FIR滤波器的设计

1、fir滤波器的设计,fir型滤波器的系统函数为,fir数字滤波器的特点(与iir数字滤波器比较,优点,1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真,2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题,3）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足,4）无反馈运算，运算误差小,缺点,1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价,2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成,如果希望得到的滤波器的理想频率响应为,那么 fir滤波器的设计就在于寻找一个频率响应,去逼近,逼近方法有三种,窗函数设

2、计法（时域逼近,频率采样设计法（频域逼近,最优化设计法（等波纹逼近,一、fir数字滤波器的线性相位特性,线性相位是指 是 的线性函数,第一类线性相位,第二类线性相位,可以证明，线性相位fir滤波器的单位脉冲响应应满足下面条件,为实序列，且满足 ，n为长度，即， 关于 偶对称或奇对称,分四种情况,1 h(n) 偶对称， h(n) = h(n-1-n) n 为奇数,2 h(n) 偶对称， h(n) = h(n-1-n) n 为偶数,3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(n-1-n) n为奇数,4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(n-1-n) n为偶数,四种线性相位fir df

3、特性,第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计,第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器， 不能设计高通和带阻,第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计,第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器， 不能设计低通和带阻,例1 n=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数h (,解： 为奇数并且 h(n)满足偶对称关系,a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1,h ( ) = 2 - cos - cos2 = 2- (cos

4、+cos2,小结,四种fir数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关,幅度特性取决于h(n)的值,设计fir数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可,二、窗函数设计法,设计思想：窗函数设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n,以一个截止频率为 c的线性相位理想低通滤波器为例,低通滤波器的延时,则,理想低通滤波器特性的hd(n)和hd(,是无限时宽的，且是非因果的，无法实现的,其中,卷积,4个特殊频率点看卷积结果,1. =0时, h(0)近似等于hd(0,2. = c时， h(c)=0.5h(0,3. =

5、c2/n时，出现正肩峰,4. = c +2/n 时，出现负肩峰,窗口函数对理想特性的影响,改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为4/n ，等于wr()的主瓣宽度。（决定于窗长,过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于wr()的旁瓣。旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强 ，与 n无关。（决定于窗口形状,n增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。（ 8.95% ，吉布斯（gibbs）效应,n的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变wr( )的绝对值大小和起伏的密度,肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响,但实际上这两点不能兼得，一般总是通过

6、增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制,几种常用的窗函数,1. 矩形窗：主瓣宽度为4/n,2. 三角形窗：主瓣宽度为8/n,3. 汉宁窗（升余弦窗）：主瓣宽度为8/n,4.汉明窗（改进的升余弦窗）：主瓣宽度为8/n,5.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）：主瓣宽度为 12/n,凯塞窗,其他窗是增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣；凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减,i0(x)是零阶修正贝塞尔函数； 可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减,越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 49,5.44 接近汉明；=8.5 接近布莱克曼 =0 为矩形,窗函数设计fir数字滤波器的步骤,根据技术要求确定滤波器的频

7、响特性确定其对应的单位脉冲响应。 根据对过渡带及阻带衰减指标的要求，选择窗函数形式，并估计窗口长度n。 计算滤波器的单位取样响应 计算滤波器频率响应,例：试用窗口法设计一个fir低通滤波器。已知,求： （1）求 的长度n ； （2）在矩形窗口条件下，求出的表达式 ； （3）写出过渡带宽,解：（1,2) n为奇数。且是低通滤波器， 故属于第一类广义线性相位fir滤波器，截至频率,三、利用频率采样法设计fir滤波器,频域采样法就是一种频域设计方法。 它的基本思想是使所设计的fir数字滤波器的频率特性在某些离散的频率点上的值，准确地等于所需的滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特征按照一定的优化

8、设计则有较好的迫近,确定频率特性指标,频率采样,idft,zt,频率采样设计的基本方法存在两个问题,用频率采样法设计线性相位滤波器的条件 频率采样法的设计误差及其改进,用频率采样法设计线性相位滤波器的条件,由于具有线性相位的fir滤波器，其单位采样响应是实序列，且满足条件 ，由此推导出第一类线性相位滤波器传输函数应满足的条件是,将 写成幅度 和相位 的形式,式中,n为奇数,n为偶数,幅度特性必须满足的线性相位的条件,频率采样法的设计误差及其改进,由上述设计过程得到的 与 的逼近程度， 以及 与 的关系,式中,在每个采样点上， 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 h(k)相等,在采样点

9、之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而 形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹,n增大，则采样点变密，逼近误差减小,为了减小逼近误差，可以在理想频率响应的边缘加上一些过渡的采样点。但这样处理却会使得过滤带加宽,增加采样点数n来提高所需滤波器的性能，使得滤波器的过渡带是窄带。但是太大会使滤波器成本和运算复杂度增加,从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔 2/33，而最小阻带衰减略小于20db。 对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人满意的。 增大阻带衰减两种方法：

10、 1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点h9=h24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4/33，其阻带衰减增加到约 -40db,2)增大n 如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数n。 例如，同样截止频率c=0.5 , 以n=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值h17=h48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值h17=h48=0.1065 , 这时得到的 h(ej)， 过渡带为6/65， 小于33点采样时插入一个过渡带采样点的过渡带

11、宽 4/33 ，而阻带衰减增加了20多分贝，达-60db以上，当然，代价是滤波器 阶数增加，运算量增加,小结： 频率采样设计法优点： 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。 缺点：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在2/n的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。 充分加大n，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加,判断题,1 . 双线形变换法不能设计高通滤波器,2 . 并联型结构可以单独调整极点位置,3 . 矩形窗设计的fir滤波器的过渡带最窄,4.频率采样法设计的fir滤波器，增加过渡带

12、采样点可以增加过渡带衰减,5. 双线性变换法的频率坐标变换是线性关系,6. fft可以用来计算iir滤波器，以减少运算量,7. 等波纹逼近是一种满足最大误差最小化准则的fir滤波器设计,8. 用矩形窗设计fir滤波器，增加长度n可以改善通带波动和阻带衰减,9 .线性相位系统对各个频率分量的延迟是相同的,1 . 阻带内，滤波器_ a放大信号 b.削弱信号 c .加上信号,选择题,2. 高通滤波器的截止频率是1khz,则将削弱哪个频率_ a. 500 hz b.1000 hz c. 1500 hz,3 . iir代表了_ a. impulse infrared b. infinite impulse response c. interior intersection of a rectangle,4 .过渡带是指_ a .带阻滤波器通带内的频带 b. 带通滤波器通带边缘的频带 c. 任意滤波器通带和阻带间的频带,5 .正弦信号的频谱的一个周期中包括_ a .无峰点 b .1个峰点 c. 2个峰点,6. 一个离散系统_ a .若因果必稳定 b .若稳定必因果 c .稳定与因果无关,7 .理想低通滤波器无法实现是因为_ a. 无限长，因果 b