毕业设计（论文）活动轮廓模型在医学图像处理中的应用

1、论文题目：活动轮廓模型在医学图像处理中的应用姓 名： 摘 要 计算机图像分割在医学图像处理中占有越来越重要的位置。分割后的图像存在大量的应用，例如：组织体积量化，诊断，病灶确定，解剖组织研究，医疗规划，功能图像数据的局部体积校正，以及计算机集成化手术。医学图像在诊断和疾病治疗中的日益重要的作用提出了一个挑战性的问题，那就是计算医学图像解剖组织的精确的几何模型。处理这种问题的一种比较有前途的方法是使用变形模型。这种有力的模型在分割、可视化、配准和解剖组织跟踪中是很有效的，因为其开发了图像数据的约束（自底向上）和组织的位置、大小和形状的先验知识（自顶向下）。而且，变形模型高度支持直观的交互机制，从

2、而允许医学科学家和工作者将他们的经验带到图像解析工作中。 本论文在医学图像分割和分析中提出、发展和运用一种新的离散变形模型。这种新的变形模型以仿射单元分解（acd，affine cell decomposition）结构来定义，这种结构理论上可以扩展传统变形模型的能力使其有拓扑自适应性。基于acd的变形模型可以用来提取、重建和分析医学图像中非常复杂的生物学组织。 acd结构组合了一种新的和一种原始的重新参数化算法，对多分辨率变形曲线、曲面和实体模型“流入”或“增长到”带有复杂的几何和拓扑结构的组织对象产生了一种简单但极好的而且有力的机制，而且可以使它们的形状自适应性的遵循对象边界。可以动态的生

3、成或消除多个模型实例而且可以无缝的分裂或合并多个模型实例以适应对象的拓扑结构。基于acd的模型保持了传统变形模型的基于物理的参数化公式，允许其以能量和限制力的形式加入先验解剖知识，同时提供直观的交互能力。在进一步，通过定义acd结构模型，“复杂的”几何、拓扑和全局形状限制可以有效的实现。这些合并的属性导出了一种将稀疏或有噪声的局部图像特征连接到全局的一致的解析的对象模型的强壮的一流的高度自动化的方法。关键词：变形模型 图像分割 仿射单元分解abstractcomputerized image segmentation has played an increasingly important r

4、ole in medical imaging. segmented images are now used routinely in a multitude of different applications, such as the quantification of tissue volumes , diagnosis , localization of pathology , study of anatomical structure , treatment planning , partial volume correction of functional imaging data ,

5、 and computer-integrated surgery .the increasingly important role of medical imaging in the diagnosis and treatment of disease has opened an array of challenging problems centered on the computation of accurate geometric models of anatomic structures from medical images. a promising approach to tack

6、le such problems is the use of deformable models. these powerful models have proven to be effective in segmenting, visualizing, matching and tracking anatomic structures by exploiting (bottom-up) constraints derived from the image data together with (top-down) a priori knowledge about the location,

7、size and shape of these structures. furthermore, deformable models support highly intuitive interaction mechanisms that allow medical scientists and practitioners to bring their expertise to bear on the image interpretation task.this thesis proposes, develops and applies a new class of discrete defo

8、rmable models for the segmentation and analysis of medical images. this new class of deformable models is embedded and defined in terms of an affine cell decomposition (acd) framework-a theoretically sound framework that significantly extends the abilities of traditional deformable models, enabling

9、topological flexibility among other features. acd-based deformable models can be used to extract, reconstruct and analyze even the most complex biological structures from medical images.the acd framework combined with a novel and original reparameterization algorithm creates a simple but elegant and

10、 powerful mechanism for multiresolution deformable curve, surface and solid models to “flow” or “grow” into objects with complex geometries and topologies, and adapt their shape to conform to the object boundaries. multiple instances of the models can be dynamically created or destroyed and can seam

11、lessly split or merge to adapt to object topology. acd-based models maintain the traditional parametric physics-based formulation of deformable models, allowing them to incorporate a priori anatomic knowledge in the form of energy and force-based constraints and provide intuitive interactive capabil

12、ities. furthermore, by defining the models in terms of the acd framework, “hard” geometric, topological and global shape constraints can be efficiently realized. these combined properties lead to a robust, elegant and highly automated method of linking sparse or noisy local image features into a com

