一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

1、z一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为 200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率解 设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得 X1 = 0.1 , X2= 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2= n求解，其中m vn

2、.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 x)2= n即可求解，其中 m n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品， 该商品可以自行定价， 若每件商品 售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a 21)(350 10a) = 400，整理，得 a2 56a+775 = 0 ,解这个方程，得 a1 = 25 , a2 = 31.因为21 X (1+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以 350 10 a= 350 10

3、X 25 = 100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后 将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得1000(1+ x)- 500(1+0.9 x) = 530.整理，得 90x2+145 x- 3 = 0.解这个方

4、程，得 xi0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2 1.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.1则根据题意，得 2 (x+0.1+ x

5、+1.4+0.1) -x= 1.8，整理，得 x2+0.8 x- 1.8 = 0.解这个方程，得X1 = - 1.8 (舍去)，X2= 1.所以 x+1.4+0.1= 1 + 1.4+0.1= 2.5.答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味， 就能从中找到等量 关系，列出方程求解五、古诗问题例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意

6、，得 x2= 10(x 3)+ x，即x2-11x+30 = 0，解这个方程，得 x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记 1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误 试计算这次比赛共有多少个选手 参加解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n 1)个选手比赛一局，共计n(

7、n 1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2n(n1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n 1)分显然(n 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 ,1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n 1) = 1980，得n2 n 1980 = 0 ,解得 n1 = 45 , n2= 44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.都可以仿照些方说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景

8、区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游因为1000X 25 = 25000 V27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得1000 20(x 25) x= 27000.整理，得 x2 75X+1350 = 0,解这个方程，得 xi = 45 , X2= 30.当 x = 45 时，1000 20( x 25) = 600 V 700，故舍去 xi ；当 X2= 30 时，1000 20(x 25) = 900 700，符合

9、题意答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游 说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论如果人数不超过25人， 人均旅游费用为1000元如果人数超过21 人，人均旅游费丿 但人均旅游费用:八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二（精确到0.1m）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理

10、由2解 都能.(1)设小路宽为 X,则 18X+16 X x2= 3 x 18X 15,即 X2 34X+180 = 0 ,341436解这个方程，得x =，即X沁6.6.(2)设扇形半径为 r，则 3.14 r2 =3 x 18x 15,即 r257.32，所以 r 7.6.或形变明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变;积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在 ABC 中，/ C= 90?/SPAN , AC= 6cm , BC= 8cm，点 P 从 点A出发沿边 AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/

11、s的速度移动（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使 PCQ的面积为8平方厘米?(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于 ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由因为/ C = 90?/SPAN，所以 AB = .J6=10 (cm )(1 )设 xs 后，可使 PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = xcm , PC= (6 x)cm , CQ =2xcm.则根据题意，得 ( x) o2= 8.整理，得x2 6x+8 = 0,解这个方程，得X1 = 2, X2=4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 PCQ的面积为8cm 2.(2)设点P

12、出发x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的一半则根据题意，得 2(6 x)x= 2x2 X 6X 8整理，得x2 6X+12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据 路程=速度x时间.十、梯子问题例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？(2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少 米？解 依题意，梯子的顶

13、端距墙角(1 )若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+ x)2 = 102，整理，得x2+12 x 15 = 0 ,解这个方程，得X1 1.14 , X2 13.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2) 当梯子底端水平向外滑动 1m时，设梯子顶端向下滑动xm.则根据勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+1) 2= 100.整理，得X2- 16X+13 = 0.解这个方程，得X1 0.86 , X2 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3) 设梯子顶端向下滑动 xm时

14、，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)2+(6+ x)2= 102，整理，得2x2 4x = 0,解这个方程，得 X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动 2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题LJ u例11如图5所示，我海军基地位于 A处，在其正南方向200海里处有一重要目标 B,在B的正东方向200海里处有一重要目标 C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏

15、西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的 2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于 E处， 那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC因为AB丄BC, D为AC的中点，所以 DF1=2 AB = 100海里，所以，小岛 D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了 x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE) CF= (300 - 2x)海里.在Rt DEF中，根据勾股定理可得方程x2 = 100 2+(300 -

16、2x)2，整理，得3x2 -1200 x+100000 = 0.解这个方程，得X1 = 200 -3 疋118.4 , X2 = 200+3(不合题意，舍去)所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形 ABCD的边长为12，划分成12X 12个小正方形格，将边长 为n (n为整数，且2w n0,方程有两个实数根，若b2 4acv 0，方程没有实数根，本题中的b2 4ac = 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积

17、问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?下底边BC上，点F在腰AB上.(1 )若EF平分等腰梯形 ABCD的周长，设 BE长为X,试用含x的代数式表示 窗EF的面积；(2)是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；(3)是否存在线段 EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由解(1)由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12-r则可得，F

18、G=5X4,24所以 Szbef=BEFG= x2+ 5 x (7 x 10 ).(2)存在.由( 1)得524x2+ 5 x = 14，解这个方程，得 xi = 7, X2 = 5 (不合题意, 舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时 BE= 7.(3)不存在.假设存在，显然有 S/BEF: S多边形AFECD = 1 : 2 ,2 16 28即(BE+BF)： (AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2 24x+70 = 0,此时的求根公式中的 b2 4ac = 576 840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段 EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5