(完整版)精选高中数学数列分类典型试题及答案,推荐文档VIP

1、总复习必须掌握的数列经典解题技巧精选高中数学数列分类典型试题及答案【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质an a = 1, a = 3n-1 + a(n 2)例题 1. 已知数列满足 1nn-1.（1）求 a2 , a3 ； 第 6 页 共 15 页3n -1an = （2）证明：2.q a = 1,a = 3 + 1 = 4, a = 32 + 4 = 13a - a= 3解：（1）123.n-1（2）证明：由已知 nn-1，故an = (an - an-1 ) + (an-1 - an-2 ) +l + (a2 - a1 )3n -13n -11+a = 3n-1

2、 + 3n-2 +l + 3 + 1 =2， 所以证得an =2.例题 2. 数列an 的前n 项和记为 sn , a1 = 1, an+1 = 2sn + 1(n 1)（）求an 的通项公式；（）等差数列bn 的各项为正，其前n 项和为tn ，且t3 = 15 ，又a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 成等比数列，求tn .解：（）由 an+1 = 2sn + 1 可得 an = 2sn-1 + 1(n 2) ， 两式相减得： an+1 - an = 2an , an+1 = 3an (n 2) ，a = 2s + 1 = 3a = 3aan又 21 na = 3n-1 2

3、1故是首项为 1，公比为 3 的等比数列（）设bn 的公比为 d ，由t3 = 15 得，可得b1 + b2 + b3 = 15 ，可得b2 = 5故可设b1 = 5 - d ,b3 = 5 + d ，又 a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9 ，(5 - d + 1)(5 + d + 9) = (5 + 3)2d = 2, d = 10由题意可得等差数列bn 的各项为正， d 0t = 3n + n(n -1) 2 = n2 + 2n n2，解得 12 d = 2n+anb a2a22 a.例题 3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且 123+2n-1 a = 8n*b- b

4、n对任意的 n n 都成立，数列 n+1n 是等差数列.求数列an 与bn 的通项公式；是否存在 k n* ，使得bk - ak (0,1) ，请说明理由.a + 2a + 2 a +2. + 2n-12n-1 a 点拨：（1） 123an = 8n 左边相当于是数列n 前 n 项和的形式，可以联想到已知 sn 求 an 的方法，当 n 2 时， sn - sn-1 = an .（2）把bk - ak 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究bk - ak 的取值情况.a + 2a + 22 a +2n-1 a = 8n (n n *2解：（1）已知 123n）n2a + 2a + 2 a +2

5、n-2 a= 8(n -1) (n n *时， 123n-1）2a =a = 8n-14-na得，n，求得 n，在中令n = 1，可得得= 8 = 24-1 ，1所以 an = 24-n (n n*）.由题意b1 = 8 ， b2 = 4 ， b3 = 2 ，所以b2 - b1 = -4 ， b3 - b2 = -2 ，数列bn+1 - bn 的公差为- 2 - (-4) = 2 ， bn+1 - bn = - 4 + (n - 1) 2 = 2n - 6 ，bn = b1 + (b2 - b1 ) + (b3 - b2 ) +l+ (bn - bn-1 )= (-4) + (-2) +l+

6、(2n - 8) = n2 - 7n + 14 (n n * ）.（2） bk - ak = k 2 - 7k + 14 - 24-k ，f (k ) = (k - 7 )2 + 7 -当 k 4 时，2424-k 单调递增，且 f (4) = 1 ，k42 1所以时，f (k ) = k 2 - 7k + 14 - 4-k又 f (1) = f (2) = f (3) = 0 ，所以，不存在 k n * ，使得bk - ak (0,1) .例题 4. 设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1 成等差数列，bn、an+1、bn+1n成等比数列，且 a1 = 1， b 1= 2