13、plete, consistent and analytical object model.keywords：deformable models image segmentation affine cell decomposition致 谢本论文得以顺利完成首先要感谢前人在医学图象处理和变形模型领域的大量的卓越的研究成果。没有这些研究基础，本论文无法达到预期的目的。特别要感谢我的指导老师潘振宽教授，他在专业知识和学术研究方法方面都给予我无微不至的指导。潘院长渊博的学术知识、严谨的治学作风、敏锐的科研眼光、活跃的学术思维，给我留下了深刻的印象。尤其是他对所研究问题整体的把握以及开阔的思路，使我在

14、学业上受益非浅，将对我今后的工作、学习产生深远的影响。在此，对潘院长的指导致以深深的感谢。也要感谢一起生活了三年的舍友，在生活和学习上给了我很大的帮助，从相互交流中得到了许多值得珍惜的宝贵东西。三年硕士生活的寂寞与艰辛也理不开家人的理解、支持与鼓励，特别是我的父母，不然我难以集中精力完成我的论文。不能一一列举，感谢所有帮助过我的老师和同学。目 录摘 要1abstract2致 谢3目 录4第一章 引言51.1问题叙述61.2基于acd的变形模型71.3论文组织7第二章 参数变形模型理论82.1 参数变形模型的能量最小公式82.2 参数变形模型的动态力公式102.3 外力设计102.3.1 多尺度

15、高斯势力102.3.2 压力112.3.3 距离势力112.3.4 动态距离力112.3.5 交互力122.4参数变形模型的数值实现132.5 结论15第三章 梯度矢量流变形模型163.1 参数变形模型广义力平衡方程163.2 梯度矢量流（gvf）变形模型173.2.1 边缘映射173.2.2 梯度矢量流（gvf）183.3 梯度矢量流变形模型的数值实现183.4 gvf变形模型在医学图像分割中的应用203.4.1 gvf变形模型与传统方法的比较203.4.2 人体小腿肌肉图像分割213.4.3 人体胸腔图像分割223.4.4 人体心室图像分割233.5 结论24第一章 引言医学图像技术的快速

16、发展和传播在医学界引起一场革命。医学图像允许科学家和医师以非入侵的方式察看人体从而收集挽救生命的信息。最近几年，医学图像的任务已经延伸到简单的可视化和解剖组织的研究。其已经成为一种医疗规划和模拟、手术导航、规划放疗和跟踪疾病发展的工具。例如，探知解剖组织详细的形状和结构可以使医生在外科手术前制定一个到达目标组织的最佳的路径。在放射性治疗中，医学图像允许传送一定量的防射线到肿瘤处而尽量减少对健康组织的间接伤害。 随着医学图像在医疗诊断和疾病治疗中的作用日益显著，在计算机的辅助下从医学图像中提取有用的临床信息已经成为医学图像分析领域中富有挑战性问题。这些信息是ct，mr，pet所包含的解剖组织信息

17、或其他特征。尽管现代成像设备提供了内部组织的特别的视点，但是使用计算机精确地有效地量化和分析内部组织还很有限。为了支持生物医学的研究和诊断、放射治疗以及手术等临床行为，必须有效地提取精确度的可重用的定量的数据。从医学图像中分割组织而且重建这些组织的紧凑的解析的表示是很困难的，这些困难是基于数据集的绝对大小和感兴趣的解剖形状的复杂性和可变性。此外，采样数据的典型的缺点像人工采样误差、空间混淆或噪声可能引起结构边界的模糊和不连续。挑战就是提取同一组织的边界元素同时将这些元素综合成一个完整的一致的组织模型。传统的低级图像处理技术仅仅考虑局部信息，因此在综合过程中作了不正确的假设因而产生了不合理的对象

18、边界。结果，这些自由模型技术经常需要相当数量的专家干预。而且，分割对象的后续分析和解释被由大多数图像处理操作产生的像素级或体素级的组织表示法所干扰。一个有前途的且正处于兴盛的关于计算机辅助医学图像分析技术的研究就是变形模型的使用。在这些基于模型的技术中，变形模型提供了一种图像分析的独特的有利的方法，其综合了几何、物理和逼近理论。这种连续的几何模型将对象边界看作一个单独的连通结构，因此保证了对象的连通性。变形模型利用对象形状的先验知识来约束分割问题，模型固有的连续性和光滑性可以补偿对象边界中的噪声、缺口和其他不规则的东西。另外，模型的参数表示法提供对象形状的紧凑的解析的描述。最后，变形模型高度支

