几何概型[课时讲课]

1、数学是好“玩”的,1,课堂教学,2,课堂教学,长度,面积,情景2： 一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，遇到红灯和绿灯的概率那个大？为什么,3,课堂教学,下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问,卧室,在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大,试试看,卧室,书房,4,课堂教学,提出问题,古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的,思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？ 为什么,那么对于有无限多

2、个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢,5,课堂教学,几何概型,6,课堂教学,自学后提问,1、几何概型是怎样定义的,事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型,2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的,3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明,7,课堂教学,2）每个基本事件出现 的可能性相等,1）试验中所有可能出 现的基本事件有有限个,几何概型的特征,古典概型的特征,1）试验中所有可能出 现的基本事件有无限个,2）每个基本事件出现 现的可能性相等,8,课堂教学,两种概型、

3、概率公式的联系,1.古典概型的概率公式,2.几何概型的概率公式,几何概型可以看作是古典概型的推广,求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义,9,课堂教学,辨一辨,先判断是何种概率模型,再求相应概率. (1)在集合A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一 个元素a,则P(a3)= . (2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|10)=,2)几何概率模型,P(|PM|10)=1/6,1)古典概率模型,P(a3)=7/10,10,课堂教学,3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率,0.002,

4、2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率,0.004,练一练,1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a， 则这个实数a7的概率为,0.3,若满足2a5呢,11,课堂教学,1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率,口答,2.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大,3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点, 求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1 的概率,12,课堂教学,4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴

5、尖离岸边不超过 2m 的概率,规范解题步骤,规范解题步骤,20m,30m,A,解：设事件A=“海豚嘴尖 离岸边不超过2m”， 如右图，则事件A可用 图中的阴影的面积表示,请同学们归纳求几何概型 概率的规范步骤， 并与古典概型步骤作比较,口答,13,课堂教学,典例分析,平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这一平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率,14,课堂教学,则 ，只有当 时硬币不与平行相 碰，如图,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为,思路一,解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰,为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线垂线OM,15,课堂教学

6、,解：设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了求事件A的概率，只需研究硬币不与两条平行线中任何一条相碰即可，由于硬币的位置由硬币中心决定，如图，则事件A可用图中的阴影来表示，可用宽度来表示几何度量,思路二,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为,16,课堂教学,这是一个几何概型问题,由几何概型的定义知,解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A,为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段，其长度2a即是几何概型定义中的几何度量,当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为,思路三,17,课堂教学,如图，平面是

7、由若干个边长为2a的小正方形组成.参加者把半径为 r （ra） 的“金币”，任意抛掷在平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个正方形之内（不与正方形的边相碰），便可获奖，求参加者获奖的概率,分析,不妨先考虑金币与一个小正方形的关系,试验的基本事件是,金币的中心投在由若干个小正方形组成的平面里,设事件A为“金币不与小正方形边相碰,如图，即为“金币的中心要投在绿色正方形内,参加者获奖的概率为,解,由几何概型的定义知,变式引申,若ra, 你愿意玩这个游戏吗,18,课堂教学,例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率,19,

8、课堂教学,例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？ 分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解,解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示,答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3,记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的测度为15，区域d的测度为5。 所以,20,课堂教学,变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率,分析,21,课堂教

9、学,2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率,分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D的测度为15，区域d的测度为15-3-10=2。 所以,22,课堂教学,1.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率,解:设事件A=等待的时间不多

10、于10分钟 事件A发生的区域为时间段50,60,巩固练习,23,课堂教学,2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率,1/6,巩固练习,24,课堂教学,3 .在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在XOT内的概率,巩固练习,25,课堂教学,甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面, 先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间 内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响. 求二人能会面的概率,想一想,26,课堂教学,解:以 X ,Y 分别表示甲乙

11、二人到达的时刻,于是,即点 M 落在图中的阴影部分. 所有的点构成一个正方形,即 有无穷多个结果.由于每人在 任一时刻到达都是等可能的, 所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的,0 1 2 3 4 5,27,课堂教学,二人会面的条件是,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,y-x =1,y-x = -1,28,课堂教学,我的收获,3.几何概型的概率计算公式,1.几何概型的特征,2.几何概型的定义,每个基本事件出现的可能性,几何概型中所有可能出现的基本事件有 个,如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(长度、面积或 体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,

12、无限,相等,4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形,29,课堂教学,解题步骤,记事件,30,课堂教学,思考题： 有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它 停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2， 蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积. (计算结果保留,随堂练习，巩固提高,解：记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,31,课堂教学,解:以x，y分别表示两人的到达时刻， 则两人能会面的充要条件为,试一试: 3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率,32,课堂教学,思考与讨论,假设小明家订了一份报纸，送报人可

13、能在早上6：30至7：30之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：00之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少,提示：可借助直角坐标系,33,课堂教学,假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少,34,课堂教学,解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,x,y)可以看成平面上的点，试验的全部结果所构成区域,即图中的阴影部分，面积为,这是个几何概型，所以,面积为,事件A：父亲在离开家前

14、能拿到报纸,所构成的区域,35,课堂教学,课堂小结,1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式. 3.公式的运用,本节核心内容是几何概型特点及概率 求法，易错点是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯,36,课堂教学,一）与长度有关的几何概型,练习：取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大,37,课堂教学,二）与角度有关的几何概型,38,课堂教学,二）与角度有关的几何概型,39,课堂教学,40,课堂教学,三）与面积有关的几何概型,41,课堂教学,42,课堂教学,四）几何概型的应用随机

15、模拟,43,课堂教学,44,课堂教学,1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域,练习：课本：P142 A组 1, 2，3,练习,45,课堂教学,举例,五）与体积有关的几何概型,46,课堂教学,47,课堂教学,五）与体积有关的几何概型,48,课堂教学,六）几何概型的应用,49,课堂教学,50,课堂教学,51,课堂教学,六）几何概型的应用,52,课堂教学,53,课堂教学,例3： 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少,六）几何概型的应用,54,课堂教学,解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意