辽宁省沈阳市2019届高三数学教学质量监测试题（三）理（含解析）

1、辽宁省沈阳市2019届高三数学教学质量监测试题（三）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知为虚数单位，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用的周期求解.【详解】由于，且的周期为4，所以原式=.故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1B. 5C. 6D. 无数个【答案】C【解析】【分析】直接列举求出A和A中元素个数得解.【详解】由题得，所以A中元素的个数为6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这

2、些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.“”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简直线与圆相切，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与圆相切，所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若非零向量满足，则的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.【详解】由题得，所以.故选：D【点睛】本题主要

3、考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.己知数列是等差数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，所以考点：1、等差数列；2、三角函数求值.6.我国古代有着辉煌的数学研究成果周牌算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设所选2部

4、专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，所以，因此,故本题选A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.7.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.8.已知函数的图象如图所示，则的可能取值（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的对称性得函数为偶函数，可得，由

5、可得，由（1）（3）可得可取【详解】的图象关于轴对称，为偶函数，（1）（3），取，则故选：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】令，判断其奇偶性单调性即可得出【详解】令，则，在上为奇函数，函数在上单调递增，化为：，即，化为：，即，解得实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题10.如图，在正四棱柱，中，底面

6、边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值【详解】以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，2，0，则，2，0，0，设平面的法向量为，则，令可得，1，故，直线与平面所成角的正弦值为，解得：故选：【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题11.已如是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点，若，记该双曲线的离心率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题先求得M的纵坐标，再列a,b,c的关系式

7、求解即可【详解】由题意得，该双曲线的一条渐近线为，将代入得，即， ， ，解得，故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，渐近线方程，离心率求解，准确计算是关键，是基础题12.已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，

8、又当时，所以方程可以化为：，即，记，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.二、填空题.13.已知球的内接圆锥体积为之，其底面半径为1，则球的表面积为_【答案】【解析】【分析】利用圆锥体积公式求得圆锥的高，再利用直角三角形建立关于的方程，即可得解.【详解】由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为则，可求得设球半径为，可得方程：，解得：本题正确结果：【点睛】此题考查了球的内接圆锥问

9、题，关键是利用勾股定理建立关于半径的方程，属于基础题.14.若，则的展开式中常数项为_【答案】【解析】【分析】先由微积分基本定理求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为；所以的展开式的通项公式为：，令，则，所以常数项为.故答案为【点睛】本题主要考查微积分基本定理和二项式定理，熟记公式即可求解，属于基础题型.15.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，正三角形，又，所以轴，设，则，即，故答案

10、为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解16.数列的前项和为，且，则数列的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知求得，再由配方法求数列的最小值【详解】由，得，当时，适合上式，则当时故答案为：【点睛】本题考查数列递推式，考查了由数列的前项和求数列的通项公式，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在中，角的对边分别为，且满足（其中）（1）求证：；（2）若，求的取值范围【答

11、案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，由正弦定理，二倍角公式可得，可证A=2B；（2）由两角和的正弦函数公式可得（B），由范围，可得，利用正弦函数的图象和性质即可得解【详解】（1）由已知，两边同时除以，得化简，得由正弦定理和余弦定理，得解得，所以A=2B或所以A=2B或B=C又因为，所以A=2B（2）由得由，解得,所以，所以【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满20

12、0元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【答案】（1）（2）方案二更为划算【解析】【分析】（1）设事件为“顾客获得半价”，可以求出，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半

13、价的概率；（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额元的可能取值，求出，最后进行比较得出结论.【详解】（1）设事件为“顾客获得半价”，则，所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：（2）若选择方案一，则付款金额为若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为，所以方案二更为划算【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.19.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，为上的点，且平面（1）求证：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角余弦值【答案】（1）见证明；（2）.【解析】【分析】（1）通过侧面底面，

14、可以证明出面，这样可以证明出，再利用平面，可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明出面，最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面；（2）利用三棱锥体积公式可得，利用基本不等式可以求出三棱锥体积最大值，此时可以求出的长度，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系求出相应点的坐标，求出面的一个法向量，面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算公式，可以求出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，面，面，又面，平面，面，平面，面，面，平面平面（2），求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值令，由（1）知，而，当且仅当，即时，的最大值为如图所示，

15、分别取线段，中点，连接，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知，所以，令为面的一个法向量，则有，易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角则.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题.20.已知抛物线的焦点为，是上一点，且（1）求的方程；（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由是上一点，可以得到

16、一个等式；由抛物线定义，结合，又得到一个等式，二个等式组成一个方程组，解这个方程组，这样就可以求出抛物线的方程；（2）设出直线方程为，与抛物线方程联立，设点，利用根与系数的关系可以求出，利用弦长公式可以求出的长，利用导数求出两条切线的斜率，可以证明出，的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，即可证明四边形存在外接圆，根据长度的表达式，可以求出外接圆面积的最小值.【详解】（1）解：根据题意知，因为，所以联立解得所以抛物线的方程为（2）四边形存在外接圆设直线方程为，代入中，得，设点，则，且所以，因为，即，所以因此，切线的斜率为，切线的斜率为，由于，所以，即是直角三角形，所以的外接圆的圆心为线段

17、的中点，线段是圆的直径，所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为【点睛】本题考查了抛物线的定义的运用、抛物线的切线的斜率的应用、证明四边形是否存在外接圆问题.21.已知（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：（2）时，求证：【答案】（1） 单调递增区间为，单调递减区间为； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值，令，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，又由

18、，且是函数的极值点，所以，解得，又时，在上，是增函数，且，所以，得，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知因为，在上，是增函数，又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），所以，使得，所以，即，在上，函数是减函数，在上，函数是增函数，所以，当时，取得极小值，也是最小值，所以，令，则，当时，函数单调递减，所以，即成立，【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题22.选修4-4坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点（1）写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通