19、持直观的交互机制，也就是在需要的时候允许医学专家和工作者将他们的经验应用到基于模型的图像解释工作中。这些合并的属性导出了一种键壮的一流的高度自动化的方法，这种方法将稀疏或有噪声的局部图像特征连接到全局的一致的解析的对象模型中。 本论文在医学图像分割和分析中提出、发展和运用一种新的医学图像分割和分析变形模型。这种新的变形模型开发了图像域的一种仿射单元分解（acd，affine cell decomposition），这种结构理论上可以扩展传统变形模型像变形轮廓或snakes1和变形表面2，3的能力。仿射单元分解将图像域划分成凸多面体的集合，这种结构中嵌入的变形模型允许模型提取和重建非常复杂的生物

20、学组织。acd结构加入了一种新的重新参数化算法，对多分辨率变性曲线、曲面和实体模型“流入”或“增长到”带有复杂的几何和拓扑结构的组织对象产生了一种简单但极好的而且有力的机制，而且可以使它们的形状自适应性的遵循对象边界。模型形状适应性或变形有一物理公式控制。acd结构使模型保持经典变形模型的传统属性像用户交互和通过能量函数和力函数加入约束，同时克服他们的局限性。1.1问题叙述解剖组织的分割将原始图像点集划分成相应组织的子集是大多数图像分析任务像形状分析、可视化、配准、分类和运动跟踪的必要的第一步。这些任务通常需要原始图像上的解剖组织成为其形状的紧凑的、解析的描述。一个很基本的例子是心脏特别是心脏

21、图像中左心室（lv，left ventricle）的分割。左心室的分割和重建是处理诊断信息像排出率、心室体积比率、心脏输出量和提供室壁厚度信息的室壁运动分析等的先决条件4。 医学图像的人工分割的劳动量很大而且很费时间。因此，半自动最后达到全自动化的技术是期望的目标。增加自动化程度不仅可以减小临床医师工作方面的劳动强度，而且可以提高效率、精度，最重要的是分割的可重用性。另一方面，既然医学图像的不正确地解释是无法接受的，那么成功的分割技术应该支持直观地、有效的交互向导或者可以由医学专家编辑。 基于这种动机，我们的目标就是扩展经典变形模型像snakes的能力，提高其性能。提高其自动化的程度，而同时还

22、保持其所有的传统优点。一个要保持的重要的属性就是其设计能量函数和力函数来约束及交互引导模型的能力；换句话说就是加入或应用先验知识的能力。要克服的主要局限性是： 1、snake和其他变形模型对初始位置很敏感。经典的snakes设计为交互模型，通常需要必须将其放得很靠近目标对象的边界以保证好的结果。在变分模型表达式中使用的外能函数是由多个局部极小值的非凸函数。此外，不能保证是全局解的梯度下降算法使能量最小化中使用的最普遍的方法。结果，snakes能停在局部极小值以至于不能正确描述对象边界。2、感兴趣对象的拓扑结构必须提前知道，因为传统变形模型是参数化的，而且没有附加机制是不能处理拓扑转化的问题的。

23、3、snakes的内能约束、弧长和曲率最小化限制了其几何适应性，干扰其描述长的像试管样的形状或者有显著凸起的形状。大多数变形模型的能量函数依赖于其参数化形式而不是直接与对象的几何形状相关。新的参数化能任意改变模型的能量。4、变形模型在能量最小化的过程中能被吸引到虚假的图像特征处。这在本质上是因为基于边界的模型像snakes的局部特征。此外，即使使用全局能量最小化方案，也可能出现snake的平衡与对象的真实边界之间没有关系。最后，使用这种局部基于边界的模型很难完成对象形状的全局分析。加入全局对象形状的先验知识对有噪声的医学图像的分割和分析是必要的。这些组合的因素最终限制了经典变形模型对医学图像的

