ARMA模型ARCH模型GARCH模型经典时序模型

1、国际金价变动的分析黄金是人类最早发现的金属之一，早在旧石器时期晚期，人们就注意到这种“闪闪发光”的东西，并被它吸引。放眼人类历史长河，黄金在人类社会扮演着各种角色，例如，祭祀的祭品、精美的工艺品、财富的象征、终极货币、战争的帮凶、稳定经济的功臣等等。在金融海啸席卷全球之后，黄金的光泽似乎更加的耀眼，每盎司黄金从2007年2月的650每元左右上涨到2009年十一月的1100美元以上，涨幅接近百分之百！回溯200多年的历史，在这期间黄金价格有过三次大涨行情与两次大跌行情，下面对这几次行情进行回顾，一一分析金价变动原因。金价上涨行情第一次金价上涨发生在美国内战期间（1861-1865年），时间是18

2、62年到1864年。1862年，美国国会通过了一个法定货币法案，规定名为“绿背美钞”的纸币可以作为货币流通。绿背美钞与黄金之间并没有法定比价关系，实际上就是放弃金本位制。随着纸币的大量印制，通货膨胀不可避免。在1862年到1864年两年的时间里，金价上涨幅度250300。第二次金价上涨在19701980年。1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。在二次世界大战以后，为了援助欧洲各国灾后重建，美国不断地向世界输入美元，欧洲也由战后的“美元荒”过度到了1960年代末的“美元灾”

3、。当1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，也就是进入全面通货膨胀时代，黄金出现暴涨：从35美元/盎司涨到1980年的850美元/盎司。第三次金价上涨则是2003年至今。在网络泡沫与“9.11”之后，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5降到1（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。这一极为宽松的货币政策为随后几年美元的大幅贬值，以及美国向全世界输送通货膨胀奠定了坚实的基础，致使2008年全世界有70多个国家的通胀率达到两位数。在这期间金价上涨了300%以上。金价下跌行情第

4、一次金价下跌：1864-1879年，由1英镑的黄金需要12美元跌到1英镑黄金值4.86美元。美国国会在1875年通过金元恢复法案。它授权财政部从1879年1月1日起，恢复使用黄金支付所有债务价格为战前的4.86美元兑1英镑黄金。法案提出了减少绿背美钞供应的方案：将绿背美钞的供应量限制在3亿美元以下，要求财政部收回8200万美元的纸币，并授权美国财政部从美国政府债券销售中建立黄金储备。在经济萧条、战后长期通货紧缩以及财政部逐渐收紧货币供应的综合作用下，到1878年底，减少数量后的纸币正好与已经增加的黄金储备大致相等，价格也跌到了战前的水平，绿背美钞的价格自1862年发行以来首次与黄金价格相等。政

5、府收紧货币导致通货紧缩就会使货币升值，使金价下跌。第二次金价下跌，1980-1999年，金价由850美元/盎司跌到252美元/盎司。1979年，反通货膨胀斗士沃尔克出任美联储主席，沃尔克上任伊始便祭起“打击世界范围的通货膨胀”大旗，与紧密同盟英国一道使美元借贷变得昂贵无比。美元拆借利息平均值从1979年的11.2一下子涨到1981年的20，基本利率更高达21.5，国债收益率冲上17.3。与此同时，英国首相撒切尔夫人也于1979年5月当选，她发誓“要把通货膨胀从经济中驱除出去”，她上任仅一个月就决定把基准利率在12个星期之内从12提高到17。在如此短的时间之内把借贷成本猛然提高42，在两位反通胀

6、斗士的不懈努力下，世界通货膨胀终于被遏制住，美国的通货膨胀率由1980年的13.58下降到1986年的1.91。黄金价格也开始节节下跌。在此大背景下，欧洲一些央行才认为“黄金无用”，开始出售黄金，压低金价，致使金价出现了19年的下跌走势。本文搜集了1991年11月13日到2009年11月25日每周的国际金价来研究黄金价格的变动（数据来自http:/fx.sauder.ubc.ca/）。下面是这段时期金价变动的具体分析：1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。在第二次世界大战

7、后，为了援助欧洲各国重建，美元被源源不断的输入欧洲，1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，随之而来的是全球性的通货膨胀，从1971年每盎司黄金35美元到1980年每盎司黄金850美元，黄金价格上涨了24倍！1979年沃尔克出任美联储主席，他坚持打击“世界范围内的通货膨胀”，他提高贷款利率，让美元借贷变得昂贵无比。同年5月，撒切尔夫人当选英国首相，她上任仅一个月就决定把基准利率在12个星期之内从12提高到17。在如此短的时间之内把借贷成本猛然提高42。在他们共同的努力下世界通货膨胀终于被遏制住，美国的通货膨胀率由1980年的13.58下降到

