高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4(2021年最新整理)

1、2018版高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修42018版高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文

2、可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2018版高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4的全部内容。102。4。1平面向量数量积的物理背景及其含义1。平面向量的数量积.(重点)2.平面向量的数量积的几何意义.（难点）3.向量的数量积与实数的乘法的区别。（易混点）基础初探教材整理1向量数量积的定义及性质阅读教材p103p104“例1”以上内容，完成下列问题.1。向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab,即ab|ab|

3、cos .规定零向量与任一向量的数量积为0.2.向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角.(1）abab0.（2）当a与b同向时,aba|b|；当a与b反向时，ab|a|b.(3）aa|a2或|a。（4)cos .（5）|aba|b。判断（正确的打“”,错误的打“”）（1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.(）(2)两个向量的数量积是向量。（）(3）设向量a与b的夹角为，则cos 0ab0.（)【解析】(1).因向量的夹角包括180，直线的倾斜角不包括180.（2）。因两个向量的数量积没有方向，不是向量。（3）。由数量积的定义可知.【答案】（1)（2)（3)教材整理2向量的数量

4、积的几何意义及运算律阅读教材p104例1以下至p105例2以上内容，完成下列问题.1。向量的数量积的几何意义(1)投影的概念如图2。41所示:a，b，过b作bb1垂直于直线oa，垂足为b1，则ob1b|cos 。bcos 叫做向量b在a方向上的投影，acos 叫做向量a在b方向上的投影。图2.41（2）数量积的几何意义：ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影bcos 的乘积.2。向量数量积的运算律（1)abba（交换律）。(2）（a)b(ab）a(b)(结合律）.(3）(ab)cacbc（分配律).已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为_.【解析】

5、向量a在b方向上的投影为a|cos 3cos .【答案】小组合作型与向量数量积有关的概念（1)以下四种说法中正确的是_。如果ab0,则a0或b0；如果向量a与b满足ab0,则a与b所成的角为钝角;abc中，如果0，那么abc为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量,则a2b2。(2)已知|a|3，b|5,且ab12，则a在b方向上的投影为_，b在a方向上的投影为_。（3）已知等腰abc的底边bc长为4,则_.【精彩点拨】根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.【自主解答】（1）由数量积的定义知aba|bcos (为向量a，b的夹角）。若ab0,则90或a0或b0，故错；若ab0，则a

6、与b的夹角为锐角;若a，b的夹角为,则b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是_.【解析】由于a20,b20，所以，若a2b20，则ab0,故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量,所以acbc,所以ac|bc|，正确;a,b共线aba|b，所以不正确；对于，应有a|b|ab；对于，应该是aaaa2a;a2b22|ab2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|bcos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错.综上可知正确。【答案】数量积的基本运算已知a|4，|b5,当（1）ab；(2）ab；（3)a与b的夹角为135时，分别求a与

7、b的数量积. 【导学号:00680054】【精彩点拨】(1)当ab时,a与b夹角可能为0或180.（2)当ab时,a与b夹角为90。（3)若a与b夹角及模已知时可利用ab|ab|cos （为a,b夹角）求值。【自主解答】设向量a与b的夹角为,（1）ab时，有两种情况：若a和b同向，则0，aba|b|20;若a与b反向,则180，ab|a|b|20。(2）当ab时,90，ab0.（3)当a与b夹角为135时，ab|a|b|cos 13510。1.求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，;分别求a和b|;求数量积，即aba|b|cos 。2.非零向量a与b共线的条件是ab|ab。再练一题2。

8、已知正三角形abc的边长为1，求：图2。4。2（1）;（2）；(3）。【解】（1)与的夹角为60，|cos 6011.（2)与的夹角为120,|cos 12011。（3)与的夹角为60，cos 6011.与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120，且|a4，b2,求：(1)|ab；(2)（ab）(a2b)|. 【导学号：70512035】【精彩点拨】利用aaa2或a|求解。【自主解答】由已知aba|bcos 42cos 1204，a2a216，b2|b|24。（1)|ab|2(ab）2a22abb2162(4)412，ab2.(2)（ab）(a2b）a2ab2b216（4）2412，（ab

9、）（a2b)|12。1。此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2。利用aaa2a2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。再练一题3。题干条件不变，求|ab|。【解】因为a|4，b2，且a与b的夹角120.所以|ab|2,所以|ab|2。探究共研型平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？【提示】abab0.探究2当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地,aa等于什么？【提示】当a与b同向时，aba|b|；当a与b反向时，aba|b；aaa2|a2或a|.探究3|ab与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量

10、a，b，如何求它们的夹角？【提示】|ab|ab，设a与b的夹角为，则aba|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|。当且仅当cos |1,即cos 1，0或时,取“”,所以ab|a|b。cos 。已知|a3,|b|2，向量a，b的夹角为60,c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？【精彩点拨】由条件计算ab，当cd时,cd0，列方程求解m。【自主解答】由已知得ab32cos 603。由cd,知cd0,即cd(3a5b）(ma3b）3ma2（5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m时，c与d垂直.1。已知非零向量a，b，若ab，则ab0，反之也成立。2。设a与b夹角为，利用公式cos 可求夹角，求解时注意向量夹角的取值范围0，。再练一题4.若非零向量a，b满足|a|3b|a2b，则a与b夹角的余弦值为_。【解析】设a与b夹角为，因为a3b|，所以a29|b|2。又|aa2b，所以|a2|a|24b24ab|a|24|b24a|b|cos 13b|212b2cos ，即9|b|213|b|212b2cos ，故有cos .【答案】1。在abc中，bc5，ac8，c60，则（）a.20b。20c。20 d。20【解析】|cos 1205820。【答案】b2。设e1，e2是两个