24、分割和分析可以达到的有效性和自动化程度。1.2基于acd的变形模型 大多数经典的变形模型是参数化模型，其参数在最初定义，在整个变形过程中不能自动改变。如果一个对象的拓扑结构是固定的而且预先知道，同时几何形状简单（例如紧凑而且是凸的），这样的模型或许是最合适的，因为他们能提供很大的约束。另一方面隐性模型，像5，6，7 提出的公式在其水平集描述中提供拓扑适应性和几何适应性。他们很适合恢复有复杂形状和未知或复杂拓扑结构的对象。不幸的是，隐性模型不像以数学公式表示的参数模型那么方便应用交互或由专业用户和高层控制机制指导。 在本论文中改善参数变形模型使其拥有隐性表示法的能力。其是通过使用迭代的仿射单元单

25、纯形或网格自动地有效地在变形过程中重新参数化模型。也就是，将仿射单元分解结构嵌入传统参数snakes模型一种基于代数拓扑学的算术上合理的分解方法。这种结构可以使模型有效而且有力的完成保持和snakes有关的传统属性，像用户交互和通过能量函数和力函数加入约束，同时克服前面描述的许多局限性。使用网格来迭代的重新参数化模型允许它进入复杂的形状和在需要的时候改变其拓扑结构。模型的许多连通的成分可以动态的产生或消除，或者可以无缝的分裂和合并。本论文的下一章描述了基于acd的变形模型的这些特征和许多其它可用来证明这种方法能力的特征。1.3论文组织第二章回顾了经典参数变形模型的基本理论与方法，包括参数变形模

26、型能量最小公式、外力设计、数值实现。第三章介绍梯度矢量流变形模型理论及其与传统参数变形模型方法的比较，得出梯度矢量流变形模型的优点。第四章引入了使用图像域的仿射单元分解来迭代的重新参数化变形轮廓模型和完成拓扑结构变换的思想，并给出了具体应用实例。第五章总结本论文，提出将来的研究方向第二章 参数变形模型理论在本章，首先介绍了参数变形模型的能量最小公式，并对变形模型及其参数赋予了现实的物理意义。接着介绍了参数变形模型的动态力公式。尽管两者得出类似的结果，但前者的优点是其解满足最小值原理，而后者的优点是可灵活地使用多种类型外力。然后给出了几种能有效地将变形模型引向所期望的图像特征且已被广泛使用的外力

27、。最后从值得一提的是，尽管本章主要介绍2d变形模型（即变形轮廓），但在此讨论的原理亦可用于3d变形模型（即变形曲面）5, 8。2.1 参数变形模型的能量最小公式变形轮廓能量最小公式的基本前提是通过使其内能和势能的加权和最小来确定参数化曲线。内能决定了轮廓的扩张或光滑程度，势能定义于图像区域，且在对象边界的图像强度边缘处达到极小值。对总能量取最小值得到内力和势力。内力使得曲线保持在一起（弹性力）且使曲线不过度弯曲（弯曲力）。外力将曲线引向目标对象边界。为找到对象边界，首先在图像区域初始化参数曲线，然后在两力的作用下，将其移动到势能最小点。在数学上传统的snakes是定义在图像平面的曲线：，它在图

28、像空间中运动以最小化下面的能量函数： (2.1)其中，第一项为内能泛函，定义如下： (2.2)其一阶偏导数阻止曲线伸展，使得模型类似弹性系统。其二阶导数阻止曲线弯曲，使其行为类似刚性杆。权参数和分别用于控制模型扩张和弯曲的强度。调整轮廓的张力，调整轮廓的刚度。在实际应用中，和通常取常数。若为零，则该点不连续；若为零，则存在一个曲率断点，即角点。(2.1)式第二项为势能泛函,通过对势能函数沿轮廓积分计算。 (2.3)势能函数由图像数据导出，在对象边界处及其它感兴趣特征处取较小值。给定灰度值图像，并将其看作连续位置变量的函数，可设计使轮廓向阶梯边缘移动的典型的势能函数： (2.4)其中,为正的权参

29、数,为具有标准差的两维高斯函数，为梯度算子，*为2d图像卷积算子。如果期望的特征为线，那么合适的势能函数定义如下： (2.5)其中,为权参数，正值用于在白背景上确定黑线，负值用于在黑背景上确定白线。对边缘和线的势能，增大可扩大其吸引范围。但较大的可引起边界位置的偏移，导致不精确的结果。按照变量积分理论，最小化能量函数的轮廓必须满足下面的euler_lagrange方程： (2.6)为洞察变形轮廓的物理性态,可将(2.6)式看作如下力平衡方程： (2.7)其中，内力为： (2.8)势力为: (2.9)内力阻止模型的伸展和弯曲，势力将轮廓拉向理想的对象边界。在本章，我们将力定义为高斯势力，由(2.

