第23课时 直角三角形 教学设计

1、第23课时 直角三角形一、【教学目标】1了解直角三角形的概念；2掌握直角三角形的性质及判定；3掌握勾股定理及其逆定理的使用；二、【重点难点】重点：1直角三角形的性质及判定；2勾股定理及其逆定理的使用. 难点：勾股定理的逆定理的使用.三、【主要考点】（一）、直角三角形的定义及符号表示1定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.2符号表示：直角三角形ABC用符号表示为RtABC.（二）、直角三角形的性质和判定1性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）在直角三角形中，如果有一条直边等于斜边的一

2、半，那么这条直角边所对的锐角等于30.（5）勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.2判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（三）、重要结论1SRtABC=.其中a，b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；2RtABC的内切圆半径，外接圆半径.四、【经典题型】【23-1A】如图23-1是一张直角三角形的纸片，两直角边AC

3、6 cm，BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）A4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm图23-1解：在RtABC中，有AB2=AC2+ BC2，又AC=6cm，BC=8cm，AB=10.又根据折叠的性质有AE=BE，BE=AB=10=5(cm). 选B.温馨提示： 在直角三角形中，已知任意两边能够利用勾股定理求出第三边，但在使用的过程中要注意分清斜边和直角边；在折叠问题中，一定要掌握折叠时有哪些边是重合的，有哪些角是重合的.【23-2A】我市某教师村有一块草坪如图23-2所示，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，

4、且ABBC，则这块草坪的面积是 m2.解：连接AC，ABBC，B=90. 在RtABC中，AC=5(m). 在ACD中，AC2+DC2=52+122=169，又AD2=132=169，AC2+DC2=AD2，ACD是Rt，且ACD=90，ACCD， S四边形ABCD=SABC+SACD=36m2.温馨提示： 已知一个三角形的三边时，能够用勾股定理的逆定理来检验该三角形是否为直角三角形.设ABC的三边中abc，则当a2+b2c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2=c2时，ABC为直角三角形；当a2+b2c2时，ABC为钝角三角形.【23-3A】一个承重架的结构如图23-3所示，如果1=155，

5、那么2= 图23-3解：2=1-90=155-90=65.温馨提示： 直角三角形的两个锐角互余. 此处利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【23-4A】如图23-4，在ABC中，CFAB于F，BEAC于E，M为BC的中点，EF=6，BC=15，则EFM的周长为 .图23-4解：CFAB，BFC=90，又M为BC的中点，BC=15，FM=BC=.同理，EM=BC=，EFM的周长为FM+EM+EF=+6=21.温馨提示：当题中有垂直条件时，应联想到直角三角形，若有斜边上的中点，应联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【23-5A】如图23-5所示，在RtABC中，C90，A30

6、，BD是ABC的平分线，CD5cm，求AB的长图23-5解：在RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，ABDCBDA30，ADDB.又RtCBD中，CD5 cm，BD10 cm，BC cm，AC2BC cm.温馨提示：在直角三角形，若有锐角等于30时，常用“30的角所对的直角边等于斜边的一半”沟通直角边与斜边的数量关系.五、【点击教材】【23-6B】（八下P8）将一副三角尺如图23-6所示叠放在一起，若AB=14cm，求阴影部分的面积.解：B=30，ACB=90，AB=14cm，AC=14=7cmACB=AED=90，BCED，AFC=ADE=45，CAF=AFC=45，AC=CF

7、=7cm故SACF=77=（cm2）温馨提示：当直角三角形中出现45角时，应联想等腰直角三角形，等腰直角三角形的两条直角边相等，当直角三角形中出现30时，应联想到30角所对的直角边等于斜边的一半，同时根据图中两个直角应联想到垂直于同一条直线的两条直线平行.【23-7B】已知直角三角形两直角边的和为，斜边长为2，求这个直角三角形的面积.解：设直角三角形两直角边的边长分别为x、y，根据题意得：x+y=，x2+y2=4，则（x+y）2=x2+y2+2xy，6=4+2xy，xy=1，这个三角形的面积是xy=1=0.5温馨提示：直角三角形的面积常用两直角边的乘积的一半来计算，解此类问题时要注意方程思想和

