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文档简介

1、课程回顾,迭代法的原理； 迭代法的构造； 迭代法的关键问题； 分形 迭代法解线性方程组： 最简单方法 最有效方法 Jacobi方法 Gauss-Seidel方法 SOR方法 问题：如何评价不同迭代方法的优劣？,第三章 线性方程组求解的数值方法,第五节 迭代法的收敛性,迭代法收敛性,收缩映射原理（Contraction Principle）：,证明：,收缩映射,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,第1步迭代与第k步迭代关系。,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,迭代法收敛性：,迭代法收敛性：,迭代法收

2、敛性：,SOR迭代收敛性：,特殊矩阵收敛性的判定：,Gauss-Seidel迭代收敛性：,注：Gauss-Seidel法为SOR法的特例。,Gauss-Seidel迭代收敛性：,Gauss-Seidel迭代收敛性：,三种算法收敛性各有优劣。,Gauss-Seidel迭代收敛性：,Gauss-Seidel迭代收敛性：,线性方程组迭代法收敛速度,线性方程组迭代法收敛速度,线性方程组迭代法收敛速度,线性方程组迭代法收敛速度,迭代法收敛速度,迭代法算法结构-Matlab,注意：L、U 前有负号,迭代法算法结构-Matlab,上述两种算法计算M矩阵过程运算量小于矩阵A求逆。,迭代法算法低级语言实现,Ja

3、cobi算法：,迭代法算法低级语言实现,Gauss-Seidel算法：,迭代法算法低级语言实现,SOR算法：,Matlab语言实现和低级语言实现比较,高级语言中需要进行求逆运算、计算谱半径，实际工程中可能找不到相关库函数。 低级语言实现无需计算矩阵求逆，但是无法事先判断迭代是否成功，另外迭代终止条件存在误差,迭代过程中计算量较大。,习题,习题,A = 2, 1; 1, 2 B = eye(2) for iii = 1 : 1000 a = iii / 500; a = a - 0.5; M = B - a * A; p = eig(M); QQ(iii) = max(abs(p); end x

4、 = 1 : 1000; x = x / 500; x = x - 0.5; plot(x, QQ),解法二：数值求解,习题,总结：,线性方程组解法： 直接法：Gauss法、全主元、列主元、LU，Cholesky法 范数 向量范数概念，1、2、范数计算； 矩阵范数的概念； 算子范数的概念， 1、2、范数计算、相容性等性质。 病态问题 概念，与算法稳定性的关系； 系数误差和解误差的关系； 条件数：概念、计算；,总结：,迭代法解线性方程组： 迭代法的概念；迭代法解方程的原理； Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法：写出迭代公式 迭代法收敛性-压缩映射原理、 线性方程组迭代方程收敛的充分必要条件 特殊矩阵的

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