30、4)式和(2.5)式的势能函数导出。为求解方程（2.6），通过将视作s与时间t的函数即，从而使变形模型成为动态模型。然后，将（2.6）式记为： (2.10)（2.10）式左边的系数的选取，使得左右两边单位一致。当稳定后，上式左边为零，得到方程（2.6）的解。 通过能量最小化来逼近所提取的特征有很大优越性，但是，由于能量函数的非凸性，存在多个局部极小值，因而模型的初始位置需要靠近目标的轮廓边界；因内力的抵抗作用，模型不能处理尖角、深凹、狭长分叉等形状。许多研究者提出新方法改进其中的一个或多个方面，见本章2.3节。2.2 参数变形模型的动态力公式在2.1节中，首先将变形模型定义为静态模型，然后通过

31、引入人工变量t对能量求极小值。但有时应用力公式直接从动态模型建立变形模型更方便。这种公式允许使用更多种类的非势力外力，即不能写成势能函数负梯度的力。根据牛顿第二定律，轮廓的动力学必须满足： (2.11)其中,为具有质量单位的系数，是阻尼力，定义为，为阻尼系数。在图像分割处理中，通常被置为零，主要原因是惯性项可使得轮廓跨越弱的边缘，无惯性项的变形模型动力学方程为： (2.12)内力定义同式（2.8）。外力可以是势力或非势力。但非势力不能由上节的能量变分公式得到。通常可将外力表示为不同力的迭加： (2.13)其中，为外力的数目。上述迭加公式使得可将外力分解为多个更易使用的力。例如，我们可将外力分解

32、为高斯势力和压力，这将在2.3节介绍2.3 外力设计为了解决变形模型对初始化位置敏感问题和不能处理图像深凹口问题，许多研究者提出了改进方法，其基本思想是：当图像能为零时，对模型施加一个常力或者自适应力，平衡内力所固有的向内收缩趋势，强制性使模型趋向目标，就可允许初始化模型远离目标。此外，改变能量场，增加力的作用距离或者改变力的指向，使模型处于含有目标特征信息的场力的控制域内，也可使模型向所希望的目标特征拟合。本节，我们给出几种用于变形模型的外力，这些外力既可用于变形轮廓也可用于变形曲面。2.3.1 多尺度高斯势力当使用高斯势力时，为了使变形模型精确地跟踪对象边界，必须取小值。其结果是，高斯势力

33、仅能将模型吸引到初始化轮廓附近的对象边界。为了改进该问题，terzopoulos, witkin & kass1，3提出，在保持边界定位精度的同时，应用不同尺度的高斯势力拓宽模型的吸引范围。其基本思想是首先应用较大的以产生在对象边界附近具有较宽凹谷的势能函数。较粗尺度的高斯势力将变形轮廓或曲面在大的范围内吸引到所期望的对象边界。当轮廓或曲面达到平衡位置时，降低，以使模型在更精细的尺度上跟踪对象边界。该方法有效地拓宽了高斯势力的吸引范围。其弱点是，目前尚未有如何定义变化的理论方法。现有的专用方法往往导致不可靠的结果。2.3.2 压力cohen9提出了应用压力和高斯势力一起增大吸引范围的方法。该压

34、力可使模型扩大或缩小，因而不再要求将模型初始化在所期望的对象边界附近。应用压力的变形模型又称为气球（balloon）。压力定义为： (2.14)其中，为模型在点向内的单位法向量，为常值权参数，其符号由用户根据是扩大或缩小模型作出选择。最近提出了依据空间位置变化定义符号的方法，该方法依据区域信息和模型与所期望对象的相对位置（内侧或外侧）10,11。值决定了压力强度。的选择必须慎重，在重要边缘压力的值必须略小于高斯势力，但又须足够大以使模型能够跨越弱的或模糊边缘。当模型变形时，压力使得模型扩大或缩小直到高斯力阻止模型变形为止。应用压力模型的缺点是气球力的方向选择不是智能化的,要求初始模型全部位于目

