专题：平面向量常见题型与解题指导

1、平面向量常见题型与解题指导一、 考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解

2、决实际问题的能力。3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相

3、关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进

4、行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,1)为起点，且与向量

5、b = (3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e= 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(,-)方法二与向量b = (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a(3,1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60, x =2ab，y=3ba,则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计

6、算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=.要计算x与y的夹角，需求出|x|，|y|，xy的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=cos， cos= 点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2

7、a,BAC=60.由向量减法的几何意义，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中，R且+=1，求点C的轨迹方程。.解：（法一）设C(x,y)，则=(x,y)，由=(x,y)= (3,1)+ (-1,3)=(3-, +3), （可从中解出、）又+1消去、得x+2y-5=0（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x2y5=0， 例2已知平面向量a(，1)，b(, ).(

8、1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3

9、t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例3： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围.解

10、：由条件可得：k( sin)2,而1sin1, 当sin1时，k取最大值1； sin1时，k取最小值. 又k0 k的取值范围为 .点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值.解： ，|=，|= ， 代入上式 3k3 当且仅当t=，即t=1时，取“”号，即k的最小值是2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例7设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx

11、,sin2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x, 2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评

12、： 把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）、例8：已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的模大小相等(kR且k0)，求解：（1）证法一：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）a+b（cos+cos，sin+ sin）, a-b（cos-cos，sin- sin）(a+b)(a-b)=（c

13、os+cos，sin+ sin）（cos-cos，sin- sin）=cos2-cos2+sin2- sin2=0(a+b)(a-b)证法二：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1(a+b)(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0(a+b)(a-b)证法三：a=（cos，sin）,b=（cos,sin）|a|1，|b|1,记a，b，则|=1,又，O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中a+b，a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,又|ka+

14、b|2(kcos+cos)2+(ksin+sin)2=k2+1+2kcos(),|ka+b|2(cos-kcos)2+(sin-ksin)2=k2+1-2kcos(), 2kcos()= -2kcos()又k0cos()000, =注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何

15、意义求圆的方程和椭圆方程。例9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.解：（）由已知得 , 又，CH=HA 即（2）设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0设N (x1，y1)，M (x2

16、，y2)，则x1 +x2=，x1 x2= ，四边形OMPN是平行四边形.若四边形OMPN是矩形，则x1 x2+y1 y2=0 得直线l为：y= 点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.例10：已知椭圆方程，过B（1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x4于E点，B、E分的比分1、2求证：120解：设l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程整理得（4k21）x28k2x4(k21)0.设C（x1,y2）,D(x2,y2)，则x1x2.由得 所以.同理，记E得其中 .例11：给定抛物线C:y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1，求与夹角的余

17、弦。解：C的焦点为F（1，0）,直线l的斜率为1，所以l的方程为yx1,将yx1代入方程y2=4x，并整理得x26x10设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有x1x26, x1x21，从而x1x2y1y22x1x2(x1+x2)+13,cos例12已知点G是ABC的重心，A(0, 1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足|=|， (R)求点C的轨迹方程； 若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足|=|，试求k的取值范围分析 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.解： 设C(x, y)，则G(,)(R)，GM/AB,又M是x轴上一点，则M(, 0)又|=|，整理得，即为曲线C的方程当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有|=|当k0时，可设l的方程为y=kxm，联立方程组 消去y