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文档简介

1、第三章,习题课,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要内容,拉格朗日(Lagrange)定理若函数f(x) （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得,拉格朗日中值公式(有限增量公式,罗尔(Rolle)定理若函数f(x) （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b). 则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使f()=0,推论,柯西(Cauchy)定理若函数f(x)及g(x) （1）

2、在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）g(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0. 则在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得,洛必达法则,注意：洛必达法则的使用条件,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,导数的应用,1) 函数单调性的判定法,定理,2) 函数的极值及其求法,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点,注意：极值是函数的局部性概念（极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,驻点和不可导点统称为临界点,定理1(必要条件,驻点,定理2(第一充

3、分条件,定理3(第二充分条件,求极值的步骤,3) 最大值、最小值问题,步骤,1.求驻点和不可导点,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值,4) 曲线的凹凸与拐点,实际问题求最值应注意,1)建立目标函数,2)求最值,注意：若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值,定理1,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点,定理2,求法1,求法2,5) 函数图形的描绘,利用函数特性描绘函数图形,第一步：确定函数y=f(x)的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f”(x),第二步：求出方程f(x)=0和f”(x)=0在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,第五步：描出与方程f(x)=0和f”(x)=0的根对应的曲线上的点，有时候还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形,第四步：确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势,第三步：确定在这些部分区间内f(x)和f”(x)的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行讨论,例1,解,二、典型例题,例2

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