7、， a =2 3 ，求通项 a ，bn头 头解： 依题意得：2bn+1 = an+1 + an+2a2= b bn+1n n+1bn+1bnbn+2bn+1bn+2bn+1 an、bn 为正数，由得 an+1 =bnbn+1 , an+2 =， 代入并同除以得： 2=+， bn 为等差数列头 头头头头头头头/wxc/ 头头头头a 2 = b b ,则b = 9 b1 = 2 ， a2= 3 ，21 222，922(n +1)22bn =+ (n - 1)(-2) =2 (n + 1), bn =2，当 n2

8、 时，an = n(n + 1)bnbn-12，a = n(n + 1)又 a1= 1，当 n = 1 时成立， n2头头头 头头头头头/wxc/头 头头头2. 研究前 n 项和的性质例题 5.已知等比数列an的前n 项和为 sn = a 2n + b ，且 a1 = 3 .（1） 求a 、b 的值及数列an 的通项公式；bn（2） 设= n an ，求数列bn的前n 项和tn .解：（1） n 2 时， an = sn - sn-1 = 2n-1 a .而an 为等比数列，得 a1 = 21-1 a = a ，又 a1 = 3

9、，得 a = 3 ，从而 an = 3 2n-1q a = 2a + b = 3,b = -3 .nn.又1)b =na3 2n-11 (123n1 tn =+l + n- 2（2）n，32221 t = 1 ( 1 + 2 + 3+l + n -1 + n1 t = 1 (1 + 1 + 1 +l + 1 - n )2 n3 222232n-12n ） ，得 2 n32222n-12n ，2 1 (1 - 1 )n41nt =2n - =(1 - - ) n31 - 122n32n2n+1.1例题 6. 数列an 是首项为 1000，公比为10 的等比数列，数列bn 满足b = 1 (lg

10、a + lg a +l + lg a )kk12k(k n*) ，（1）求数列bn 的前n 项和的最大值；（2）求数列|bn |的前n 项和 sn .a =4-nlg a = 4 - nlg a解：（1）由题意： n，n，数列n 是首项为 3，公差为-1的等差数列，lg a + lg a +l + lg a = 3k - k(k -1)b = 1 3n - n(n -1) = 7 - n12kbn 02， nn22s = s =2167由bn+1 0 ，得6 n 7 ，数列bn 的前n 项和的最大值为2 .（2）由（1）当 n 7 时， bn 0 ，当 n 7 时， bn 7 时，n244s

11、= b + b +l+ b - b - b -l- b = 2s - (b + b +l + b ) = 1 n2 - 13 n + 21n12789n712n44- 1 n2 + 13 n(n 7)sn = 4 4 1 n2 - 13 n + 21(n 7) 44.例题 7. 已知递增的等比数列 an 满足 a2 + a3 + a4 = 28 ，且 a3 + 2 是a2 ， a4 的等差中项. aabn = an log 1 ans = b + b+l + b（1）求 n 的通项公式 n ；（2）若sn + n 2n+1 30 成立的n 的最小值.2， n12n 求使解：（1）设等比数列的公

12、比为 q（q1），由1a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2 或 a1=32，q= 2 （舍）an=22（n1）=2n= a log a = -n 2nbnn1 n（2） 2，sn=（12+222+323+n2n）2sn=（122+223+n2n+1），sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若 sn+n 2n+130 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5.n例题 8. 已知数列an 的前 n 项和为 s ，且-1,sn ,an+1 成等差数列， n n*, a1 = 1 . 函数f (x) = log3

13、x .n 满 足（i） 求数列an 的通项公式；（ii） 设数列b bn=1 (n + 3) f (an ) + 2，记数列bn 的前 n 项和为 tn，试比较t 与 5 - 2n + 5n12312 的大小.解：（i）q-1, sn , an+1 成等差数列，2sn = an+1 -1 当 n 2 时， 2sn-1 = an -1 . an+1 = 3.得： 2(sn - sn-1 ) = an+1 - an ， 3an = an+1 ，ana = 3, a2 = 3,2s = 2a = a -1a = 1,2a当 n=1 时，由得112， 又 1a an 是以 1 为首项 3 为公比的等比

