八年级几何辅助线专题训练

1、实用标准常见的辅助线的作法1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角 形3. 角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与 角的两边相交，形成一对全等三角形。（3 ）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分 线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4. 垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。5. 用“截长法”或“补短法”：遇

2、到有二条线段长之和等于第三条线 段的长，6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边 三角形.7. 角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。 从而为证明全等三角形创 造边、角之间的相等条件。8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、等腰三角形“三线合一”法1.如图，已知ABC 中，/A = 90 ,AB =

3、 AC, BE平分/ABC, CE丄BD 于 E, 求证：CE=BD.中考连接:（2014 ?扬州，第7题，3分）如图，已知/ AOB =60OP=12，点 M，N 在边 OB 上, PM = PN，若 MN =2D . 6C. 5二、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中,则中线AD的取值范围是例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE丄DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小 .例3、如图，ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证：AD平分ZBAE.ADEC中考连接:（09崇文）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABC和等

4、腰Rt ACE，BAD CAE 90 ,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的关系.（1 ）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系 是，线段AM与DE的数量关系是;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点a沿逆时针方向旋转（0 BA,AD=CD, BD 平分 ABC ,A C 180求证:0 0BAC 60 , C 40 , P, Q 分别在 BC, CA 上,5.如图，已知正方形 ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分ZDAE .求证:AE BE= DF .D6.如图，ABC中，乙ABC=60 ,AD、CE分别平分/BAC ,/ACB，判断AC的长与AE+CD的

5、大小关系并证明.7.如图，RtKBC 中，/ACB=90 ,CD 丄AB 于 D, AF 平分ZCAB 交 CD 于 E,交CB于F,且EG/AB交CB于G,判断CF与GB的大小关系并证明。六、综合1、正方形ABCD中，E为BC上的一点,F为CD上的一点，BE+DF=EF，求/EAF的度数.2、如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM CN，AM 与BN交于Q点。求 AQN的度数。3、已知四边形 ABCD 中，AB AD , BC CD , AB BC , / ABC 120, Z MBN 60, / MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长 线）于E

6、，F .当Z MBN绕B点旋转到AE CF时（如图1），易证AE CF EF .当Z MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结 论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF又有怎样的 数量关系？请写出你的猜想，不需证明.AAACBNN（图1）（图2）（图3）4、D b为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN 分别交BC,CA于(1) 当 MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。5、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为VABC 外一点，且 MDN 60 , BDC 12

7、0 ,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2(I) 如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q ；(II) 如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若 AN= x，贝U Q= (用 x、L 表示).中考连接：(2014 ?抚顺第25题(12分)已知：Rt BC Rt BC,ZACB= ZACB=90 ，

8、A BC = ZABC=60 ,Rt BC 可绕点B旋转，设旋转过程中直线 CC 和AA 相交于点D .(1)如图1所示，当点C 在KB边上时，判断线段AD和线段A D之间的数量关系，并证明你的结论;(2)将RtABC由图1的位置旋转到图2的位置时，(1)中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由;(3)将Rt BC由图1的位置按顺时针方向旋转口角(0 Wa120 )当A、C、A 三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数.参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是解：延长 AD至E使AE =

9、2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AB、AC上，DE丄DF , D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.解：（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法 ）延长显然BG= FC,在AEFG中，注意到DE丄DF，由等腰三角形的三线合一知EG= EF在ABEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC 例3、如图， ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证： AD平分ZBAE.解：延长 AE至G使AG = 2AE，连BG , DG,显然 DG = AC ,ZGDC= ZACD由于 DC=A

10、C，故 ZADC= ZDAC 在ADB与ADG中，BD = AC=DG , AD = AD ,ZADB= ZADC+ ZACD= ZADC+ /GDC =ZADG故ADB 也ZADG，故有/ BAD= /DAG，即 AD 平分/ BAE应用:和等腰AM与1、(09崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABC Rt ABDRt ACE , BAD CAE 90 -连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探究: DE的位置关系及数量关系.(1)如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 线段AM与DE的数量关系是 ;(2)将图中的等腰Rt ABD绕点a沿逆时针方向旋转(0 B

