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1、,2.4 分块矩阵,一、引言,对于行数和列数较大的矩阵，为了简化运算，经常采用,分块的方法，使得对大矩阵的运算化成小矩阵的运算。,本节的基本要求,分块的难点,(1) 知道什么是分块；,(2) 对于已经分块的矩阵，知道如何运算；,(3) 掌握对角块阵与三角块阵的一些性质。,如何根据具体问题进行恰当的分块，以达到简化运,算的目的。,二、矩阵的分块,将一个矩阵用若干条纵线和横线分割成许多个小矩阵，,每个小矩阵称为子块( 或者子矩阵 ) .,定义,以子块为“元素”,的矩阵称为分块矩阵 .,引例,的要求选择适当的分块方式。,例,(1),(2),设,三、按行分块与按列分块,(1) 按行分块,(2) 按列分

2、块,则,四、分块矩阵的运算,设 A 与 B 为同型矩阵，且采用完全相同的分块方式：,1. 加法,四、分块矩阵的运算,2. 数乘,设 为(实)数，A 为分块矩阵：,则,四、分块矩阵的运算,3. 乘法,设 A 为 阶矩阵， B 为 阶矩阵，分块如下：,其中,则,则,解,则方程组可写成,即,如果把系数矩阵 A 按列分块,由 有,利用克莱姆(Cramer)法则即可求得,4. 转置,设,则,都可以简单地转化为对子块进行操作；,简单地对应到子块求逆。,但矩阵的求逆不能,四、分块矩阵的运算,1. 对角块矩阵,其中 Ai ( i = 1, 2 , , s) 均为方阵。,定义,设 A 为方阵，若 A 的分块矩阵只在主对角线上有非零,子块，其余的子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，,则称 A 为对角块矩阵(或准对角矩阵)，,五、几个特殊的分块矩阵,即,1. 对角块矩阵,五、几个特殊的分块矩阵,性质,(2) 若 则 且有,(1),即对角块矩阵的逆矩阵仍为对角块矩阵。,解,所以,1. 对角块矩阵,五、几个特殊的分块矩阵,2. 上(下)三角块矩阵,其中 Ai i ( i = 1, 2 , , r) 均为方阵。,性质,(2) 上(下)三角块阵的逆矩阵仍为上(下)三角块阵。,(1

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