35、标的内部或外部，而且这种方法会导致变形模型自我交叉形成多环12。2.3.3 距离势力扩大吸引范围的另一个方法是cohen & cohen13提出的用距离映射定义势能函数的方法。每个像素点距离映射的值通过计算该像素点到最近边界点的距离得到，可以采用euclidean距离14或chamfer距离15。通过定义基于距离映射的势能函数，我们可以得到具有较大吸引区域的势力场。不过，距离映射是在像素点与最近边缘点之间建立关系，邻近的边缘有更大的引力，所以不能驱动模型收敛到深凹的形状。给定计算的距离映射，用13提出的方法定义对应的势能方式如下： （2.15）对应的势能场为。2.3.4 动态距离力16，17提

36、出了一种与距离势力类似，但无边界深凹口问题的外力。该方法通过在变形轮廓或曲面上每个点的符号距离推导出外力。该符号距离由沿着模型法向的最近边界点或其它图像特征来计算。模型每变化一次，该符号距离要重新计算。可用不同的准则定义要搜索的目标对象边界点。最常用的准则是用具有高图像亮度梯度值的像素点或由边缘检测方法产生的边缘点。为避免同外部轮廓混淆及降低计算时间，其阈值由最大搜索距离确定。所得到的力即我们所指的动态距离力。该力可将变形模型在较大的范围内吸引到目标图像特征。吸引范围由阈值限定。给定轮廓或曲面上的点，其向内的单位法向量为，所计算的符号距离为，指定的距离临界值为，动态距离力的典型定义为： (2.

37、16)该方法的缺点是随着模型的变化，必须重新进行沿法向的一维搜索，因此相对耗时。如果将搜索距离的阈值设定得较小，可以降低运行时间，但其负面影响是缩小了动态距离力的吸引范围。2.3.5 交互力在许多临床应用中，随着模型变形允许操作者与模型交互非常重要。当自动外力不能使模型运动到某特定区域的目标特征时，该交互力可提高分割结果的精度。例如，当用户希望将模型拉向某重要特征，或希望对模型施加约束，使其通过专家指定的标记点时，变形模型可方便地使用户交互力化为附加外力项。通常应用kass等1提出的两种交互力，即弹簧力和火山力。定义弹簧力正比于模型上的点与用户指定点的距离： (2.17)弹簧力将模型拉向点，模

38、型离点越远，拉力越大。基于在点局部区域的直观搜索，在模型上选择离点最近的点。设计火山力将模型推离火山点周围的局部区域，为提高计算效率，火山力仅在点的临域内计算，即： （2.18）其中，。注意，为避免数值不稳定，在接近零时，应对火山力的幅值进行限制。火山力亦可定义为： （2.19）其中，用于调整火山力的强度分布。2.4参数变形模型的数值实现文献中已介绍多种变形模型的数值实现方法，例如，有限差分法1，动态规划法18，贪婪法19 被应用于变形轮廓问题，有限差分法3和有限单元法5，8，20被应用于变形表面问题。有限差分法仅进行局部计算，计算效率较高，相反有限单元法计算效率不高，但是可用于用不规则网格表

39、达的变形表面。本节介绍文献1给出的有限差分法实施。因为1推出的数值方案不要求外力为势力，因此可用于有势力和非势力的变轮廓问题。无惯性项变形模型的动力学方程可表示为: （2.20）用有限差分法来近似上式，推导过程如下：由于变形轮廓为：，设，为空间步长，为时间步长。表示变形轮廓上的第个节点在第时刻的矢量值。若设，可表达为： 应用向后差分,得 (2.21)应用中心差分，得 （2.22） （2.23） （2.24）所以： （2.25） (2.26)将式（2.21）、（2.25）、（2.26）代入方程（2.20）可得: (2.27)其中，为阻尼系数，为空间步长，为时间步长，通常，外力以离散矢量场形式存储

40、，该矢量场定义在图像网格上。任一点处的外力可通过对附近网格点的外力值双线性插值得到。整理方程（2.27），得 (2.28)记各项系数分别为：，则 （2.29）方程（2.29）可写为如下紧凑的矩阵形式： （2.30）其中，和为矩阵。a为的带状对角阵，为样本点。方程（3.11）应用如下方程迭代求解。 （2.31）的逆阵可通过lu分解计算。对于不改变弹性参数和刚性参数的变形过程，该分解只需进行一次。2.5 结论传统势能力模型力场吸引范围小，模型不能收敛进边界深凹口，变形模型必须在力场作用范围内初始化，但初始化模型可跨越对象边界，对象边界缝隙主观轮廓重建效果好。气球模型力场吸引范围大，模型能收敛进边界