11、A,AD = CD , BD平分 ABC ,求证： A C 1800解：(补短法)延长 BA至F，使BF = BC,连FDBDF /BDC (SAS)故/DFB = ZDCB , FD = DC又 AD = CD故在等腰厶BFD中/DFB = /DAF故有/ BAD+ /BCD = 1805、如图在厶ABC中，AB AC ,/1 =/2, P为AD上任意一点，求证;AB-AC PB-PC解：(补短法)延长 AC至F,使AF = AB，连PDABP zAFP ( SAS)故 BP = PF由三角形性质知PB PC = PF PC iT=60%H斷仞十AE ?-j Jit的关系井证明楙的结论.A

12、DBC分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等 边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接AC，过E作EF/BC并AC于F点则可证 AEF为等边三角形即 AE EF， AEF AFE 60 CFE 120又 AD / BC , B 60 BAD 120又 DEC 60 AED FEC在ADE与FCE中EAD CFE , AE EF , AED FEC ADE FCE二 AD FCBC AD AE点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在

13、ABC中，ZB=60 ，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）ZB=60度,贝U/BAC+ ZBCA=120 度；DAD,CE均为角平分线,a贝U/OAC+ ZOCA=60 度=ZAOE= /COD;在AC上截取线段AF=AE,连接OF.ZAOC=120 度.又 AO=AO; ZOAE= /OAF .则 /OAE 也QAF(SAS),OE=OF;AE=AF;ZAOF= HOE=60 度.贝U/COF= ZAOC- ZAOF=60 度=/COD; 又 CO=CO; ZOCD= ZOCF.故/OCD 也 QCF(SA

14、S), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.DF丄AC于F.2、如图， ABC中，AD平分ZBAC , DG丄BC且平分 BC, DE丄AB于E,（1 ）说明BE=CF的理由；（2）如果 AB= a , AC= b，求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端）连接BD，DCDG垂直平分 BC,故BD = DC由于AD平分ZBAC , DE丄AB于E, DF丄AC于F,故有ED = DF故 RTDBE 时DFC (HL ) 故有BE= CF。AB+AC = 2AEAE =( a+b ) /2BE=(a-b)/2应用:1、如图，0P是/MON的平分线，请你利用该图形

15、画一对以 0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC 中，/ACB 是直角，/ B=60 ,AD、CE分别是/ BAC、/BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你EDC图 CBOA图D图(第23题图)EFC在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由解：(1) FE与FD之间的数量关系为 FE FD(2)答：(1 )中的结论FE FD仍然成立。证法一：如图1，在AC上截取AG AE，连结F

16、G AEFAGF AFEAFG , FE FG B 60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 2360- AFECFDAFG 60 CFG60 34及FC为公共边 CFGCFD FG FDFE FD证法二：如图2，过点F分别作FG AB 于点 G, FH B 60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线可得23 60 , F是ABC的内心 GEF601, FH FG又T HDFB 1 GEFHDF可证 EGFDHF FE FD12 , AF为公共边,BC于点HBAGC图1BAC图2五、旋转例1正方形 ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求/EAF的度数.证明：

17、将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以 ZEAF= ZGAE= ZBAE+ ZGAB= ZBAE+ ZDAF又ZEAF+ ZBAE+ ZDAF=90所以Z EAF=45度例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN 分别交BC,CA于点E,F。(1)当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DF 。若AB=2，求四边形 DECF的面积。DA解：(计算数值法)(1 )连接DC,wD为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CD丄AB , CD = DACD 平分/B

18、CA = 90 ，左CD = ZDCA = 45 由于 DM 丄 DN，有ZEDN = 90 由于 CD 丄AB,有ZCDA = 90 从而/CDE = ZFDA =故有CDE 也 ZADF (ASA )故有DE=DF(2) SmBC=2, S 四 DECF= S mCD =1例3如图， ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 120 ,以D为顶点做一个60角，使其两边分别交 AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为;解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交 于点F,在线段 CF上取点E,使CE= BM/ABC为等边三角

19、形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 ,JMBD= ZMBC+ /DBC=60 +30 90 ,/DCE=180 - /ACD=180 -/ABD=90 ,又BM=CE , BD=CD ,z.ZCDE也/DM ,JCDE= ZBDM , DE=DM ,ZNDE= ZNDC+ ZCDE= ZNDC+ ZBDM= ZBDC- /MDN=120 -60 =60 , 在/DVIN 和/DEN 中，DM=DEZMDN= ZEDN=60 DN=DNZDMN BQEN ,MN=NE在DMA 和ADEF 中，DM=DE/MDA=60 /MDB=60 ZCDE= ZEDF(ZCDE= ZBDM)ZDA