14、数列，n1= 3n-1.（ii）f(x)= log3x ， f (an ) = log3 an = log 3n-1 = n -1 ，3b =1=1= 1 ( 1 -1 ) n(n + 3) f (a ) + 2(n + 1)(n + 3)2 n + 1n + 3n，t =(-+-+-+ -+l +-+-)1 111111111111n2 24354657nn + 2n +1n + 3n +)122(n + 2)(n + 3)= 1 ( 1 + 1 - 1 - 1 = 5-2n + 5,2 232n + 3t 与 5n-比较122n + 5312 的大小，只需比较2(n + 2)(n + 3)

15、 与 312 的大小即可.与 2(n + 2)(n + 3) - 312 = 2(n2 + 5n + 6 -156) = 2(n2 + 5n -150) = 2(n + 15)(n -10)2(n + 2)(n + 3) 312, 与 t 312,与t 5- 2n + 5当 n 10与n n* 时，n12312 .3. 研究生成数列的性质例题 9. （i） 已知数列数 p ；c cn = 2n + 3nc- pc n ，其中，且数列 n+1n 为等比数列，求常（ii） 设an 、bn 是公比不相等的两个等比数列， cn = an + bn ，证明数列cn 不是等比数列.解：（）因为cn+1pc

16、n是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1）（cnpcn1），将 cn=2n3n 代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1）， 即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1 （2p）2n1+（3p）3n1，1整理得 6 （2p）（3p）2n3n=0，解得 p=2 或 p=3.（）设an、bn的公比分别为 p、q，pq，cn=an+bn.c 2为证cn不是等比数列只需证 2 c1c3.c 22 a 2 2b 2 2事实上， 2 =（a1pb1q） = 1 p 21 q 2 2a1b1pq，

17、22a2b222c1c3=（a1b1）（a1 p b1q ）=1 p 1 q a1b1（p q ）.由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1 不为零，c 2 因此 2c1c3，故cn不是等比数列.=例题 10. n2（ n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 已知a=1，24a42= 1 , a843316 求 s=a11+ a22头+ a+ a头头头头头头/wxc/ 头头头头nn头头头头头头头头头33头头头 头 头 头 头 头http:/www

18、./wxc/头头头头/w xc/头头头头头a解： 设数列 1k 的公差为 d， 数列 ik （i=1，2，3，n）的公比为 qa1kk1头 头头头头头头头/wxc/ 头头头头则= a11 + （k1）d ， akk = a11a24 = (a11 + 3d )q = 1+ （k1）dq头 头头头头头头头/w xc/a42= (a11+ d )q3 = 18a43依题意得： = (a1

19、1+ 2d )q3 = 3116 ，解得：a11 = d = q =头 头 头头 头头 头 头 头 头 头 头/wxc/头头头又 n2 个数都是正数，1a11= d = q = 2， akk =2k头 头头 头头头头头/wxc/11 11s =+ 2 + 3 + l + n 222232 n ，111+ 3 1 + l + n 1s =+ 2 342n +122222，s = 2 -1 - n22两式相减得：n-1n 头头头头头头头头http:/www.xjktyg

20、.com/wxc/ 例题 11.已知函数 f (x) = log3 (ax + b) 的图象经过点 a(2,1) 和 b(5,2) ，记an= 3 f (n) , n n *.a（1） 求数列an 的通项公式；b = n ,t= b + b +l+ bn（2） 设2nn12n ，若tn m(m z ) ，求m 的最小值；2n +1)(1+ 1 )(1+ 1 l(1+ 1 p（3） 求使不等式a1a2an实数 p .对一切 n n * 均成立的最大log3 (2a + b) = 1a = 2解：（1）由题意得log3 (5a + b) = 2 ，解得b = -1，n f