8、整体思想的运用.六、【链接中考】【23-8A】（2015湖北）如图23-8，在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分ACB若BE=2，则AE的长为（） A B 1 C D 2解：在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，BE=CE=2，B=DCE=30，CE平分ACB，ACB=2DCE=60，ACE=DCE=30，A=180-B-ACB=180-30-60 =90在RtCAE中，A=90，ACE=30，CE=2，AE=CE=1故选B温馨提示：由线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出B=DCE=30，由角平分线定义得出ACB=2DCE=6

9、0，ACE=DCE=30，利用三角形内角和定理求出A=180-B-ACB=90，然后在RtCAE中根据30角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1【23-9C】（2014锦州）如图23-9，在ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM（1）求证：EF=AC （2）若BAC=45，求线段AM、DM、BC之间的数量关系解：（1）证明：CD=CB，点E为BD的中点，CEBD，点F为AC的中点，EF=AC；（2）解：BAC=45，CEBD，AEC是等腰直角三角形，点F为AC的中点，EF垂直平分AC，AM=CM，CD=CM+DM=AM+

10、DM，CD=CB，BC=AM+DM温馨提示：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CEBD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；（2）判断出AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解.七、【课时检测】（一）、选择题: （时量：8分钟，满分：24分，每小题3分）【23-10A】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A.1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4 ，5，6【23-11A】如图23-11，A、B、C分别表示三个村

11、庄，AB=1 000 m，BC=600 m，AC=800 m.在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）A. AB的中点处 B. BC的中点处 C. AC的中点处 D.C的平分线与AB的交点处 【23-12A】如图23-12，正方形网格，每个小正方形的边长为1，则网格上三角形ABC中，边长为无理数的边数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【23-13A】三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D锐角三角形【23-14A】（2

12、015黄冈）如图23-14，在ABC中，C=90，B=30，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）A6 B C9 D 【23-15A】（2015青岛）如图23-15，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE=1，则BC=（）AB 2C 3D+2 【23-16A】（2015德阳）如图23-16，在RtABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则B的度数是（）A60B45C30D75【23-17B】（2015烟台）如图23-17，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S

13、1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A B C D（二）、填空题: （时量：16分钟，满分：24分，每小题3分） 【23-18A】如图23-18，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为 . 【23-19A】如图23-19，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是 .【23-20A】如图23-20，已知在RtABC中，ACB=90，AB=4，分别以AC、BC为直径作半

14、圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2 的值等于 .【23-21A】（2015宿迁）如图23-21，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD=5，则EF的长为_. 【23-22A】（2015聊城）如图23-22，在ABC中，C=90，A=30，BD是ABC的平分线若AB=6，则点D到AB的距离是【23-23A】（2015毕节市）如图23-23，在ABC中，C=90，B=30，AD平分CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=_.【23-24A】（2015辽阳）如图23-24，在ABC中，BDAC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于

15、_.【23-25A】两个连续整数a、b满足ab，则以a、b为边的直角三角形斜边上的中线为_.（三）、解答题：（时量：24分钟，满分：36分，每小题9分）【23-26A】（2012淮安）如图23-26，ABC中，C=90，点D在AC上，已知BDC=45，BD=10，AB=20求A的度数【23-27B】如图23-27，在四边形ABCD中，A=60，B=D=90，BC=6，CD=4，求AB的长【23-28B】如图23-28，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，B=90，求四边形ABCD的面积【23-29C】如图23-29，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，对角线A

16、C与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点（1）求证：MNBD；（2）当BCA=15，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长【课时检测答案】（一）选择题：【23-10】C；【23-11】A；【23-12】C；【23-13】C；【23-14】C；【23-15】C；【23-16】C；【23-17】C.【23-17】解：根据题意：第一个正方形的边长为2；第二个正方形的边长为：2；第三个正方形的边长为：()22，第n个正方形的边长是()n12，所以S2015的值是.故选C（二）填空题：【23-18】40；【23-19】；【23-20】；【23-21】5；【23-22】；【23-23】2；【23-24】8；【23-25】或2.（三）、解答题：【23-26】解：在直角三角形BDC中，BDC=45，BDC是等腰直角三角形，BC=CD，设BC=CD=x，又BD=10，则由勾股定理得BC2+CD2=BD2，x2+x2=，解得x=10，BC=CD=10，在RtABC中，AB=20，BC=10，BCAB，A=30【23-27】解：延长AD，BC，交于点E，在RtABC中，A=60，BC=6，E=30，在RtCDE中，CD=4，CE=2CD=8，BE=BC+CE=6+8=14，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：