20、M= /DFE=30 z.ZDMN BQEN(AAS),MA=FEAMN 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、已知四边形 ABCD 中，AB AD , BC CD , AB BC , / ABC 120 ,Z MBN 60, / MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于 E，F 当Z MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证 AE CF EF 当Z MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立,线段 AE，CF ,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（图1）（图2

21、）A（图3）解：（1）T ABAD， BC CD，AB BC，AE CF ABECBF（SAS）; ABECBF，BE BF ABC120，MBN 60- ABECBF 30 , BEF为等边三角形BE EF1BF , CF AEBE2 AE CFBE EF(2 )图2成立，图3不成立。证明图2，延长DC至点K,使CK AE，连接BKIN图2则 BAE BCKBE BK , ABE KBCFBE60 ,ABC 120FBCABE60FBCKBC60KBFFBE60KBFEBF KFEFKCCFEF即AECFEF图3不成立，AE、CF、EF 的关系是 AE CF EF2、(西城09年一模)已知：

22、PA= 2 ,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.如图,当ZAPB=45 时求AB及PD的长;当ZAPB变化，且其它条件不变时,求PD的最大值，及相应/ APB的大小.中,出，由PB的值，可求 BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定理可将 AB的值求出；求 PD的值有两种解法，解法一：可将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 P AB，可得PAD PAB，求PD长即为求 P B的长，在Rt APP中，可将PP的值求出，在Rt PP B中，根据勾股定理可将 P B的值求出；解法二：过点 P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,交PB于G,在Rt AEG中，可求出

23、AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt PFG中, 可求出PF,在Rt PDF中，根据勾股定理可将 PD的值求出；（2 ）将 PAD绕点A顺时针旋转90，得到 PAB，PD的最大值即为P B的最大值， 故当P、P、B三点共线时，P B取得最大值，根据 PB PP PB可求PB的最大值，此时 APB 180 APP 135 .解：（1）如图，作AE PB于点E AE PE.2 2Rt PAE 中， APB 45 , PA 2PB 4BE PB PE 3在 Rt ABE 中， AEB 90 AB 、AE2 BE2-.10解法一：如图，因为四边形 ABCD为正方形，可将将到 P AB ,，可得 P

24、AD P AB, PD P B, PA PA PAP 90 , APP 45 , PPB 90 PD P B . PP 2PB222 42 2 .5 ;解法二：如图，过点P作AB的平行线，与 DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB 于 G.AEAE2AEG 中,在可得AGRtEG5PD-,PG PE EG的最大值 PPB 中,PBPP PB , PP 2PA2 , PB4且P、D两点落在直线AB的两侧（如图）当 P、P、B三点共线时，P B取得最大值PP 2 , PA 、2此时P B PP PB 6，即P B的最大值为6此时 APB 180 APP 1353、在等边 ABC的两边AB、AC所

25、在直线上分别有两点 M、N , D为VABC外一点，且MDN60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当M、N分别在直线 AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.(I)如图1，当点M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN时，BM、NC、MN之间的数曰. W曰量关糸是；此时Q （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= X，贝U Q= （用x、L表示）.分析:(1 )如果 DM DN ,DMND

26、NM ，因为BDDC ,那么DBCDCB30，也就有 MBDNCD 603090，直角三角形MBD、NCD中，因为BDDC , DM DN，根据HL定理，两三角形全等。那么BM NC ,BMDDNC60，三角形NCD中，NDC 30 , DN 2NC，在三角形 DNM 中，DM DN , MDN 60,因此三角形 DMN 是个等边三角形，因此MN DN 2NC NC BM，三角形 AMN 的周长 Q AM AN MNAM AN MB NC AB AC 2AB，三角形 ABC 的周长 L 3AB，因此 Q:L 2:3.（2 ）如果DM DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 AC至E, 使CE BM，连接 DE. （1）中我们已经得出， MBD NCD 90，那么三角形 MBD 和ECD中，有了一组直角， MB CE , BD DC，因此两三角形全等，那么 DM DE ,BDM CDE , EDN BDC MDN 60 .三角形 MDN 和 EDN 中，有 DM DE ,EDN MDN 60，有一条公共边，因此两三角形全等， MN NE，至此我们把 BM 转换成了 CE,把MN转换成了 NE，因为NE