41、深凹口，但初始化模型不可跨越对象边界，对象边界缝隙主观轮廓重建效果不好。距离势力模型力场吸引范围大，初始化模型可跨越对象边界，对象边界缝隙主观轮廓重建效果好，但模型不能收敛进边界深凹口。参数变形模型在许多领域的广泛应用。但该方法有两个限制：首先，当变形模型与目标对象边界在大小和形状方面差别较大时，必须动态地重新参数化，以有效地恢复对象边界。对2d情形，重新参数化方法较直接，且计算量较小，但对3d情形，计算非常复杂。其次，上述方法难于适应处理诸如模型分裂与融合时的拓扑结构变化情况，该情形对应于多对象恢复和未知拓扑结构对象的恢复。其困难在于当拓扑结构发生变化时必须重新参数化，其计算过程较复杂。21

42、，22因为参数模型是一个非本征模型，即便初始模型的几何形状相同，不同的参数化也能导致不同的解。所以在具体应用中，我们应根据原始图像边界特点，结合各种模型的特征，扬长避短，考虑变形模型执行的运算速度、通用性、精确度来灵活选取合适的模型，合理选取参数来分割图像，来获得满意的结果第三章 梯度矢量流变形模型我们知道传统的变形模型存在对初始化敏感和向边界深凹口收敛性能差的问题23,24,25。本章，我们提出了一种新的变形模型外力来解决上述问题。这种场，我们称为梯度矢量流（gvf）场，它是用最小化某一个能量泛函的方法从图像中得出的密集矢量场。可以通过解一对分离线性偏微分方程得到能量泛函的极小值，该方程扩散

43、了从图像中计算出的灰度或二元边缘映射的梯度矢量。我们将用gvf场作为外力的变形模型称为gvf变形模型。gvf变形模型区别于以前所有变形表达的地方在于其外力不能写成势能函数负梯度的形式。因此，gvf变形模型不能用标准的能量最小化模式表示，相反，它可直接用力平衡条件表示。gvf可被定义为任意维数，为了方便起见，本章我们重点讨论二维的情况。我们将2d变形模型叫做变形轮廓，用gvf作为外力的变形轮廓叫做gvf变形轮廓。当然，基于gvf变形轮廓的所有讨论对一般的gvf变形模型都是有效的。3.1 参数变形模型广义力平衡方程应用传统势能力表示的变形轮廓都满足各自能量模型的euler方程（式2.6）。因此，最

44、终图形性能差应归因于向目标函数（式2.1）局部极小值收敛的过程。几个学者用直接从力平衡方程推导变形轮廓的方法解决了此问题。在力平衡方程中，用一个一般外力替代标准外力，表示如下： =0 （3.1）的选择对变形轮廓的变形和特征有深远的影响。外力一般可分为两类：静态力和动态力。静态力来自图像数据，不随变形轮廓的变形而改变。标准的变形轮廓势力是静态外力。动态外力随变形轮廓的变形而改变。已经提出了几种动态外力来改善标准变形轮廓势力。例如，应用于多尺度变形轮廓的外力26和应用于气球的压力9都是动态外力。但是，多尺度法和压力法的应用都增加了变形轮廓变形的复杂性和变形过程的不可预见性。例如，压力必须被初始化为

45、向外推或向内推，如果施加的力太强可能淹没弱的边界27。相反，如果推力方向错误或施加的力太弱，变形轮廓就不能移到边界深凹口内。本章，我们介绍一种新的静态外力，其不随时间变化，也不依赖于变形轮廓本身的位置。这种力的基本数学假设来自helmholtz定理28，该定理表述了最一般的静态矢量场可分解为两部分：无旋分量和无散分量。用传统变形轮廓变量表示的外势力必须作为静态无旋场代入式（2.6）的力平衡方程，因为它是势能函数的梯度。可以设定一般静态力场包含无旋部分和无散部分。在下一节，我们介绍一种自然的方法，用该方法可将外力场设计成具有较大吸引范围并存在指向边界深凹口的力的理想特性。结果表达式产生包含无旋部

