完整版)专题——圆锥曲线定值问题

1、高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值.基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种：1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.2、

2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关.题型示例一 ?证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值解：设M (yo ,yo),直线ME的斜率为k(l0)，直线 MF的斜率为一k,直线ME方程为y y。k(x y().MA=MB.?由yo k( xyo)，消x得ky2yo(ikyo) o7解得yF迪2Xf(1 kyo)厂.同理丿J1 ky,Xf1 ky 21 kyo 1 kyo2yEFkk(定值)Xe Xf2 2(1 k)计4kyo2、已知抛物线x2= 4y的焦点为F , A、

3、B是抛物线上的两动点且 AF =入 FBB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .证明FM -AB为定值解：由已知条件，得 F(0, 1), Z0?设 A(xi, yi), B(x2,汕.由AF =入 FB ,即得(一 xi, i y)=?(X2, y2 1),所以X1 =入 21 y1 =心 2 1)所以直线EF的斜率为定值利用消元法1 1将式两边平方并把 yi = 4X12, y2= 1X22代入得yi= fy2i解、式得 yi= y2=,且有XiX2 =入X= 4入y= 4,抛物线方程为y=八x2,求导得y= *x?所以过抛物线上B两点的切线方程分别是iy= 2Xi(x xi)+ yi,

4、 y= 2X2( x刚iX2) + y2,即卩y = Axix 4Xi ,y = AX2x 4x2解出两条切线的交点 M的坐标为（2 x +x2,警）=（厂，一i）.f fxi + X2所以 FM -AB = (2 , 2) (X2 x,所以FM -AB为定值，其值为0 ?y2 yi)=-2)= 0利用不变因素2 2x y3、已知椭圆一 牙i a b 0的离心率为e直线Ia b:y ex a与x车由、分别交于点A、B, M是直线I与该椭圆的一个公共点。求证如为定值AB解：设AMAB,由题意得A旦,0,B 0,ay2x2 aex2 yb2i,得cb2b2c,aAMAB,b2e，而a2 b2,i

5、e2 且 Ic / AM0,故AB2e为定利用辅助元解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。.证明动直线过定点或动点在定直线上问题2 24、如图，椭圆务占I的两焦点Fi , F2与短轴两端点Bi, B2构成B2FiBi为i20o,面a b积为2J3的菱形。（I）求椭圆的方程；（2）若直线I : y kx m与椭圆相交于 M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的 圆过椭圆右顶点 A ?求证：直线I过定点,并求出该定点的坐标.解：易得椭圆的方程为一乞143y kx m由x2 y2，消

6、去y得到433 4k2 x2 8kmx 4m 2120,直线I与椭圆有两个交点2 2 28km 4 3 4k 4m 122 2 2 248k12 m 36 12 4k m 3 0设 M y1 ,N X2, y2，则有为 x?8kmX1X23 4k24m2123 4k2因为以MN为直径的圆过椭圆右顶点X12, y1 X22,y20，而 y1 k2 X1X2X1 X2 km 2A，所以AM AN 0,即kx1 m, y2 kx? m代入并整得2 m 407m216km21 22k42k4324k 0, m 2kkm22 m4，化简整理得到7m2k0, m2k或m2k, m2-k均满足判别式大于70

7、,所以2k时时，2k时，7I : y kx 2k kl: y kx - k k x72,此2，此时，直线过定点7线过定点2,02,07三.探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆 M,恒过点F(1,0)，且总与直线l:x 1相切，(|)求动圆圆心 M的轨迹C的 方程；(H) 探究在曲线C上，是否存在异于原点的A(x, y,), B(X2, y2)两点，当y,y2 16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由？解: (1)因为动圆M,过点F(1,0)且与直线I : x 1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线I的距离。所以，点M的轨迹是以F为焦点，I为准线的抛物线

8、，且卫1, p 22所以所求的轨迹方程为y2 4x且满足 1 Ph I 2|PF 2|, PFiF230 直线y=kx+m于圆x2-相切，与椭圆相交于5A、B两点，(i )求椭圆的方程；(2)证明AOB为定值。易错点假设存在A,B在y24X上，所以，直线AB的方程：y yi上一(X Xi),X2 Xi2y； yi2 (x里)即AB的方程为:y yiyy2yi4(x2 2即(yi y2)y yi yiy24x y i 即：(yi 令 y 0,得 X 4 ,*)y (i6 4x)所以,无论yi, y2为何值,直线ab过定点(4,0)练兵场2 2i、点P是椭圆 一2 i(a b 0)上任一点，A、B是该椭圆上关于原点对称的两点，a b那么kpA kpB是否为定值?思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立22、过抛物线y2px的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，判断FABIi是否为定|CD I值，若是定值，求出该定值。3、已知椭圆C的中心在原点焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y Ax2的焦点,4离心率等于2.55(1)求椭圆C的标准方程过椭圆的右焦点作直线1交椭圆C于A、B两点，交umruuur ujit