复习—导数的应用

1、导数的应用,一、知识要点：,1.函数的单调性:,设函数y = f(x)在某个区间可导, 若f (x) 0，则f(x)为增函数； 若f (x) 0，则f(x)为减函数.,一、知识要点：,1.函数的单调性:,求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：,确定函数f(x)的定义区间;,把函数 f(x) 的间断点(包括 f(x) 的无定义的点) 的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列 起来，然后用这些点把函数 f(x) 的定义区间分成 若干个小区间;,确定 f(x) 在各区间内的符号,根据 f(x) 的符号 判定函数 f(x) 在每个相应小区间内的增减性。,一、知识要点：,2.可导函数的极值,设函数 f

2、(x) 在点x0附近的所有的点都有f(x) f(x0) ),则称 f(x0) 为函数的一个极大(小) 值,称x0为极大(小)值点。,极值的概念,求可导函数 f(x) 极值的步骤：,求导数,一、知识要点：,3.函数的最大与最小值,设y = f(x)是定义在区间a , b上的函数,y = f(x) 在(a , b)内有导数,求函数y = f(x) 在区间a , b 上的最大最小值,可分两步进行:,求y = f(x)在区间(a,b)内的极值;,将y = f(x)在各极值点的极值与f(a), f(b)比较， 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。,若函数f(x)在区间a , b上单调递增(减),

3、则f(a) 为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。,二、例题选讲,上是单调函数。,例1(2000年全国高考题)设函数,其中a0,求a的取值范围,使函数 f(x) 在区间,分析：求,当x,时,看,变化范围。,例1（2000年全国高考题）设函数,其中a0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间,上是单调函数。,二、例题选讲,例2.设f (x) = ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的 取值范围，并求其单调区间。,二、例题选讲,二、例题选讲,例4.（2000年江西卷）用总长为14.8m的钢条制作一个 长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积 最大

4、？并求出它的最大容积。,分析: 实际应用问题应先建立数学模型，注意自变量的 取值范围，若出现三次以上或带有根号的函数或 三角函数，可考虑求导来解决。,解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为 (x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5)/4=(3.2-2x)m,则 3.2 2x 0 , x0 , 得 0 x1.6.,例4.(2000年江西卷)用总长为14.8m的钢条制作一个 长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积 最大？并求出它的最大容积。,设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 2x) = - 2x3

5、+2.2x2+1.6x (0 x1.6),y = - 6x2+4.4x+1.6,令y = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去），,当00 , 当1x1.6时，y0 ,二、例题选讲,例5（2003年江苏卷） 已知a0, n为正整数， 设,设,，对任意na , 证明:,证明:(1)因为,所以,即对任意,例5（2003年江苏卷） 已知a0, n为正整数，,设,，对任意na , 证明:,三、小结：,1.证函数f(x)在(a ,b)内单调,可以用函数的单调 性定义,也可以用导数来进行判别.前者较繁， 后者较易.要注意若f(x)在(a , b)内个别点上满 足:,2.函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在 区间上的极大(小)值可有若干个，而且有时极 小值可以大于它的极大值。,3.函数的最大值、最小值表示函数