高中数学 第一章 常用逻辑用语 1_1_2 四种命题 1_1.3 四种命题间的相互关系 新人教A版选修2-1

1、1.1命题及其关系 1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系,自主学习 新知突破,1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题 2会写出一个命题的另外三种命题形式 3认识四种命题间的相互关系及真假关系 4会利用命题真假的等价性解决简单问题,为了研究问题的需要，有时需要由已知命题构造出新命题：如命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”可构造出下面几个新命题： 若两个三角形的面积相等，则它们全等 若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 若两个三角形的面积不相等，则它们不全等 上面命题与命题、的条件和结论有什么关系,提示与交换命题的条件和结论，与同时否定命题的条件和结论，与一个命题的条件和结论恰

2、好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,四种命题,结论,条件,互逆命题,逆命题,若q，则p,条件的否定,结论的否定,否命题,若p，则q,结论的否定,条件的否定,逆否命题,若q，则p,四种命题之间的相互关系,1四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况,四种命题的真假性,真,真,假,真,真,假,假,假,2.四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性 (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_,相同,没有关系,1“互逆命题”、“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”的区别 两者具有不同的含义，具体区分如下： 前者说的是两个命题的关系，同时

3、涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题,2“命题”提醒 (1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式 (2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断 (3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了,1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数

4、，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数 答案：B,2命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是() A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数 B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析：原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题；若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 答案：B,3命题“若ab0，则a0”与命题“若a0，

5、则ab0”是_命题 解析：两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念 答案：互逆,4写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假 (1)菱形的对角线互相垂直； (2)等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧 解析：(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题 否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题 逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题,2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题 否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题 逆否命题：若两个三角形不

6、全等，则这两个三角形不等高，是假命题,3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题,合作探究 课堂互动,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题 (1)若q1，则方程x22xq0有实根； (2)若ab0，则a0; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形 思路点拨,四种命题的概念,1)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1. 否命题：若q1，则方程x22xq0无实根 逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1.

7、 (2)逆命题：若a0，则ab0. 否命题：若ab0，则a0. 逆否命题：若a0，则ab0,3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高,1)逆命题的写法 给出一个命题，将它作为原命题并交换其条件和结论，即得原命题的逆命题 (2)写原命题的否命题的步骤 找出原命题的条件和结论； 对原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论； 所得命题即为原命题的否命题,3)逆否命题的两种写法 先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题 先写出原命题的否命题，再写出

8、否命题的逆命题，即得逆否命题,1写出下列原命题的其他三种命题： (1)在ABC中，若ab，则AB； (2)正偶数不是素数 解析：(1)逆命题：在ABC中，若AB，则ab； 否命题：在ABC中，若ab，则AB； 逆否命题：在ABC中，若AB，则ab. (2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数； 否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数； 逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数,下列命题中正确的是() “若x2y20，则x，y不全为零”的否命题； “正三角形都相似”的逆命题； “若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题； “若b3，则b29”的逆否命题 AB CD,四种命题真假的判断

9、,解析：原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”真命题 原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”假命题,若b3，则b29”是真命题， 其逆否命题是真命题 答案：B,判断四种命题的真假，首先要正确写出四种命题，如果直接判断有难度可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性先判断等价命题的真假即可,2)有下列四个命题： “已知函数yf(x)，xD，若D关于原点对称，则函数yf(x)，xD为奇函数”的逆命题； “对应边平行的两角相等”的否命题； “若a0，则方程axb0有实根”的逆否命题； “若ABB，则BA”的逆否命题 其中的真命题是() AB CD,答案：(1)

10、D(2)C,证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0,逆否命题的应用,证明：证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR， 若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”4分 若ab0，则ab，ba，6分 又f(x)在(，)上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a).10分 f(a)f(b)f(a)f(b)， 即逆否命题为真命题.11分 原命题为真命题.12分,证法二：假设ab0， 则ab，ba，2分 又f(x)在(，)上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a).6分 f(a)f(b)f(a)f(b

11、).9分 这与已知条件f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾.11分 因此假设不成立，故ab0.12分,由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题,3判断命题“如果m0，则x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假 解析：方法一：m0， 12m0，12m40. 方程x22x3m0的判别式12m40. 原命题“如果m0，则x22x3m0有实数根”为真命题又因原命题与它的逆否命题等价，所以原命题“如果m0，则x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真命题,用“若p，则q”的形式写出(1)的原命题，(2)的否命题 (1)负数的平方是正数 (2)正方形的四条边相等 【错解】(1)原命题：若一个数是负数的平方，则这个数是正数 (2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边都不相等,错因】(1)分不清命题的条件和结论在原命题中，把“负数的平方”