高中数学 第2章 数列 2.1 数列 苏教版必修5

1、2.1数列,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,1.数列的概念及分类 (1)数列的有关概念 数列的定义:按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项. 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为an,其中a1称为数列an的第1项(或称为首项),a2称为第2项,an称为第n项.an是数列的第n项叫做数列的通项. (2)数列的分类:按数列的项数是否有限,分为有穷数列和 无穷数列,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做 无穷数列. 预习交流1 1,2,3,4,5和5,4,3,2,1是相同数列吗? 提示:不是,数列具有顺序性,目标导航,预习引导,2.数列与函

2、数的关系 在数列an中,对于每一个正整数n(或n1,2,k),都有一个数an与之对应,因此,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,k)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),f(n),. 预习交流2 为什么说数列是一类特殊的函数? 提示:数列 函数. 即数列是一种特殊的函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式,目标导航,预习引导,3.数列的表示 数列可以用通项公式来描述,也可以通过列表或图象来表示.一般地,如果

3、数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列用图象表示,可以以序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,描点画图来表示一个数列,数列的图象是一系列孤立的点,从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况. 预习交流3 an与an是否为同一概念? 提示:an与an是不同的概念.an表示数列a1,a2,a3,an,而an仅表示数列an的第n项,目标导航,预习引导,预习交流4 (1)已知数列的通项公式 ,那么这个数列的第5项a5=. (2)下列说法正确的是(填序号). 同一个数在数列中可能重复出现; 数列的通项公式是定义域为正整数集N*的函数; 任何数列的通

4、项公式都存在; 数列的通项公式是唯一的. (3)数列1,2,4,8,16,32,的一个通项公式an=. 提示:(1) (2)(3)2n-1,一,二,三,一、根据通项公式求数列的项 活动与探究 例1已知数列an的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出数列的第4项和第6项; (2)-49是否是该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否是该数列的一项呢? 思路分析:(1)令n=4,n=6,分别代入通项公式,即可求得a4,a6.(2)令an=-49和68,求得n值,若nN*,则是数列的项,否则不是该数列的项,一,二,三,一,二,三,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.数列的通项公式给出了第n项a

5、n与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,便可以求出相应的各项,实际上相当于已知函数的定义域和解析式,求函数值. 2.数列的通项公式是项an与项数n的等量关系式.从函数的思想看,就是函数值an与自变量n的等量关系式.利用通项公式求数列中的项的问题,从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题.因此,用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单,一,二,三,思路分析:从前几项中观察出一个项与序号之间的规律,用一个式子表达出来即可,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2.写出下列数列的一个通项公式,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.用观察归纳法写出一个数列的通项公式,体现了由特殊

6、到一般的思维规律,具体可参考以下几个思路: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系式. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再乘以(-1)k处理符号. (4)对于周期性出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等,一,二,三,2.熟记一些基本数列的通项公式,如: (1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an=(-1)n; (2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=n; (3)数列1,3,5,7,的通项公式是an=2n-1; (4)数列2,4,6,8,的通项公式是

7、an=2n; (5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=2n-1; (6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=n2,一,二,三,思路分析:观察得到数列的通项公式,判断an与an+1之间的关系,用作差法,一,二,三,迁移与应用 1.数列-2n2+29n+3中最大项的值是. 答案:108 解析:由于an=-2n2+29n+3,一,二,三,一,二,三,名师点津 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系,数列的通项公式就是函数的解析式,因此用函数的思想方法去解决数列问题,同时要注意函数的定义域. 数列中求数列最大(小)项的问题是常见题目,就是用函数的思想求函数的最值问题,可利用函数求最值的方法求数列

8、中的最大(小)项问题,如图象法等,可使问题简单化. 数列中求数列的单调性问题也是常见题目,就是用函数的思想求函数的单调性问题,可利用函数单调性的定义求数列的单调性,就使问题函数化了. 总之,在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到,利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2.已知数列的项与项数的关系如下表: 则a+b=. 答案:15 解析:由表可知,当项数为奇数时,an=n,当项数为偶数时,an=2n.则a=5,b=10,所以a+b=15,2,3,4,5,1,6,3.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,中,x的值是. 答案:21 解析:观察数列中的前有限项,可发现规律: 1+1=2,1+2=3,2+3=5,8+13=x=21,13+21=34,x=21,2,3,4,5,1,6,4.数列2,22,222,2 222,的一个