2008年绵阳市中学自主招生数学卷

1、.2008年绵阳市自主招生数学题一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1、下列因式分解中，结果正确的是（）A、x2yy3=y（x2y2）B、x44=（x2+2）（x）（x+）C、x2x1=x（x1）D、1（a2）2=（a1）（a3）考点：因式分解的应用。分析：A中，还可继续因式分解，原式=y（x+y）（xy）；C中，第二个因式不是整式；D中，原式=（1+a2）（1a+2）=（a1）（3a）解答：解：A、还可以继续分解，故本选项错误；B、x44=（x2+2）（x）（x+），正确；C、分解得到的式子不是整式，本选项错误；D、应为1（a2）2=（a1）（a3），本选项错误故选B点评：本题考

2、查因式分解的定义，平方差公式法分解因式，因式分解一定要分解到每个多项式不能再分解为止；最后结果的因式必须是整式的积的形式2、“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断a+b+c与0的大小”一同学是这样回答的：“由图象可知：当x=1时y0，所以a+b+c0”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A、换元法B、配方法 C、数形结合法D、分类讨论法考点：二次函数图象与系数的关系。专题：数形结合。分析：根据数形结合法的定义可知解答：解：由解析式y=ax2+bx+c可推出，x=1时y=a+b+c；然后结合图象可以看出x=1时对应y的值小于0，所以可得a+b+c0解决此题时将解析式与

3、图象紧密结合，所以解决此题利用的数学思想方法叫做数形结合法故选C点评：数形结合法是解决函数问题经常采用的一种方法，关键是要找出图象与函数解析式之间的联系3、已知实数x满足x2+x=4，则x的值是（）A、2B、1 C、1或2D、2或1考点：换元法解分式方程。 专题：换元法。分析：利用完全平方公式可把原式变为（x）2+x2=0，用十字相乘法可得x的值解答：解：x2+2+x2=0 （x）2+（x）2=0解得x=2或1 故选D点评：本题的关键是把x看成一个整体来计算，即换元法思想4、若直线y=2x1与反比例函数y=的图象交于点P（2，a），则反比例函数y=的图象还必过点（）A、（1，6）B、（1，6）

4、 C、（2，3）D、（2，12）考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式。专题：待定系数法。分析：直线y=2x1经过点P（2，a），代入解析式就得到a的值，进而求出反比例函数的解析式，再根据k=xy对各点进行逐一验证即可解答：解：直线y=2x1经过点P（2，a），a=221=3，把这点代入解析式y=，解得k=6，则反比例函数的解析式是y=，四个选项中只有C：（2）（3）=6故选C点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上5、现规定一种新的运算“*”：m*n=（m+n）mn，那么*=（）A、B、5 C、3D、

5、9考点：有理数的混合运算。专题：新定义。分析：由题意知，相当于m，相当于n，再代入（m+n）mn计算解答：解：根据题意得，*=（+）2=9故选D点评：此题是定义新运算题型直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果解题关键是对号入座不要找错对应关系6、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB+COD=（）A、180B、150 C、160D、170考点：垂线。专题：计算题。分析：利用角的和差关系，将AOB拆分为三个角的和，再利用互余关系求角解答：解：由已知，得AOC=90，BOD=90，AOB+COD=AOD+COD+BOC+COD=AOC+BOD=180故选A点评：本题主要利用角的和差关系求

6、角的度数7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（）A、不增不减B、增加4% C、减少4%D、减少2%考点：有理数的混合运算。专题：应用题。分析：设出2005年的住校人数后，表示出2007年的人数，再比较2007年比2005年的变化的量解答：解：根据题意可知，设2005年的住校人数是x人所以2007年的人数是x（1+20%）（120%）=0.96xx0.96x=0.04x即2007年比2005年减少4%故选C点评：主要考查了有理数混合运算在实际问题的中运用认真审题，准确的

7、列出式子是解题的关键8、一半径为8的圆中，圆心角为锐角，且sin=，则角所对的弦长等于（）A、8B、10 C、8D、16考点：特殊角的三角函数值；垂径定理。分析：根据特殊角的三角函数值和等边三角形的性质解题解答：解：sin=，=60又为圆心角，其两边与它所对的弦的夹角相等，构成等边三角形，弦长等于半径为8故选A点评：本题考查特殊角的三角函数值结合圆的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主9、一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子A、13cmB、4cm