8、1986年的1.91。黄金价格也开始节节下跌。在这样的情况下，欧洲一些央行开始认为“黄金无用”，大量抛售黄金，压低金价，此后很长时间里黄金价格呈现下跌走势。直到1994年金价才开始处于平稳，1994年到1996年间，金价没有太大的波动。1997年3月5日，瑞士政府宣布将在未来10年内出售840吨黄金储备。5月份德国银行又传出消息，中央银行要抛售黄金。7月份澳大利亚中央银行宣布，以抛售167吨黄金。7月7日纽约市场金价跌至314.1美元，11月跌破300美元，12月7日创下12年以来的最低点282.35美元每盎司。和平的主流趋势对经济生活中发挥着作用。1999年10月，金价触及两年高点338美元

9、.因欧洲15家央行达成协议,限制出售黄金.黄金市场看涨人气开始增多。2001年9月11日上午，美国纽约和华盛顿等地接连遭受恐怖袭击，位于纽约曼哈顿闹市南边的国际世贸大楼在恐怖袭击中化为废墟。世界对此深感震惊，国际金融市场在极度恐惧中大幅震荡。全球股市大跌，而具有避险功能的黄金备受追捧，市场上出现了抢购黄金的热潮，金价大幅上升。同时，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5降到1（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。这一极为宽松的货币政策为随后几年美元的大幅贬值，以及美国向全世界输送通货膨胀奠定了坚实的基础，致使2008年全世界

10、有70多个国家的通胀率达到两位数，这也是这次金价上涨的原因。在种种事件共同作用下，从2001年开始国际金价开始了快速上涨。2007年8月开始席卷美国、欧盟和日本等世界主要金融市场，美元受次贷危机危机影响大幅下跌，黄金的避险功能再次突显，金价一个更快得速度上涨。从之前的分析可以看出，金本位的放弃，美元的贬值跟国际金价变动有着极其密切的关系。在美元预期贬值或者已经发生贬值的时候，作为具有避险功能的黄金就会受到欢迎，价格就会上升。当美元币值稳定，世界的通货膨胀不大时，持有美元是安全的，黄金的需求会下降。在经济波动加大的时期，预测金价变动，估计黄金收益率的波动情况，对投资于资产避险等方面都具有重要指导

11、作用。第一部分确定性时间序列建模一 趋势项拟合 从图形可以看出金价变动有一定的趋势性，在1996年之前金价变动相对较小，呈线性变动；96年之后金价有了较大的变动，大体近似一个抛物线。对于数据分段拟合趋势项，对于，在1996年2月21日所在周之前的数据用直线拟合，对之后的数据用这样的抛物线去拟合。拟合结果如下：直线部分：曲线部分：拟合结果具体数值见附件。图形如下：用原数据减去趋势项，得到剔除了趋势项后的序列，记为，图形如下：二 “季节”调整 将一年视为有52个周，将各年中同一周列出，求其平均值，视为“季节项”，记为。将剔除了趋势项和季节项的序列记为。对原数据做季节调整，即用原数据减去季节性，结果

12、记为。数据见附件，图形如下：季节项 从图中看出金价在年底会走高，这一结果符合现实情况。剔除趋势项与季节项的序列季节调整后的序列三 确定性模型预测对剔除了趋势项的序列再进行趋势预测，预测出下期的不含季节项的值，然后添加季节项，得到预测值。首先对“季节”调整后的数据再进行趋势预测，仍然像之前对1996年2月21所在周之前的数据用直线拟合，之后的用抛物线拟合，拟合结果如下：直线趋势：抛物线部分：预测结果：预测结果显示2009年11月28日所在周平均进价为1101.653美元/盎司。预测误差第二部分平稳序列建模ARMA模型对金价数据进行差分，记为dly，dlyt为每盎司黄金价格变动序列。一单位根检验使

13、用不含趋势项、不含均值项的ADF检验对dlyt平稳性进行检验，结果如下：Null Hypothesis: Y has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=21)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-20.802000.0000Test critical values:1% level-2.5% level-1.10% level-1.*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augm

14、ented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(Y)Method: Least SquaresDate: 12/09/09 Time: 19:45Sample (adjusted): 12/04/1991 11/25/2009Included observations: 939 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.Y(-1)-0.0.-20.802000.0000D(Y(-1).0057R-squared0.Mean depende

15、nt var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var14.13205S.E. of regression10.99947Akaike info criterion7.Sum squared resid.1Schwarz criterion7.Log likelihood-3582.961Hannan-Quinn criter.7.Durbin-Watson stat1.因为DF=-20.80200-2.，所以拒绝零假设，yt序列是平稳的。可以建立ARMA模型。二模型识别做yt序列的相关图跟偏相关图，以确定模型形式与阶数，图形如下： 从图中看出，可以对yt