21、(x) = log3 (2x -1)a = 3log3 (2n-1) = 2n -1, n n *b = 2n -1t = 1+ 3 + 5 +l + 2n - 3 + 2n -1n（2）由（1）得2n，n2122232n-12n1 t =1 + 3 +l + 2n - 5 + 2n - 3 + 2n -12 n22232n-12n2n+1得2n)1 t = 1 + 2 + 2 + l + 2 + 2 - 2n - 1 = 1 + ( 1 + 1 + l + 1 + 1 = 3 -=22122232n-12n2n+1212122n-22n-1- 2n - 1 = 3 - 1- 2n - 1 t

22、 2n+122n-12n+1 .f (n) = 2n + 3 , n n *12n - 1n2n-22n32n + 3- n2，设2n2n + 5，则由11 f (n +1) =2n+1=2n + 5= 1 +1+ 1f (n)2n + 32n2(2n + 3)22n + 325f (n) = 2n + 3 , n n *得2n随n 的增大而减小当n + 时， tn 3 又tn 2(n + 1)= 1(2n +1)(2n + 3)4(n + 1)2 - (n + 1)2(n + 1)q f (n) 0, f (n +1) f (n),即f (n) 是随n 的增大而增大总复习必须掌握的数列经典解

23、题技巧f (1) = 2 3 p 23p= 2 3 第 7 页 共 15 页f (n) 的最小值为3，3max，即3.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.例题 12. 数列an 中， a1 = 8, a4 = 2 且满足 an+2 = 2an+1 - an ， n n* .求数列an 的通项公式；设 sn =| a1 | + | a2 | +l+ | an | ，求 sn ；1bn n(12 - a ) (n n* ),t = b + b +l + b (n n* )m 设 =nn12nm，是否存在最大的整数 ，使得对任意 n n* ，均有tn 32 成立？若存在，求出m 的值；

24、若不存在，请说明理由. 解：2 = 8 + 3d d = -2 a = 8 - 2(n -1) = 10 - 2n（1）由题意， an+2 - an+1 = an+1 - an ，an 为等差数列，设公差为 d ， 由题意得，n.（2）若10 - 2n 0则n 5 ， n 5时, sn =| a1 | + | a2 | +l+ | an |= a + a +l + a = 8 + 10 - 2n n = 9n - n2 ,12n2n 6 时， sn = a1 + a2 +l + a5 - a6 - a7 l - an= s5- (s -n s ) 5= 2s -5s = nn 2 - 9n +

25、 409n - n 2n 5sn = 故n 2 - 9n + 40 n 6qbn = n(12 1=1= 1 111)( -) - a )（3）n2n(n +2+ 1nn，n= 1 (1- 1 ) + ( 1 - 1) + (1 - 1 ) +l + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) =. tn222334n -1nnn +12(n + 1)t mn m若 n32 对任意 n n* 成立，即 n + 116 对任意 n n* 成立，q n (n n* )n + 11的最小值是 2 ， m m .即存在最大整数 m = 7, 使对任意 n n* ，均有 n32例题 13. 已知等比数列

26、bn 与数列an 满足bn = 3an , n n*.（1） 判断an 是何种数列，并给出证明；（2）若 a8 + a13 = m,与 b1b2 lb20 .b b = 3an3a1 qn-1 = 3an a = a + (n - 1)log q解：（1）设 n 的公比为 q， n，n13。所以an 是以log3 q 为公差的等差数列.（2） a8 + a13 = m, 所以由等差数列性质可得 a1 + a20 = a8 + a13 = m,+a = (a1 + a20 ) 20 = 10m (a +a + +a )1231 220a + a + a +202b b lb= 3 1 2 l20

27、 = 310m总复习必须掌握的数列经典解题技巧2. 由简单递推关系证明等差等比数列例题 14.已知数列an 和bn满足：anan+1a1 = 1， a2 = 2 ， an 0 ， bn =（ n n * ），且bn是以q 为公比的等比数列.a= a q2（i） 证明： n+2n；（ii） 若cn = a2n-1 + 2a2n ，证明：数列cn是等比数列； 第 9 页 共 15 页1 + 1（iii） 求和： a1a2+ 1 + 1a3a4bn+1 = q+l +1a2n-1+ 1a2n .an+2 anan+1an+2anan+1= q解法 1：（i）证：由bn，有， a n+2 = a n