8、C、12cmD、cm考点：勾股定理的应用。专题：应用题。分析：依据题中条件构建直角三角形，利用勾股定理即可求解解答：解：如图：由题意可知FH=4cm、EF=3cm、CH=16cm在RtEFH中，由勾股定理得EH=5cm，EL为筷子，即EL=13cm设HL=h，则在RtEHL中，HL=12cm故选C点评：本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键10、如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm，4cm的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A的位置变化为A1A2A3，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边A2C1与桌面所成的角恰好等于BAC，则A翻滚到

9、A2位置时共走过的路程为（）A、8cmB、8cm C、2cmD、4cm考点：弧长的计算；旋转的性质。分析：A翻滚到A2位置时共走过的路程是两段弧的弧长，第一段是以B为圆心，AB为半径，旋转的角度是90度，第二次是以点C为圆心，AC为半径，旋转的角度是90度，所以根据弧长公式可得解答：解：根据题意得：=4cm，故选D点评：本题的关键是找准各段弧的圆心和半径及圆心角的度数11、一辆汽车从甲地开往乙地，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中汽车出了故障，只好停下修车，修好后，为了按时到达乙地，司机加快了行驶速度并匀速行驶下面是汽车行驶路程S（千米）关于时间t（小时）的函数图象，那么能大致反映汽车行驶情况

10、的图象是（）A、B、C、D、考点：函数的图象。专题：行程问题。分析：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论解答：解：通过分析题意可知，行走规律是：匀速走停匀速走，速度是前慢后快所以图象是C点评：主要考查了函数图象的读图能力12、由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳罗江黄许德阳广汉清白江新都成都那么要为这次列车制作的车票一共有（）A、7种B、8种 C、56种D、28种考点：直线、射线、线段。专题：应用题。分析：从绵阳要经过7个地方，所以要制作7种车票；从罗江要经过6个地方，所以制作6种车票；以此类推，则应分别制作

11、5、4、3、2、1种车票；从而得到总结果数又起点和终点不同，车票不一样，故需要乘以2解答：解：共制作的车票数=（7+6+5+4+3+2+1）2=56（种）故选D点评：本题的关键是要找到由一地到另一地的车票的频数二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13、根据图中的抛物线可以判断：当x1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值考点：二次函数的性质。分析：要确定抛物线的单调性首先要知道其对称轴，然后根据对称轴来确定x的取值范围解答：解：根据图象可知对称轴为x=（1+3）2=1，所以当x1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值故填空答案：1；=1点评：此题主要考查了函数的单调性

12、与对称性14、函数y=中，自变量x的取值范围是x2且x1考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：x+20；分母不等于0，可知：x2+x20，解（x1）（x+2）0，即x1，x2；则就可以求出自变量x的取值范围解答：解：根据题意得：x+20且x2+x20，解得：x2且x1点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数15、如图，

13、在圆O中，直径AB=10，C、D是上半圆上的两个动点弦AC与BD交于点E，则AEAC+BEBD=100考点：圆周角定理；勾股定理；相交弦定理。专题：动点型。分析：连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解解答：解：连接BC，AD，根据直径所对的圆周角是直角，得C=D=90，根据相交弦定理，得AECE=DEEBAEAC+BEBD=AC2ACCE+BD2BDDE=100BC2+100AD2ACCEBDDE=200BE2+CE2AE2+DE2ACCEBDDE=200AEACBEBD，AEAC+BEBD=100点评：此题要熟练运用相交弦定理、勾股定理以及整式的

14、变形整理16、下图是用火柴棍摆放的1个、2个、3个六边形，那么摆100个六边形，需要火柴棍501根考点：规律型：图形的变化类。分析：平面图形的有规律变化，要求学生的通过观察图形解答：解：根据题意分析可得：搭第1个图形需6根火柴；此后，每个图形都比前一个图形多用5根；那么摆100个六边形，需要火柴棍6+996=501根点评：此题考查了分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题17、在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点中，有三个顶点坐标分别是（2，5），（3，1），（1，1），若另外一个顶点在第二象限，则另外一个顶点的坐标是（6，5）考点：坐标与图形性质；平行四边形的性质。分析：根据已知条件

