人教版初中数学第十五章分式知识点

1、第十五章 分式15.1 分式15.1.1 从分式到分式1、一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（） （2）分式无意义：分母为0（）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（或）（5）分式值为负或小于0：分子分母异号（或）（6）分式值为1：分子分母值相等（A=B） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1若有意义，则x的取值范围是（ ）Ax4 Bx4 Cx4 Dx4【答案】B【解析】试题解析：由题意得，x-40，解得，x4，故选B考点：分

2、式有意义的条件考点：分式的基本性质例2要使分式有意义，则x应满足 （ ）Ax-1 Bx2 Cx1 Dx-1且x2【答案】D【解析】试题分析：（x+1）（x2）0，x+10且x20，x1且x2故选D考点：分式有意义的条件例3下列各式：，中，是分式的共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】试题分析：，中分母中含有字母，因此是分式故分式有3个故选C考点：分式的定义例4当x= 时，分式的值为0【答案】1【解析】试题分析：由题意得：，且x+10，解得：x=1，故答案为：1考点：分式的值为零的条件15.1.2 分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不

3、变。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。例1如果把分式中的x、y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）A扩大100倍 B扩大10倍C不变 D缩小到原来的【答案】C【解析】试题分析：把分式中的x、y都扩大到原来的10倍，可得=，故选C考点：分式的基本性质例2把分式中的a、b都扩大6倍，则分式的值（ ）A.扩大12倍 B.不变 C.扩大6倍 D.缩小6倍【答案】C【解析】试题分析：分别用6a和6b去代换原分式中的a和b，原式=，可见新分

4、式的值是原分式的6倍故选C考点：分式的基本性质例3写出等式中括号内未知的式子：，括号内应填【答案】c【解析】先把的分母提取公因式c，得到，然后根据约分的定义求出括号内应填的数为c解：，括号内应填c，故答案为c2、分式的约分（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。（3）注意：分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，

5、叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式例1下列各式计算正确的是( )A.; B.C.; D.【答案】D【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质对各选项分析即可。A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，正确，故选D。例2把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分;在分式中，分子与分母的公因式是 .【答案】公因式； 【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的约分的定义即可得到结果。把一个分式的分子与

6、分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式中，分子与分母的公因式是例3将下列分式约分：(1)= ; (2)= ;(3)= .【答案】(1) (2) (3)1【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质即可得到结果。（1）=；（2）； （3）=例4约分：=【答案】【解析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可解：原式=故答案是：例5约分：【答案】解：原式=【解析】首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可3、分式的通分（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分

7、式的通分。 （依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.例1下列各式计算正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查的是分式的通分根据分式的性质对各学项分析即可。，故本选项错误； 故本选项错误；，故本选项错误；，正确，故选D。例2分式，的最简公分母是（）A48a3b2 B24a3b2 C48a2b2 D24a2b2【答案】

8、D【解析】求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数解：三个分式分母的系数项的公因数为a2b2，常数项的最小公因数为24，所以三分式的最小公分母是24a2b2故选D例3分式，的最简公分母是（）A6xy2 B24xy2 C12xy2 D12xy【答案】C【解析】先求出2，3，4的最小公倍数为12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，于是得到分式，的最简公分母为12xy2解：2，3，4的最小公倍数为12，分式，的最简公分母为12xy2故选C15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：2、分式的乘除

9、法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：例1等于（ ）A.a B.C D【答案】B.【解析】试题分析：原式=故选B.考点：分式的乘除法例2化简的结果是（ ）Am B Cm1 D【答案】A【解析】试题分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果试题解析：原式=故选A考点：分式的乘除法例3化简的结果为 【答案】【解析】试题分析：首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简原式=x（x1）+x=考点：分式的化简15.2.2 分式的加减1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相

10、加减。式子表示为：异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。2、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。例1化简的结果为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：原式=故选C考点：分式的加减法例2

11、化简的结果是（ ）Am+3 Bm3 C D【答案】A【解析】试题分析：利用同分母分式的减法法则计算，原式= 故选：A考点：分式的加减法例3计算：+= 【答案】2【解析】试题分析：根据同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减，可解得原式=2考点：分式的加减例4化简的结果是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：原式=x+1；故选A考点：分式加减法例5已知，求代数式的值【答案】5【解析】试题分析：此题考查了分式的化简与代值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键先正确进行分式的约分，然后准确代值计算即可试题解析：解：原式，原式考点：分式的化简求值15.2.3 整数指数幂1、引入负整数、零指

12、数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即： （） ） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。15.3 分式方程解的步骤：1、去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。2、解整式方程，得到整式方程的解。3、检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：例1方程的解是（ ）Ax=3 Bx=-2 Cx=2 Dx=5【答案】C【解析】试题分析：方程两边都乘以3（5-x），得3x=2（5-x）解得x=2检验：x=2时，3（5-x）0，x=2时原分式方程的解，故选C考点：解分式方程例2分式方程的解为（ ）A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4【答案】C.【解析】试题分析：方程两边同时乘以最简公分母2x（x1）去分母得3x3=2x，解得x=3，经检验x=3是原分式方程的解，故答案选C.考点：分式方程的解法.例3解方程：【答案】x=1【解析】试题分析：观察可得2x=（x2），所以可确定方程最简公分母为：（x2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解