28、q 2 (n n *).a = 2aq（ii） 证： nn-2，a= aq2 =l = a q2n-2a= aq 2 = . = a q 2n-22n-12n-31， 2n2n-22，.c = a+ 2a= a q2n-2 + 2a q2n-2 = (a + 2a )q2n-2 = 5q2n-2n2n-12n1212cn 是首项为 5，公比为 q2 的等比数列.1= 1 q2-2n12n = 1 q2-2n（iii） 解：由（ii）得 a2n-1a1， aa2，于是1 + 1a1a2+l + 1a2n= ( 1 + 1a1a3+l +1a2n-1) + ( 1a2+ 1 +l +a41 )a2

29、n= 1 (1 + 1 + 1+l +1 ) +1 (1 + 1 + 1 +l +1 )qqaq2q42n-2aq2q42n-212= 3 (1 + 12q2+ 1 +l +q11 )q2n-2 .1 + 1 +l + 1 = 3 (1 + 1 + 1+l +1 ) = 3 n当q = 1 时， a1a2a2n2q2q4q2n-22.1 + 1 +l + 1 = 3 (1 + 1 + 1+l +1 )当q 1时， a1a2a2n2q2q4q2n-2= 3 1 - q-2n3q2n -1(2 1 - q-2 ) = 2 q2n-2 (q2 -1) . 3 n， q = 1，1 + 1 + l +

30、 1 = 23q2n -1aaa122n故 2 q2n-2 (q2 -1) ，q 1.解法 2：（i）同解法 1（i）.ca+ 2aq2 a+ 2q2 a n+1 = 2n+12n+2 =2n-12n = q2 (n n* )c = a + 2a = 5（ii） 证：cna2n-1+ 2a2na2n-1+ 2a2n，又 112，cn 是首项为 5，公比为 q2 的等比数列.a+ a= (a + a )q2n-2 = 3q2n-2（iii） 由解法 1 中（ii）的类似方法得 2n-12n12，1 + 1 +l + 1 = a1 + a2 + a3 + a4 +l + a2n-1 + a2na1

31、a2a+ aa2n3q2k -2a1a23a3a4-2k +2a2n-1a2n，a a2q -， k = 1，2 ，l，n .2q 2k -12k =q-4k 42k 1 2k 1 + 1 + . + 1 = 3 (1 + q-2 + . + q-2n+2 ) a1a 2a 2n2.例题 15. 设数列an 的前n项和为sn ,且sn = (1 + l) - lan , 其中l -1,0（1） 证明：数列an 是等比数列；（2） 设数列an 的公比q = f (l) ，数列bn 满足b1 = ，bn=f （bn1）（nn*，n2），求数列bn 的通项公式；c = a ( 1 -1)l=1nn

32、bc .（3） 设s，= (1 + l) - lan s，求= 数+列l - ln的前 n 项和 n（1） 证明：由 nnn-1(1)an-1 (n2)aa = -la+ la, an =l (n 2),相减得：nnn-1n-11 + l数列an 是等比数列（2） 解： 1111 = 2bn 是首项为 b1，公差为 1 的等差数列， bn= 2 + (n -1) = n + 1.bn=n + 1 ., a = 1 n-111 n-1n（3）解：l= 1 时( ),cn = an (2b n-1) = ( )n2= 1 +1 +1 2 +1 n-1tn2( )3( )l n( )得：2221 1

