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文档简介
1、实用文档 文案大全 2014年温州市小学数学小论文(小课题)评 比 学 校: 苍南县龙港潜龙学校 成员姓名: 章一行 小课题题目:香烟盒中的数学问题一道数学题引发的思考 指导教师: 胡晓春 联系电话:实用文档 文案大全 香烟盒中的数学一道数学题引发的思考 一、研究背景 在奥数学习中,我在举一反三上看到这样一道题:一包香烟的形状是长方体,它的长是9 cm ,宽是5cm, 高是2cm。把10包香烟包装在一起形成一个大长方体,称为一条。可以怎样包装?算一算需要多少包装纸?(包装纸的重叠部分忽略不计)。你认为哪一种包装比较合理?乍一看,这道题很简单。他跟表面积的知识有关。包装
2、合理,只要表面积最小就行了。根据已有知识,我认为10个香烟盒沿着一个最大的面排成一排,表面积是最小的。于是,我胸有成竹地写出了答案。可是,老师马上否定了我的答案,说这不是最小的表面积。我很纳闷,怎样拼表面积才是最小的呢?带着这个疑惑,我重新审题,并通过实物摆放对这道题进行再次研究。 二、研究过程 (一)拼摆计算 为了更好研究,我向奶奶借了一条香烟,决定亲自动手摆一摆。通过摆放同时画了简易图。长方体有六个面,相对面的面积相等。所以可以沿着正面,侧面,底面三个不同大小的面进行拼接。10个相同的小长方体拼成一个大长方体到底有几种摆法?我决定从最简单的开始研究。 拼法一(如图): 实用文档 文案大全
3、分析:10个相同的长方体沿着一个面拼,拼成一个大长方体,从图上可以看出,图3是沿着最大面进行拼接,所以他的表面积减少的是最多的。拼成的大长方体的表面积就是最少的。计算如下: (205+209+59)2=650(平方厘米) 拼法二(如图): 实用文档 文案大全 这样拼成的图形比较复杂,不能一眼看出表面积的大小。需要计算每一个图形的表面积。计算结果如下: 图4:(455+454+54)2=850(平方厘米) 图5:(25 2+2518+218)2=1072(平方厘米) 图6:(109+910+1010)2=560(平方厘米) 图7:(185+1810+510)2=640(平方厘米) 图8:( 10
4、2+1045+245)2=1120(平方厘米) 图9:(49+925+425)2=922(平方厘米) 分析:通过计算可以看出,图6的表面积最小,书上的谜题也解开了。把10个小长方体拼成一个大长方体,共有9种包装方法。其中1011的有3种,251的有6种。像图6这样的包装是将最大的面进行拼接,那么表面积减少得最多。因此,最为合理。 (二)提出猜想 尽管问题已经解决,但是我还是心存疑问:对于这样一道题,尽管我知道要沿着最大面进行拼接,表面积是最小的。但是也不能马上很准确地进行计算。还是得进行画图比较,计算量也太大。如果对于基数大,拼摆方法多题目就很难用这种方法加以解决。是不是有更好的方法呢?难道以
5、后碰到类似的题,还要这样拼摆计算吗?记得在课堂中老师讲过的一个知识,当长方形的周长一定时,长宽越接近,面积越大。反之,面积一定时,长宽越接近,周长越小。老师的话启发实用文档 文案大全 了我,我想当长方体的体积一定,长、宽、高的变化会给表面积带来什么变化呢?于是,我决定深入研究。为了更好地对数据进行观察分析,我将上面的图形变化和计算结果记录在一张表格中。图表如下: (表一) 图形 长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积 cm2 图1 90 5 2 1280 图2 50 2 9 1136 图3 20 5 9 长cm 宽cm 高cm 表面积cm2 60 4 3 864 650 图4 45 5 4
6、 850 图5 25 2 18 1072 图6 10 9 10 560 图7 18 5 10 640 图8 10 2 45 1120 图9 4 9 25 922 分析:我仔细观察了表格中的数据,图3、图5、图9这三个图形的表面积是相对较小的。我仔细观察,发现他们的长、宽、高的长度都比较接近,而且越接近的拼成的长方体的表面积就越小。像图6,它的长、宽、高分别是10cm、9cm、10cm是最接近的,它的表面积也是最小的。是不是多个小长方体拼成大长方体只要拼成的长宽高最接近,它的表面积就最小呢? (三)举例验证 我对我的这一发现,感到很欣喜。并迫不及待地想知道我的想法是否合理,于是决定再列举两组数据
