余弦定理教学设计

1、人教版数学必修5 1.1.2余弦定理的教学设计一、 教学目标解析1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。二、 教学问题诊断分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；已知三角形的任

2、意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，

3、也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。三、 教学支持条件分析为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。四、 教学过程设计1、教学基本流程：从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。余弦定理的证明：启发学生从不同的角度得到余弦定理的证明，或引导学生自己探索获得定理的证明。应用余弦定理解斜三角形。

4、2、教学情景：创设情境，提出问题问题1：现有卷尺和测角仪两种工具，请你设计合理的方案，来测量学校生物岛边界上两点的最大距离（如图1所示，图中AB的长度）。【设计意图】：来源于生活中的问题能激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。让学生进一步体会到数学来源于生活，数学服务于生活。师生活动：教师可以采取小组合作的形式，让学生设计方案尝试解决。学生1方案1：如果卷尺足够长的话，可以在岛对岸小路上取一点C（如图2），用卷尺量出AC和BC的长，用测角仪测出ACB的大小，那么ABC的大小就可以确定了。感觉似乎在ABC中已知AC、BC的长及夹角C的大小，可以求AB的长了。其他学生有异议，若卷尺没有足够长呢？学生

5、2方案2：在岛对岸可以取C、D 两点（如图3），用卷尺量出CD的长，再用测角仪测出图中1、2、3、4的大小。在ACD中，已知ACD、ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在BCD中，用正弦定理求出BC。那么在ABC中，已知AC、BC及ACB，似乎可以求AB的长了。教师：两种方案归根到底都是已知三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，寻找它们之间的某种定量关系？【设计意图】给学生足够的空间和展示的平台，充分发挥学生的主体地位。求异探新，证明定理问题2：在ABC中，C = 90，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角

6、三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。学生3：在ABC中，如图4，过C作CDAB，垂足为D。在RtACD中，AD=bsin1,CD= bcos1;在RtBCD中，BD=asin2, CD=acos2; 学生4：如图5，过A作ADBC，垂足为D。学生5：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，c2 =（bsinC）2+（a- bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC类似地可以证明b2 = a2 +c2-2accosB，c2 = a2 +b2-2abcosC。教师总结：以上的证明都是把斜

7、三角形转化为两个直角三角形，化一般为特殊，再利用勾股定理来证明。并且进一步指出以上的证明还不严密，还要分C为钝角或直角时，同样都可以得出以上结论，这也正是本节课的重点余弦定理。【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。学生6：如图6，教师：以上的证明避免了讨

8、论C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。又向量可以用坐标表示，AB长度又可以联系到平面内两点间的距离公式，你会有什么启发？【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。学生7：如图7，建立直角坐标系，在ABC中，AC = b，BC = a . 且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空间的深度和广度。运用定理，解决问题让学生观察余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理

9、及推论可以解决那些类型的三角形问题。例1：在ABC中，已知a = 2，b = 3，C = 60，求边c。在ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既已知三角形两边及夹角，求第三边；已知三角形三边，求三内角。小结本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。作业第1题：用正弦定理证明余弦定理。【设计意图】：继续要求学生扩宽思路，用正弦定理把余弦定理中的边都转化成角，然后利用三角公式进行推导证明。而这种把