33、 n 1 n2 tn = 21 - 2 - n 2n- 1 1所以：t = 4(1 -nn( ) )2n( )22.总复习必须掌握的数列经典解题技巧例题 16. dobc 的各个顶点分别为(0, 0),(1, 0),(0, 2) ，设 p1 为线段 bc 的中点， p2 为线段oc 的中点， p3 为线段op1 的中点. 对每一个正整数 n, pn+3 为线段 pnpn+1 的中点. 令 pn 的坐标 第 14 页 共 15 页为(xn , yn ) ，an = 1 y2 n+ yn+1+ yn+2.（1）求 a1, a2 , a3 及 an , (n n* ) ；（2） 证明：yn+4= 1

34、 - yn , (n n* )4（3） 记bn = y4n+4 - y4n , (n n* ) ，证明：bn 是等比数列.13（1）解：因为 y1=y2=y4=1， y3= 2 ，y5= 4 ，所以 得 a1=a2=a3=2.又由yn+3 = yn + yn+12，对任意的正整数 n 有11y + y1ny+ y+ yy+ y+ nn+1y + y+ yan+1= 2 n+1n+2n+3 = 2 n+1n+22= 2 nn+1n+2 =a恒成立，且 a1=2，所以an为常数数列， an=2，（n 为正整数）y= yn+1 + yn+21 y + y + yyn（2） 证明：根据 n+42， 及

35、 2 nn+1n+2 =a =2， 易证得 y=1 4y4n+4ny4n- 1 bn+4（3） 证明：因为 bn+1=y 4n+8 - y 4n+4=（14）（1 4 ）=4 n ，又由 b1= y8 - y 4 =1- 1 y4 -4- 1y4=4 ，- 1所以bn是首项为 4 ，公比为 4 的等比数列.【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a n 中，已知 a 1 =2，a 2 +a 3 =13，则 a 4 +a 5 +a 6 等于=.2. 已知数列的通项 an = -5n + 2 ，则其前n 项和 sn =.3. 首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差 d 的取值范围是.

36、4. 在等比数列an 中， a3 和 a5的值为.是二次方程 x2 + kx + 5 = 0 的两个根，则 a2 a4 a65. 等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前 n 项和 sn=100，则 n=.6. 等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和为头 头头 头头头 头头/w xc/头 头头 头头 头头an =7n + 45a77. 已知两个等差数列an 和bn的前n 项和分别为 a n 和 bn ，且 bna nn + 3 ， b7 = ，若 bn 为正整数，n 的取值个

37、数为。a = 1a *p，q na + a = a18. 已知数列n 对于任意， 有 pqp+q ，若9 ， 则 a36 = . 9. 记数列an 所有项的和为 s(1) ，第二项及以后各项的和为 s(2) ，第三项及以后各项的s= 1 ,l和为 s (3) ,l ，第n 项及以后各项的和为 s(n) ，若 s(1) = 2 ， s(2) = 1，(3)2，s(n)= 1 ,l2n-2，则 an 等于.10. 等差数列an 共有2n + 1 项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则其中间m项为.11. 等差数列为.an 中，an 0 ，若m 1且am-1 - a 2 + am+1

38、 = 0， s2m-1= 38，则m 的值12. 设 sn 为等差数列an 的前n 项和. 已知 s6 = 36, sn = 324, sn-6 = 144(n 6) ，则n 等于 .1-3. 已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数 ，都有f (x)xf (x + 2) = 2 f (x + 1)f (x) ，且 f (1) = 2, f (3) = 6 ，则 f (2005) =.14. 三个数 a, b, c 成等比数列，且 a + b + c = m(m 0) ，则 b 的取值范围是.15. 等差数列an 中，前n 项和为 sn ，首项 a1 = 4, s9 = 0 .（1） 若 an + sn = -10 ，求n（2） 设b = 2 an n，求使不等式b1 + b2+l + bn 2007的最小正整数n的值.点拨：在等差数列中 an , sn , n, d 知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项a1 与公差 d ，把an , sn 分别用首项a1 与公差 d ，表示即可. 对于求和公式s = n(a1 + an ) n2，sn = na1+ n(n -1) d2采用哪一个都可以