15、，由于（3，1），（1，1）的纵坐标相等，则这两点所在的直线平行于x轴，根据平行四边形的对边平行且相等知，另一点的横坐标为2或6，又由于另一点在第二象限，故可确定出该点坐标解答：解：（3，1），（1，1）的纵坐标相等，则这两点所在的直线平行于x轴，其它两点所在的直线也应平行于x轴，另外一点的纵坐标为5，横坐标为2+（1+3）=2，或者2（1+3）=6，在顶点在第二象限，另外一个顶点的坐标是（6，5）故本题答案为：（6，5）点评：本题结合坐标与图形性质考查了平行四边形的性质，用到的知识点为：平行四边形的对边平行且相等18、参加保险公司的汽车保险，汽车修理费是按分段赔偿，具体赔偿细则如下表某人在汽

16、车修理后在保险公司得到的赔偿金额是2000元，那么此人的汽修理费是2687.5元考点：一元一次不等式的应用。专题：图表型。分析：根据表可以首先确定此人的修理费应该大于1000元，并且小于3000元则赔偿率是80%则若修理费是x元，则在保险公司得到的赔偿金额是（x1000）0.8+300+350元就可以列出方程，求出x的值解答：解：设此人的汽车修理费为x元故5000.6=300（1000500）0.7=350（30001000）0.8=1600300+350+1600=2250，所以此人的汽车修理费在1000到3000之间（x1000）0.8+300+350=2000解得：x=2687.5点评：

17、解决问题的关键是读懂题意，确定修理费的范围，正确表示出赔偿金额是解决本题的关键三、解答题（共7小题，满分78分）19、先化简，再求值：，其中考点：分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值。专题：计算题。分析：先把分式化简，再把x的值化简，最后代入求值解答：解：原式=， 原式=点评：考查了分式的混合运算以及实数的基本运算20、在ABC中，ACB=90，AC=以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：要证明AEBE，只要证明AEB是直角即可，当AEB=90时，AEC+DEB=90又因为DBE+DEB=90，那么

18、要证明AEEB，只要证明AEC=DBE即可那么我们可通过构建全等三角形来实现过E作EFBC交BD于F，DEF=DCB=45根据E是CD中点，那么EF是直角三角形BCD的中位线，那么EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的条件有EF=AC，CE=BF，只要再得出两边的夹角相等即可，我们发现ACE=BFE=90+45=135，由此就凑齐了三角形全等的条件，两三角形就全等了AEC=DBE解答：解：过E作EFBC交BD于FACE=ACB+BCE=135，DFE=DBC=45，EFB=135又EF=BC，EFBC，AC=BC，EF=AC，CE=FBEFBACECEA=DBE又DB

19、E+DEB=90，DEB+CEA=90故AEB=90AEEB点评：本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，利用全等三角形得出线段和角相等是解此类题的关键21、绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多

20、少平方米考点：二元一次方程组的应用。分析：（1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积+计划建造新校舍面积=9000平方米，计划建造新校舍面积90%+计划拆除旧校舍面积（1+10%）=9000平方米依等量关系列方程，再求解（2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积解答：解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米（2）计划资金y1=450080+4500800=3960000元实用资金y2=1.1450080+0.94500800=495080+4050800=396000+3240000=3636000节余资金

21、：39600003636000=324000可建绿化面积=平方米答：可绿化面积1620平方米点评：要分别区分出计划和实际所对应的工作面积，然后列出方程组解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解22、已知直线y=x+a与y轴的负半轴交于点A，直线y=2x+8与x轴交于点B，与y轴交于点C，AO：CO=7：8（O是坐标原点），两条直线交于点P（1）求a的值及点P的坐标；（2）求四边形AOBP的面积S考点：一次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）求出C点坐标，得到OC的长，根据AO：CO=7：8可以得到OA的长，根据一次函数的性质可知a=7；根据函数图

