C 到平面 A1BD 的距离。解析在三角形 A1BD 中， BD= A1D=5,AB 2 2,SA BD6, SBCD1。在三棱柱中，11A1 到平面 BCC 1B1 的距离为3 。设点 C 到平面 A1BD 的距离为 d。由VABCDV C ABD得111 SBCD31 S A1 BD d ,解得 d2，所以点 C 到平面 A1BD 的距离为2 。3322评注本题利用了等体积法转化，该方法是求解点到面距离的重要方法。变式1如 图8-253所示， 在四棱锥P-ABCD中

26、 ，PD 底面 ABCD, PD DCBC1, AB / CD,BCD900 ,点 A 到平面 PBC 的距离 .变式 2如图 8-254 所示，三角形 BCD 与三角形 MCD 都市边长为2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD ， AB面 BCD ， AB2 3 ，求点 A 到平面 MBC 的距离。例 8.67如图 8-255 所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， 且 AC=2 ，ACB90 0,侧棱 A A1=2,D,E 分别是 CC1 与 A1B 的中点。求点 A1 到平面 AED 的距离。分析利用向量法求解点到平面的距离。解析以点 C 为坐标原点， 建立空

27、间直角坐标系 C-xyz 。如图 8-256 所示， A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),E(1,1,1), A1(2,0,2).所以 DA(2,0, 1), DE(1,1,0) ,设平面的法向量为 n ( x, y, z),由 nDA,nDE 得 x2x yz00 , 取 n(1, 1,2), 又 DA1( 2,0,1) ，所以点 A1 到平面 AED 的距| DA1 n |42 6离 d6.| n |3变式 1如图 8-257 所示，已知 ABCD A1B1C1D1 是底面边长为1 的正四棱柱， O1 为 A1C1与 B1D1的交点，若点C 到平面 AB 1D1 的距离为

28、4 ，求正四棱柱ABCD A1B1C1D1 的高。3变式2如图8-258所示，四棱锥P-ABCD中 PA底面 ABCD, 四边形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,CD2,CDA450,AB=AP。（ 1）若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 300 ，求线段 AB 的长；（ 2）在线段 AD 上是否存在一个点 G，使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离相等？说明理由。最有效训练题37（限时 45 分钟）1.正方体 ABCD A1B1C1D 1 中 AB=A 1A=2,AD=1,E 为 CC1的中点，则异面直线BC1 与 AE所成角的余弦值为（）A. 10B.30C. 215D.3 10101010102.如图 8-259 所示，在正三棱柱ABC A1B1C1 中， AB =A 1A ，则 AC 1与平面 BC C1 B1 所成角的正弦值为（）A.2B.15C .6D . 625433.已知两