46、分和无散部分的外力场。3.2 梯度矢量流（gvf）变形模型我们的方法是从利用力平衡方程开始来设计变形轮廓。定义一种新的静态外力场，即梯度矢量流（gvf）场。为了得到相应的动态变形轮廓方程，我们用代替式（2.10）中的势力，得 （3.2）我们将满足上述动态方程的参数曲线称为gvf变形轮廓。与传统变形轮廓一样，用离散和迭代的方法来解上式。尽管gvf变形轮廓的最终结构满足力平衡方程，但是，这个方程并不表示式（2.1）中能量最小化问题中的euler方程。这是因为不是一个无旋场。3.2.1 边缘映射为了定义gvf场，先定义图像的边缘映射，图像具有在图像边缘附近边缘映射较大的特点。我们可以利用在图像处理文

47、献29中定义的任意灰度值或二元边缘映射，例如： （3.3）其中，是下式所定义的外能中的任一种：边缘映射的三个基本特点很重要。首先，边缘映射的梯度是在边缘处指向边缘的法向矢量。第二，仅在边缘附近这些向量值较大。第三，在均匀区域，几乎为常量，接近零。现在考虑将边缘映射的梯度作为外力时上述三个特征如何影响传统的变形轮廓。因为第一个特征，初始化在靠近边缘的变形轮廓将在边缘附近收敛为一个稳定的图形，这是一个很令人满意的特征。由于第二个特征，一般说来，图像吸引范围很小。因第三个特征，在均匀区域将没有外力。后两个特征是不理想的。我们的方法是保持边缘附近梯度的理想特征，用扩散处理方法扩展远离边缘的边缘映射梯度

48、和均匀区域的边缘映射梯度。扩散处理的固有竞争也会产生指向边界深凹口的矢量，这是一个重要优点。3.2.2 梯度矢量流（gvf） 我们将梯度矢量流定义为使能量泛函（式3.4）最小的矢量场： （3.4） 从该变量表达式可以看出，当较小时，能量由矢量场的偏微分平方和控制，产生一个缓慢变化的场。而当较大时，第二项控制了被积函数，通过设置使能量最小化。由此产生的理想效果为当较大时，保持v约等于边缘映射的梯度，但是在均匀区域，要促使场是缓慢变化的。是调整参数，用来折中被积函数的第一项和第二项。根据图像中的噪音量来设置该参数（图像噪音大，增加的值）。由式（3.4）最小化得到的矢量场既不是完全的无旋场也不是完全

49、的有旋场。应用变分法30，通过解下列euler方程可得到gvf场。 （3.5a） （3.5b）其中，是laplacian算子。这两个方程可使我们更直观地理解gvf表达式。我们注意到在图像均匀区域（为常量），因为的梯度为零，所以方程的第二项为零。产生的gvf场从区域边界插入，影响了边界矢量中的一种竞争。这就是gvf场产生指向边界深凹口的力的原因。3.3 梯度矢量流变形模型的数值实现本节介绍gvf变形模型的数值实现。应用文献1给出的有限差分法来实施。式(3.5a)、（3.5b）中，和可以看作时间的函数，则可表达为： （3.6a） (3.6b)这两个方程的稳定解就是euler方程式(3.5a)、（3

50、.5b）的理想解。注意，这两个方程是分离的,所以可以看作是和的独立标量偏微分方程。这两个方程是广义扩散方程。为方便起见，将式（3.6）写为下列形式： (3.7a) (3.7b)其中， 任何数字图像的梯度算子都可用来计算和。本节中，我们仍用中心差分法。接着便可计算系数和，并且在整个迭代过程中保持不变。 为了得到迭代方程式，设相对应于，空间步长为，时间步长为。各偏导数为：将以上各式代入到（3.4）中，得到gvf的迭代解： (3.8a) (3.8b)其中， （3.9） 数值方法原理中的标准结果保证了上述迭代过程的收敛性。假设和是有界的，只要限制，式（3.8）就是稳定的。由于通常和是固定的，根据式（3.9）中r的定义，为了保证gvf收敛，必须满足： （3.10）式（3.10）说明两个问题，一是在粗糙的图像上（即和较大）收敛较快。二是当较大时，gvf场较平缓，收敛速率较