16、序列建立ARMA（2，2）模型。三模型估计对dlyt建立ARMA（2，2）模型，结果估计如下：Dependent Variable: D(LOG(Y)Method: Least SquaresDate: 12/13/09 Time: 13:06Sample (adjusted): 12/04/1991 11/25/2009Included observations: 939 after adjustmentsConvergence achieved after 18 iterationsMA Backcast: 11/20/1991 11/27/1991VariableCoefficientS

17、td. Errort-StatisticProb.AR(1)-1.0.-10.423610.0000AR(2)-0.0.-2.0.0054MA(1)57290.0000MA(2).0000R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-5.Sum squared resid0.Schwarz criterion-5.Log likelihood2445.031Hannan-Quinn cr

18、iter.-5.Durbin-Watson stat1.Inverted AR Roots-.34-.85Inverted MA Roots-.72-.10i-.72+.10i下图显示特征方程根的倒数，均在单位圆之内。对模型进行Q检验，结果如下：结果显示：，残差存在序列相关，模型设定不合适。四.模型重新设定及估计经过尝试决定建立不含常数项的如下的AR（5）模型：模型估计结果如下：Dependent Variable: DLYMethod: Least SquaresDate: 12/13/09 Time: 13:27Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/200

19、9Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.AR(1).0000AR(2)-0.0.-3.0.0009AR(5)-0.0.-3.0.0011R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-5.S

20、um squared resid0.Schwarz criterion-5.Log likelihood2438.208Hannan-Quinn criter.-5.Durbin-Watson stat1.Inverted AR Roots.54-.39i.54+.39i-.13+.63i-.13-.63i-.57下图显示特征方程根的倒数。均在单位圆之内。模型的Q检验：，通过Q检验。五.预测根据之前建立的模型估计原始数据下一周的金价：预测误差：第三部分波动率模型一ARCH模型的建立对收益率序列之前模型的残差项作图如下：图1图2图1中DLY为收益率序列的线图，DLYE为AR（5）模型残差项的图，

21、DLYABSE为残差项绝对值序列的图，DLYE2为残差项平方序列的图，残差序列表现出明显的集群现象；图2为残差的直方图，右边给出残差序列的风度为8.远大于3，残差序列表现出高峰厚尾。由以上两图可以看出模型存在自回归条件异方差。下面用LM检验考察模型是否存在自回归条件异方差，结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic29.21301Prob. F(1,934)0.0000Obs*R-squared28.38767Prob. Chi-Square(1)0.0000Test Equation:Dependent Variable: RESID2Meth

22、od: Least SquaresDate: 12/13/09 Time: 14:31Sample: 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.3.01E-059.0.0000RESID2(-1).0000R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-11.

23、21189Sum squared resid0.Schwarz criterion-11.20155Log likelihood5249.165Hannan-Quinn criter.-11.20795F-statistic29.21301Durbin-Watson stat1.Prob(F-statistic)0.检验结果表明残差项存在自回归条件异方差，应该建立ARCH模型，经过尝试应该建立ARCH（5），模型估计结果如下：Dependent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/13

24、/09 Time: 15:38Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 26 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)2 + C(6)*RESID(-2)2 + C(7)*RESID(-3)2+ C(8)*RESID(-4)2 + C(9)*RESID(-5)2VariableCoeffi

25、cientStd. Errorz-StatisticProb.AR(1).0000AR(2)-0.0.-2.0.0041AR(5)-0.0.-2.0.0037Variance EquationC7.65E-057.53E-0610.151800.0000RESID(-1).0000RESID(-2).0146RESID(-3).0148RESID(-4).0000RESID(-5).0000R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D.

26、dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-5.Sum squared resid0.Schwarz criterion-5.Log likelihood2561.899Hannan-Quinn criter.-5.Durbin-Watson stat1.Inverted AR Roots.54-.39i.54+.39i-.14+.62i-.14-.62i-.57均值方程：方差方程：模型检验： 从残差Q检验结果看出残差项是一个白噪声再用LM检验残差是否仍具有条件异方差，检验结果如下：Heteroskedasticity Te

27、st: ARCHF-statistic0.Prob. F(1,934)0.8291Obs*R-squared0.Prob. Chi-Square(1)0.8288Test Equation:Dependent Variable: WGT_RESID2Method: Least SquaresDate: 12/14/09 Time: 23:49Sample: 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C05890.0000WGT_RESID

28、2(-1)-0.0.-0.0.8291R-squared0.Mean dependent var1.Adjusted R-squared-0.S.D. dependent var2.S.E. of regression2.Akaike info criterion4.Sum squared resid5649.813Schwarz criterion4.Log likelihood-2169.479Hannan-Quinn criter.4.F-statistic0.Durbin-Watson stat2.Prob(F-statistic)0.结果显示残差项不存在条件异方差以上检验说明模型设定