7、来证明我的发现。 1、用12个 长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体,拼成后得到的这个长方体木块的表面积最小是多少平方厘米?我通过拼摆,也分别计算出了各种摆法的表面积。图表如下: (表二) 实用文档 文案大全 48 5 3 798 36 4 5 688 30 4 6 648 24 5 6 588 18 5 8 554 10 4 18 584 8 5 18 548 18 4 10 544 15 4 12 576 12 5 12 528 9 4 20 592 10 8 9 长(cm) 宽(cm) 高(cm) 表面积cm2 455 2 3 4562 70 13 3 2318
8、 105 2 13 3202 91 2 15 3154 14 3 65 2294 21 2 65 3074 65 3 14 2294 10 13 21 1226 15 14 13 1174 484 16 5 9 538 12 4 15 576 6 15 8 516 12 10 6 504 2、把35个长宽高分别是13厘米、2厘米 、3厘米的长方体,拼成一个大长方体,它的表面积最小是多少平方厘米? (表三) 实用文档 文案大全 分析:从表(二)可以看出,表面积最小的是长10、宽8、高9的长方体。它的长、宽、高是最接近的。表(三)中拼成的长、宽、高分别是15厘米、14厘米、13厘米的长方体的表面积
9、最小。欣喜之余,我又怀疑我的发现只是巧合,不具普遍性,又迫不及待地向数学老师求证,不久老师就肯定了我的发现。当拼成的长方体的长、宽、高越接近,那么他的表面积就越小的。当我想用数学知识加以证明时,老师告诉我这个问题很难,还不能用现有的知识来解决。但你可以在今后的学习中继续研究。 (四)方法探究 怎样才能使拼成的长方体长、宽、高最接近呢?这是解决问题的关键。把若干个小长方体拼成一个大长方体,它的体积不变。并且大长方体的长、宽、高一定是小长方体的倍数。所以只要算出体积,把得数分解质因数,找到最接近的三个数,同时这三个数又是小长方体长、宽、高的倍数。这样拼成的大长方体的长、宽、高就最接近,那么它的表面
10、积也最小。如果设原来小长方体的长、宽、高分别为a、b、c(a、b、c均为正整数),那么n个小长方体的体积为V=abcn。把V分解质因数,最终写成V=a1b1c1 。同时,a1=k1 a b1 = k2 b c1 = k3 c(k1 、k2 、k3均为正整数),并且a1、b1、c1是最接近的。如表二:拼成的长方体的体积是54312=720(立方厘米),720=2222335=8910,而8、9、10分别是4、3、5的倍数。因此,拼成的长方体的长、宽、高分别是8、9、10,与表中计算结果一致,其它两题也通过这种方法加以验证,和答案一致。有了这种方法,以后碰到类似的题目,我就能做到游刃有余了。 (五
11、)实际应用 还记得经常遇到这样的题目,当周长一定时,长方形、正方形、圆形中,哪个面积最大,答案是圆形,我铭记于心。当时心中就有疑问,为什么是圆呢?按照上面的结论,周长一定,边长越接近,面积越大。也就是周长一定时,边的数量越多,就越接近圆形,面积也就越大。当边数无限多时,也就成了一个圆。因此,圆的面积是最大的。这种方法,还可以用来解决,当(两)三个数的和一定时,两(三)个数越接近,它们的乘积就越大,最大值是这个数的平方或立方。 如要组成一个表面积为52的长方体,则最少需要棱长为1的小正方体( )个,就可以用上述方法来解决。表面积一定,要求体积最小,只需长宽高相差最实用文档 文案大全 大。利用表面积公式S=2(ab+ah+bh), 则ab+ah+bh=26,得出1、2、8是符合条件的3个数。再根据体积的计算方法,求得最少需要棱长为1的小正方体共有16个。 三、我的收获 通过对这道题的研究,我不仅知道了解决类似问题的方法,还懂得了遇到问题要有耐心,多观察、多思考,从另一角度寻求新的解题方法,办法肯定比问题多。数学题目千千万,题海战术肯定不如提高战术。这道题的研究,使我更加坚信一题多解,多题归一定能帮助我加深对知识的巩固与深化;提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力;增强思维的灵活性、变通性
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