2019年全国卷Ⅰ理数高考真题(含答案

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 答卷前，考生务必将自己的、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1.已知集合Mx4 x 2,N x2x x60，贝y M I N =A. x4 x3B. x4 x2C.x2x2D. x2x32 .设复数z满足z

2、i =1, z在复平面对应的点为(x,y)，则2 2 2 2 2 2 2 2A.(x+1)y1 B.(x 1) y 1 C.x (y 1)1 D.x(y+1)13 .已知 a log 2 0.2 , b 20.2, c 0.20.3，则A.a bcB.a cbc.cabD.bc a4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是互(互-0.618 ,2 2称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 一口 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长2度为26 cm，则其身高

3、可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsinx x5.函数f(x)=2在,的图像大致为cosx x阳爻“_”和阴爻“一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有的概率是6个爻组成，爻分为3个阳爻A.16B. 113232D.11167.已知非零向量a, b满足 | a | 2|b|，且(ab)b,贝U a与b的夹角为a. n6b. n3C.D.8.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入B. A=2 AC.A=一11 2AD. A=12A9记Sn为等差数列an的前n项和已知S40, a55，则A. an 2n 5B. an 3n 102C.

4、 Sn 2n 8nD. Snn2 2n210 .已知椭圆C的焦点为F1(1,0) , FQ,0)，过F2的直线与C交于A B两点.若I AF2 I2|F2B|,|AB| | BFi |,贝U C的方程为2A x 2A.y 122x B.32x C.42x D.511.关于函数f(x) sin|x| |sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在,有4个零点其中所有正确结论的编号是A.B.f (x)在区间(一，)单调递增2f (x)的最大值为2C.D.12 .已知三棱锥 P- ABC的四个顶点在球 O的球面上，PA=PB=PC ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA AB的中点

5、，/ CEF90,则球O的体积为A.8 ： 6B. 4 .6C. 2.6D.6二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。2x13. 曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为 .1 214. 记$为等比数列an的前n项和.若a1 -, a2 a6，则3=.315. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6 ,客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4 ： 1获胜的概率是 2 216.已知双曲线 C： 2 1(a 0, b 0)的左

6、、右焦点分别为 F, F2,过F1的直线与C的两条渐近线分 a bUJir UJU UULT UULU别交于A,B两点.若F1AAB ,F1BF2B0，贝UC的离心率为 .三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17. (12 分)2 2 ABC 的角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,设(sinB sinC) sin A sin BsinC .(1) 求 A;(2) 若 2a b 2c ,求 sin C.18. (12 分)如图，直四棱柱 ABC

7、- ABCD的底面是菱形， AA=4, AB=2,Z BAD60, E, M N分别是 BC BB,AD的中点.(1) 证明：MN/平面CDE(2) 求二面角A- MA N的正弦值.19. (12 分)23已知抛物线C： y =3x的焦点为F,斜率为一的直线I与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.2(1) 若 |AF+| BF=4，求 l 的方程；uuuILW(2) 若 AP 3PB，求 IAB .20. ( 12 分)已知函数f(x) si nx ln(1 x) , f (x)为f (x)的导数.证明：(1) f (x)在区间(1-)存在唯一极大值点；2(2) f (x)有且仅有2个零点.

8、21 .( 12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分甲、 乙两种药的治愈率分别记为 a和卩，一轮

9、试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,Pi(i 0,1 L,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P00 ,P81 , Piapi 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7)，其中P(X 1) , b P(X 0) , c P(X1) 假设0.5,0.8 .(i)证明： p 1 Pi (i 0,1,2,L ,7)为等比数列;(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 4:坐标系与参数方程(1

10、0分)x在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 t22，1 t (t为参数)以坐标原点 O为极点, 4t1 t2x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为2 cos ,3 sin 11 0 .(1) 求C和I的直角坐标方程；(2) 求C上的点到I距离的最小值.23.选修4 5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1.证明(1)1 a1 b1 2 , 2 2 a b c ； c(2)(ab)3(b c)3 (c a)324 .2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案、选择题4. B 5. D 6. A7. B 8. A 9. A 10. B