29、与拟合均符合要求，模型建立是成功的。无条件方差：二GARCH模型的建立由于方差方程滞后项较多，且ARCH项系数和比较大，应尝试建立GARCH模型，经过尝试，建立GARCH（2，1），模型参数估计结果如下：Dependent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/20/09 Time: 18:11Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence ac

30、hieved after 48 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)2 + C(6)*GARCH(-1) + C(7)*GARCH(-2)VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.AR(1).0000AR(2)-0.0.-2.0.0104AR(5)-0.0.-3.0.0003Variance EquationC8.10E-062.00E-064.0.0001RESID(-1)1594

31、0.0000GARCH(-1).0199GARCH(-2).0000R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-5.Sum squared resid0.Schwarz criterion-5.Log likelihood2570.784Hannan-Quinn criter.-5.Durbin-Watson stat1.Inverted AR Roots.56-.41i.56+.41i

32、-.14-.65i-.14+.65i-.60均值方程：方差方程：计算无条件方差：模型的检验：从均值方程的Q检验结果：看出，残差项为白噪声，符合要求。再做LM检验残差是否存在条件异方差，检验结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic0.Prob. F(1,934)0.8242Obs*R-squared0.Prob. Chi-Square(1)0.8240Test Equation:Dependent Variable: WGT_RESID2Method: Least SquaresDate: 12/20/09 Time: 18:21Sample:

33、12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C.0000WGT_RESID2(-1).8242R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared-0.S.D. dependent var2.S.E. of regression2.Akaike info criterion5.Sum squared resid8360.533Schwarz criterion5.Log likeli

34、hood-2352.888Hannan-Quinn criter.5.F-statistic0.Durbin-Watson stat1.Prob(F-statistic)0.检验结果表明残差项不具有条件异方差，方程建立是成功的。三 GARCH模型的扩展1. 门限GARCH （TGARCH）黄金市场与股票市场有着相似性，利空消息跟利好消息对条件方差的影响是不一样的。当市场出现利好消息时，金价上升较大，人们预期美元贬值在加快，于是为了避险会大量购入黄金，导致金价上升更快。而在利坏消息出现时，由于黄金保值能力较好，人们不会急于大量抛售黄金，金价波动不会特别剧烈。从金价走势图中也能看出，在金价上涨时，

35、上涨速度相当快，而在下降时并不是很快，图形较平缓。从定量角度，建立如下TGARCH模型：Dependent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/15/09 Time: 10:50Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 49 iterationsPresample variance: backcast (pa

36、rameter = 0.7)GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)2 + C(6)*RESID(-1)2*(RESID(-1)0) +C(7)*RESID(-2)2*(RESID(-2)0) + C(8)*GARCH(-1) + C(9)*GARCH(-2)VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.AR(1).0000AR(2)-0.0.-2.0.0154AR(5)-0.0.-3.0.0006Variance EquationC8.73E-061.81E-064.0.0000RESID(-1)1

37、1990.0000RESID(-1)2*(RESID(-1)0)-0.0.-11.060730.0000RESID(-2)2*(RESID(-2)0).0002GARCH(-1).0151GARCH(-2).0000R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-5.Sum squared resid0.Schwarz criterion-5.Log likelihood258

38、4.375Hannan-Quinn criter.-5.Durbin-Watson stat1.Inverted AR Roots.55-.40i.55+.40i-.14+.63i-.14-.63i-.58均值方程：方差方程：其中做LM检验，结果如下：Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic0.Prob. F(1,934)0.7837Obs*R-squared0.Prob. Chi-Square(1)0.7834结果显示残差项不存在条件异方差。模型中项的系数小于零，也反映了之前的分析。2. EGARCH模型建立EGARCH模型，估计结果如下：Depend

39、ent Variable: DLYMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: 12/15/09 Time: 12:21Sample (adjusted): 12/25/1991 11/25/2009Included observations: 936 after adjustmentsConvergence achieved after 118 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)LOG(GARCH) = C(4) + C(5)*ABS(RESID(

40、-1)/SQRT(GARCH(-1) + C(6)*LOG(GARCH(-1) + C(7)*LOG(GARCH(-2) + C(8)*LOG(GARCH(-3)VariableCoefficientStd. Errorz-StatisticProb.AR(1).0000AR(2)-0.0.-2.0.0107AR(5)-0.0.-4.0.0000Variance EquationC(4)-0.0.-6.0.0000C(5)86230.0000C(6).0000C(7)-0.0.-3.0.0026C(8).0000R-squared0.Mean dependent var0.Adjusted R-squared0.S.D. dependent var0.S.E. of regression0.Akaike info criterion-5.Sum squared resid0.Schwarz criterion-5.Log likelihood2576.955Hannan-Quinn criter.-5.Durbin-Watson stat1.Invert