曲线拟合的最

1、 曲线拟合的最小二乘法 曲线拟合的最小二乘法 第6章6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确 ，构造的原则是要求插值函数逼近客观存在的函数时，可构造插值函数 与是。此时，序列通过这些数据点，即 相等的。，含有不可避免的误差（或称“噪音”如果数据序列 ），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求 的误差或与即向量最优地靠近样点，所做逼近函数 距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合 函数。 的数据”噪声“含有6.1 图 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插

2、值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或 （ 6.1） 其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛 采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述 用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提

3、出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观 测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干

4、路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一 最小值而确定直即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差条直线， 线方程（见图6.2）。 线性拟合和二次拟合函数6.2 线性拟合 ，均方误差为，做拟合直线给定一组数据 （6.2） 的极小值要满足 是二元函数， 整理得到拟合曲线满足的方程： （ ） 6.3 或 称式（6.3）为拟合曲线的法方程。用消元法或克莱姆法则解出方程： =a = 为鱼的种类。请用线性函数拟合鱼的数量和种类的函数在某处作的鱼类抽样调查，表中为鱼的数量，R. Dybdall 例6.1 下表为P. Sale及 关系。36 31 25 22 16 21 13 15 23 2

5、9 30 17 11 12 11 10 12 13 13 14 16 12 130 72 70 42 40 62 55 60 64 100 34 17 24 21 22 13 14 14 21 23 ，并计算得下表：解：设拟合直线 x1691143131121510150225316111762564211225244152212264484 21 130 34 4420 16900 956 344 18913 61640 6.3将数据代入法方程组（ ）中，得到： ，= 8.2084解方程得：= 0.1795 8.2084 + 0.1795=拟合直线为： 二次拟合函数 给定数据序列，用二次多项

6、式函数拟合这组数据。 设，作出拟合函数与数据序列的均方误差： （6.4 ） 由多元函数的极值原理，的极小值满足 整理得二次多项式函数拟合的法方程： ） （6.5 解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数。方程组（6.5）称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵是对称的。当拟保多项式 阶时，法方程的系数矩阵是病态的，在计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解的准确性。 例6.2 给定一组数据，如下表。用二次多项式函数拟合的这组数据。1 3 2 3 1 2 0 5 2 1 0 4 2 3 解：设，由计算得下表： 27 3 12 81 36 4 9 16 2 4 8 8 4 2 1311133000000011111112416828459813274515128960 7 39 将数据代入式（6.5），相应的法方程为：