11、 11 . C 12. D、填空题13. y=3x三、解答题14.121V15. 0.1816. 217.解：（1）由已知得 sin2B sin2C2sin A sin BsinC，故由正弦定理得b2c2 a2 be由余弦定理得eos Ab22be因为0 A 180，所以A 60 .（2）由（1）知B 120 C，由题设及正弦定理得2 sin A sin 120 C 2sin C ,sin C 60 eos60eos C 60 sin 60即至.31 .eosCsin C2sin C，可得 eos C 6022 22由于0C 120，所以 sinC 60辽，故2sin Csin C 6060-

12、.6 -.2418 .解：（1）连结 BC, ME因为M E分别为BB, BC勺中点,所以 ME/ BC,且 MEBC.2又因为N为AD勺中点，所以NOAD.2由题设知AB P DC,可得BCP AD,故mEP ND因此四边形MND为平行四边形，MM ED又MN平面EDC,所以MN/平面GDE(2)由已知可得DEL DA以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz，则ULLTUUULrN(1,0,2)，AA (0,0, 4)，AMA(2,0,0)，Ai(2，0，4)，M(1, 3,2)，(1, .3, 2),uuLiruuuu-AN ( 1,0, 2)，MN

13、 (0,.3,0) uuuirm A M 0设m (x,y,z)为平面AMA勺法向量，贝Uuuurm A A 0所以 x 2Z 可取 m ( .3,1,0).4z 0.uuuun MN0,设n (p,q,r)为平面amN勺法向量，贝Uuuuun A|N 0.所以 3q 0，可取 n (2,0, 1). p 2r 0.曰m n2?3V15于疋cos m, nI mil n| 2 755所以二面角 A MA1 N的正弦值为.53519 解：设直线 |：y x t, A , B x2, y23-，由题设可得x2X2(1)由题设得 F ,0 ，故 |AF| |BF| x, x243 t由y2 X ，可

14、得9x22y3x212(t 1)x 4t0，则花X212(t 1)从而12(t15，得t79283所以1的方程为y -x728uuu uuu(2)由AP 3PB可得y13 y23+2y 2ty T 可得y2 y2 3x所以y1 y 2 .从而 3y2 y 2，故y1, y13.当x设为1, 时，g (x)单调递减，而2g(0)0, g( )0，可得 g(x)在21-有唯一零点,2则当 x ( 1,)时，g(x)0 ;当 xJ时 g(x)0.1代入C的方程得x13,x2 120. 解：(1)设 g(x) f(x)，则 g(x) cosx ， g(x)sin x21 x(1 x) .3故 | AB

15、 | U3 .3所以g(x)在(h )单调递增在，-单调递减故g(x)在右存在唯一极大值点,即f(x)在1,2存在唯一极大值点(2) f (x)的定义域为(1,).(i )当x ( 1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0 ,所以当x ( 1,0)时，f(x)0,故f (x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x 0是f (x)在(1,0的唯一,单调递减，而f(0)=02 ，零点()当x 2时，由(1)知，f(x)在(0,)单调递增，在f2。，所以存在2 使得f()0,且当x (0,)时，f(x)0 ；当x时，f(x)0.故 f(x)在(0,)单调递增，在2单调递

16、减.又 f(0)=0 , f 21 In 120,所以当0,时，f (x)0.从而,2f (x)在没有零点.(iii )当 x时，f(X)0,所以f(x)在-,单调递减.而f -所以f(x)在有唯一零点.(iv )当 x)时，ln(x 1) 1，所以f (x) 0,从而f (x)在(，)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21 解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列为1P (I口)0or(l_Q)(2) (i )由(1 )得 a 0.4, b 0.5, c 0.1.Pi0.4 PiPi 1 ,即pi 1Pi4

17、P)i 1pi 1.又因为P0P10，所以Pi1Pi(i(ii）由（i ）可得P8P8P7P7P6 LP1P0P0由于P8=1，故Pl382 3 ，所以48 1P4P4P3P3P2P2P1P1因此 Pi =0.4 pj 1 +0.5 Pi+0.1 p 1,故 0.1 口 10,1,2丄,7）为公比为4,首项为P1的等比数列.481 87761 03 P14411P0P13257P4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.1解：(1)因为 1-11 t21 t24t21 t2 21，所以C的直角坐标方程为I的直角坐标方程为 2x.3y 11x cos（2）由（1）可设C勺参数方程为y 2si n为参数,n).C的点到l的距离为|2cos2lsin11|V74cos当2 n