22、象的交点即为函数解析式组成的方程组的解，将两函数解析式组成方程组，可求得P点坐标（2）将S四边形AOBP转化为S梯形OBPD+SADP来解答解答：解：（1）因直线y=x+a与y轴负半轴交于点A，故a0，又由题知B（4，0），C（0，8），而AO：CO=7：8，故a=7；由得即P（5，2）故：a=7，点P的坐标为（5，2）（2）过P作PDy轴于点D依题知：OB=4，OD=2，PD=5，AD=5，S四边形AOBP=S梯形OBPD+SADP=（OB+PD）OD+ADPD=（45）2+55=点评：解答此题要抓住两个关键：（1）函数图象的交点即为函数解析式组成的方程组的解，将两函数解析式组成方程组，即可

23、解出交点坐标；（2）将四边形的面积转化为梯形和三角形的面积来解23、如图：已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，圆O的割线DEF垂直于AB于点G，交BC于点H，DC=DH（1）求证：DC是圆O的切线；（2）请你再添加一个条件，可使结论BH2=BGBO成立，说明理由；（3）在满足以上所有的条件下，AB=10，EF=8求sinA的值考点：切线的判定；垂径定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：综合题。分析：（1）要求证：DC是圆O的切线，只要证明OCPC即可（2）要证明BH2=BGBO成立，只要求证BHGBOH，只要添加条件：H为BC的中点就可以（3）AB与EF是两条相交的弦，根据相交弦

24、定理得到AGBG=EG2即（ABBG）BE=16即BG210BG+16=0，就可以求出BG的长进而求出BC，就可以求出sinA的值解答：解：（1）连接OD、OC相交于M，ACB=90，CO=AO，ACO=CAO，CAO+B=90，B+BHG=90CAO=BHGDC=DH， DCH=DHC DCH=ACODCH+HCO=ACO+OCH=90 OCPC 即DC为切线（2）加条件：H为BC的中点， OHHB BHGBOH BH2=BDBG（3）AB=10，EF=8，EG=4 AGBG=EG2=16 （ABBG）BE=16即BG210BG+16=0 BG=2或8（舍）BH2=BGBO=25=10， B

25、H= sinA=点评：证明一条直线是圆的切线，只要证明直线经过半径的外端点，且垂直于这条半径就可以证明线段的积相等的问题可以转化为三角形相似的问题24、（2004泉州）如图，菱形ABCD的边长为12cm，A=60，点P从点A出发沿线路ABBD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DCCBBA做匀速运动（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断AMN的形状，并说明理由；（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若BEF与题（1）中的AMN

26、相似，试求v的值考点：勾股定理的逆定理；菱形的性质；相似三角形的性质。专题：综合题；数形结合。分析：（1）易得ABD是等边三角形，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，则AP，BF都可以求出，就可以判断N，F的位置，根据直角三角形的性质，判断AMN的形状；（2）根据BEF与AMN相似得到BEF为直角三角形，就可以求出SQ的长，已知时间，就可以求出速度解答：解：（1）A=60，AD=AB=12，ABD为等边三角形，故BD=12，又VP=2cm/sSP=VPt=212=24（cm），P点到达D点，即M与D重合vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.512=30（cm），N点在AB之中点，即AN=

27、BN=6（cm），AND=90即AMN为直角三角形；（2）VP=2m/s t=3s SP=6cm， E为BD的中点，又BEF与AMN相似，BEF为直角三角形，且EBF=60，BPF=30，Q到达F1处：SQ=BPBF1=3（cm），故VQ=1（cm/秒）；Q到达F2处：SQ=BP=9，故VQ=（cm/秒）；Q到达F3处：SQ=6+2BP=18，故VQ=6（cm/秒）点评：本题是图形与函数相结合的问题，正确根据条件得出方程是解题关键25、在ABC中，C=90，AC，BC的长分别是b，a，且cotB=ABcosA（1）求证：b2=a；（2）若b=2，抛物线y=m（xb）2+a与直线y=x+4交于点M（x1，y1）和点N（x2，y2），且MON的面积为6（O是坐标原点）求m的值；（3）若，抛物线y=n（x2+px+3