第4章插值与拟合-牛顿法_第1页
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文档简介

1、第4章 插值与拟合,4.3 差商与牛顿插值公式,Lagrange 插值多项式的基函数：,优点：形式对称，有很强的规律性，便于记忆。,缺点：,(1) 重复计算多, 导致计算量大；,(2) 插值基函数 lj(x) 依赖于所有节点，当增加插值节点时，原来已算出的所有 lj(x) 都需要重新计算，使计算量加大。,差商及其性质 牛顿插值公式 牛顿插值余项 差分以及等距节点牛顿插值多项式,4.3 差商与牛顿插值公式,Newton (16241727),问：是否可以将这 n+1个多项式作为插值基函数？,Newton插值基函数,则相应的插值多项式为:,可以求得：,4.3.1 差商及其性质,缺倒数第二个节点,缺

2、最后一个节点,最后一个节点倒数第二个节点,称,可见：一个高阶差商可由两个低一阶的差商得到,缺倒数第二个节点,缺最后一个节点,称,最后一个节点倒数第二个节点,由此定义,显然:,将上述结果代入：,2.差商的性质,可以用数学归纳法证明,注：上式是计算中常用的差商公式，可建立差商表.,缺第一个节点,缺最后一个节点,最后一个节点第一个节点,性质2：对称性 差商对于定义它的节点而言是对称的,也就是说任意调换节点的次序,差商的值不变,3. 差商的计算方法：差商表,规定函数值为零阶差商,内容归纳,Newton插值基函数:,并形式上给出Newton插值多项式:,通过引进均差/差商的概念,可以将系数表示为：,4.3.2 牛顿插值公式,1.定义: 称,由插值多项式的唯一性, Newton 插值公式的余项为:,4.3.3 牛顿插值余项,同理,由二阶均差定义,有,有,因此可得:,Newton插值多项式,差商型余项,4.3.4 差分及其等距节点牛顿插值多项式,等距节点插值是比较常见的情况,为简化计算,引进差分的概念.,依此类推:,差分的计算方法:差分表,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系:,差商与差分的关系,依此类推：,差分表示的 Newton 插值公式,Newton向前(差分)插值公式,记插值点：,由差商与向前差分的关系：,以及,式(7)、(6)代入差商表示

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